1. 下列垃圾分類標(biāo)識(shí)的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如圖，是由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，若點(diǎn)恰好落在上，且，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知且對應(yīng)中線之比為，則與的周長之比為
A. B. C. D.
4. 下列事件為必然事件的是（ ）
A. 擲一枚硬幣，正面朝上B. 位似的兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊互相平行
C. 等邊三角形的中心角是D. 弦是直徑
5. 廣東春季是流感的高發(fā)時(shí)期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（ ）
A. B. C. D.
6. 設(shè)是一元二次方程的兩根，則（ ）
A. B. C. 2D.
7. 關(guān)于二次函數(shù)的圖象，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 拋物線的開口向上B. 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
C. 對稱軸是直線D. 拋物線與y軸交于點(diǎn)
8. 如圖，的半徑為，將的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心．則折痕的長為（ ）

A. B. C. D.
9. 函數(shù)和（a是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖像可能是（ ）
A B. C. D.
10. 如圖，半徑為，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（每小題3分，共18分）
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
12. 一個(gè)不透明袋中裝有若干個(gè)紅球和10個(gè)白球， 搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球， 記下顏色后放回袋中， 通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4，則袋中紅球約為_________個(gè)．
13. 圓心角是120°扇形，弧長為，則這個(gè)扇形的面積為__________．
14. 如圖，中，．則的內(nèi)切圓半徑_______．

15. 如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，、交于點(diǎn)，已知半徑為3，則的長為__________．

16. 如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，于點(diǎn)，連分別交，于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為P，AH交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①；②；③；④．
其中正確結(jié)論有_________．（填序號(hào)）
三、解答題（共72分）
17. 解方程：
（1）．
（2）．
18. 如圖，我們想要測量河兩岸相對應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，先從B點(diǎn)出發(fā)與成角方向走到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走到C處，在C處轉(zhuǎn)，沿方向再走到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么河寬是多少米？
19. 如圖，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別為、
（1）畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形；
（2）在軸的左側(cè)以為位似中心畫出的位似三角形，使新圖與原圖的相似比為．
20. 廣州的白云山、越秀山、蓮花山和大夫山被譽(yù)為廣州四大名山，不僅風(fēng)景秀美而且有豐厚的歷史底蘊(yùn)，是廣州市民喜歡游玩之地．小明、小麗兩家人決定周末去游玩，并用抽卡片的方式從白云山、越秀山、蓮花山和大夫山（分別記為、、、）選出一個(gè)景點(diǎn)．他們準(zhǔn)備了張不透明的卡片，正面分別寫上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同．
（1）小明隨機(jī)抽取一張卡片，則抽取到卡片的概率是_______；
（2）小明隨機(jī)抽取一張卡片后，放回洗勻，小麗再隨機(jī)抽取一張卡片，請用列或畫樹狀圖的方法求他們都抽取到同一地點(diǎn)的概率．
21. 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)軸交于點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出時(shí)，的取值范圍；
22. 為積極響應(yīng)國家“舊房改造”工程，我市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．
（1）根據(jù)方案，我市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的4萬戶增長到2022年底的萬戶，求我市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；
（2）我市計(jì)劃對某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計(jì)劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？
23. 如圖，在等腰中，．
（1）尺規(guī)作圖：以為直徑作，標(biāo)出點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）中所作的交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，
①求證：是的切線；
②若，，求的長．
24. 如圖，在四邊形中，，，，延長線段，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，直線與射線相交于，連接，，

（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，為的中點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；
（2）如圖2，隨著的變化，射線在內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，
①當(dāng)落在直線上時(shí)，求的運(yùn)動(dòng)路徑長（用含的代數(shù)式表示）；
②若，，在射線的運(yùn)動(dòng)過程中，求的面積最大值．
25. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，，為常數(shù)，且）經(jīng)過和兩點(diǎn)．
（1）求和值（用含的代數(shù)式表示）；
（2）若該拋物線開口向下，且經(jīng)過，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，求的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)，，若該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
2023育才初三上12月月測
一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）
1. 下列垃圾分類標(biāo)識(shí)的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形、中心對稱圖形，理解軸對稱圖形和中心對稱圖形是解答的關(guān)鍵．
2. 如圖，是由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到圖形，若點(diǎn)恰好落在上，且，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，得出，即可求解．
【詳解】解：∵是由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，
∴，
∵，
．
故選：B．
3. 已知且對應(yīng)中線之比為，則與的周長之比為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比，周長的比也等于相似比，可知周長比為9:16.
【詳解】∵，且對應(yīng)中線之比為，
∴相似比等于9:16，
∴與周長之比為9:16.
故選D.
【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)高線、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、周長的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
4. 下列事件為必然事件的是（ ）
A. 擲一枚硬幣，正面朝上B. 位似的兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊互相平行
C. 等邊三角形的中心角是D. 弦是直徑
【答案】C
【解析】
【分析】必然事件是肯定發(fā)生的事件，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A項(xiàng)，擲一枚硬幣，也可能反面朝上，故本項(xiàng)不是必然事件，不符合題意；
B項(xiàng)，位似的兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊也有可能重合，故本項(xiàng)不是必然事件，不符合題意；
C項(xiàng)，等邊三角形的中心角是，故本項(xiàng)是必然事件，符合題意；
D項(xiàng)，過圓心的弦是直徑，故本項(xiàng)不是必然事件，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了必然事件的判斷，位似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及弦與直徑之間的關(guān)系等知識(shí)，掌握位似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
5. 廣東春季是流感的高發(fā)時(shí)期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，則第一輪傳染了個(gè)人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：即可．
【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，依題意得，
即，
故選：C．
【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然是患者，人數(shù)應(yīng)該累加，這個(gè)問題和細(xì)胞分裂是不同的．
6. 設(shè)是一元二次方程的兩根，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：∵是一元二次方程的兩根，
∴，，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，．
7. 關(guān)于二次函數(shù)的圖象，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 拋物線的開口向上B. 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
C. 對稱軸是直線D. 拋物線與y軸交于點(diǎn)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)解析式可得開口方向，對稱軸，增減性，令，可得拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵二次函數(shù)中，
∴拋物線開口向上，對稱軸，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故A，B，C選項(xiàng)正確；
令，，即拋物線與軸交于點(diǎn)，
故D選項(xiàng)不正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，的半徑為，將的一部分沿著弦翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心．則折痕的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】過點(diǎn)作與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)可求出的長；根據(jù)垂徑定理的推論可得，根據(jù)勾股定理可得的長，即可求出的長度．
【詳解】解：過點(diǎn)作與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，如圖：

根據(jù)題意可得：，
∵，
∴，
在中， ，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂徑定理的推論，勾股定理，掌握翻轉(zhuǎn)是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
9. 函數(shù)和（a是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸，再分和兩種情況，分別得出函數(shù)和的圖象的大致形狀，即可作答．
【詳解】根據(jù)可得：函數(shù)的對稱軸為：，
當(dāng)時(shí)，
二次函數(shù)的圖象開口向上，拋物線在y軸右側(cè)，
一次函數(shù)的圖象交于y軸的負(fù)半軸，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；
當(dāng)時(shí)，
二次函數(shù)的圖象開口向下，拋物線在y軸左側(cè)，
一次函數(shù)的圖象交于y軸的正半軸，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；
根據(jù)上述結(jié)果：可知A、B、D三項(xiàng)所畫圖象均有相互矛盾的地方，只有選項(xiàng)C符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸符號(hào)與系數(shù)符號(hào)的關(guān)系等．
10. 如圖，的半徑為，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置．由中，知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于位置時(shí)，取得最小值，據(jù)此求解可得．
【詳解】解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
若要使取得最小值，則需取得最小值，
連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于位置時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)Q，
則，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故選：B．
二、填空題（每小題3分，共18分）
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可直接得到答案．
【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
12. 一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球和10個(gè)白球， 搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球， 記下顏色后放回袋中， 通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4，則袋中紅球約為_________個(gè)．
【答案】15
【解析】
【分析】根據(jù)口袋中有10個(gè)白球，利用白球在總數(shù)中所占比例得出與試驗(yàn)比例應(yīng)該相等求出即可.
【詳解】∵通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率是0.4，口袋中有10個(gè)白球
假設(shè)有x個(gè)紅球，
則
解得：x=15
∴口袋中有紅球約為15個(gè)
故答案為：15
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率，根據(jù)已知白球的頻率得出與試驗(yàn)比例應(yīng)該相等是解題關(guān)鍵．
13. 圓心角是120°的扇形，弧長為，則這個(gè)扇形的面積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用弧長公式可求得扇形的半徑，那么扇形的面積弧長半徑．
【詳解】解：，
，
扇形的面積．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積，關(guān)鍵是根據(jù)弧長公式和扇形的面積公式的綜合應(yīng)用解答．
14. 如圖，中，．則的內(nèi)切圓半徑_______．

【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)、、與⊙O的切點(diǎn)分別為D、E、F；易證得四邊形是正方形；那么根據(jù)切線長定理可得：，由此可求出r的長．
【詳解】解：如圖，

在中，，
根據(jù)勾股定理.
四邊形中，，，
∴四邊形是正方形..
由切線長定理，得：，，；
∴；
∴．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，以及切線長定理，熟練掌握圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，、交于點(diǎn)，已知半徑為3，則的長為__________．

【答案】
【解析】
【分析】連接、，則三角形為直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：連接、、，

∵六邊形是正六邊形，
∴經(jīng)過O點(diǎn)，且O是的中點(diǎn)，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
解得：或（舍去）．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)，并能結(jié)合圖形熟練運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)．
16. 如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，于點(diǎn)，連分別交，于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為P，AH交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：
①；②；③；④．
其中正確結(jié)論有_________．（填序號(hào)）
【答案】①③④
【解析】
【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知是等腰三角形且頂角，據(jù)此可判斷；②求出和度數(shù)，從而得出度數(shù)，據(jù)此可判斷；③證即可判斷；④設(shè)，則，，設(shè)，由，知，根據(jù)是等腰直角三角形之，據(jù)此得出，證，得，即，從而得出a與x的關(guān)系即可判斷．
【詳解】解：∵為等邊三角形，為等腰直角三角形，
∴，，，，
∴是等腰三角形，且頂角，
∴，故①正確；
∵，即，
∴，
∴，，
∴，
由知，故②錯(cuò)誤；
由知，
則，
在和中，
，
∴，
∴，故③正確；
在中，設(shè)，則，，
設(shè)，
∵，
∴，
中，∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
整理，得：，
由得，即，故④正確；
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
三、解答題（共72分）
17. 解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）利用開平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小問1詳解】
解：，
，
，；
【小問2詳解】
解：，
，
，．
18. 如圖，我們想要測量河兩岸相對應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，先從B點(diǎn)出發(fā)與成角方向走到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走到C處，在C處轉(zhuǎn)，沿方向再走到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么河寬是多少米？
【答案】河寬為80米
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件證明，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
答：河寬為80米．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程求解．
19. 如圖，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別為、
（1）畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形；
（2）在軸的左側(cè)以為位似中心畫出的位似三角形，使新圖與原圖的相似比為．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【解析】
【分析】此題主要考查了作圖-位似變換，作圖-旋轉(zhuǎn)變換，得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)在A，B坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，同乘以，進(jìn)而得出坐標(biāo)畫出圖形即可．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖所示即為所求．
20. 廣州的白云山、越秀山、蓮花山和大夫山被譽(yù)為廣州四大名山，不僅風(fēng)景秀美而且有豐厚的歷史底蘊(yùn)，是廣州市民喜歡游玩之地．小明、小麗兩家人決定周末去游玩，并用抽卡片的方式從白云山、越秀山、蓮花山和大夫山（分別記為、、、）選出一個(gè)景點(diǎn)．他們準(zhǔn)備了張不透明的卡片，正面分別寫上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同．
（1）小明隨機(jī)抽取一張卡片，則抽取到卡片的概率是_______；
（2）小明隨機(jī)抽取一張卡片后，放回洗勻，小麗再隨機(jī)抽取一張卡片，請用列或畫樹狀圖的方法求他們都抽取到同一地點(diǎn)的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小明與小亮抽到同一卡片的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．
【小問1詳解】
解：小明抽到A卡片的概率是；
【小問2詳解】
解：畫樹狀圖為：
共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小明與小麗抽到同一卡片的結(jié)果數(shù)為4，
所以小明與小麗抽到同一地點(diǎn)的概率．
21. 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)軸交于點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出時(shí)，的取值范圍；
【答案】（1）；
（2），或．
【解析】
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；
（2）根據(jù)當(dāng)時(shí)，，求出點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圖象可得出答案．
【小問1詳解】
解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴該二次函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
解：由（1）可知，二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，
根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．
22. 為積極響應(yīng)國家“舊房改造”工程，我市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．
（1）根據(jù)方案，我市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的4萬戶增長到2022年底的萬戶，求我市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；
（2）我市計(jì)劃對某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計(jì)劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？
【答案】22. 該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率為
23. 舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用為6125000元
【解析】
【分析】（1）設(shè)平均增長率為，列方程，即可求解；
（2）設(shè)多改造戶，最高投入費(fèi)用為元，得進(jìn)而可求解；
【小問1詳解】
解：設(shè)平均增長率為，
由題意得：，
解得：或（舍），
答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率為；
【小問2詳解】
解：設(shè)多改造戶，最高投入費(fèi)用為元，
由題意得：，
，拋物線開口向下，
當(dāng)，即時(shí)，最大，此時(shí)元，
答：舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用為6125000元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在等腰中，．
（1）尺規(guī)作圖：以為直徑作，標(biāo)出點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）中所作的交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，
①求證：是的切線；
②若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）①見解析，②4
【解析】
【分析】此題主要考查了復(fù)雜作圖，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）直接利用線段垂直平分線的作法結(jié)合圓的性質(zhì)得出答案；
（2）①連接，根據(jù)，，得到，證明，由，即可證明結(jié)論；②由①知，易得，得到，由，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖所示，分別以點(diǎn)A點(diǎn)B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，連接作直線交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，的長為半徑畫圓，則為所求；
【小問2詳解】
①證明：如圖，連接，
，，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
②解：由①知，
，
，
，，
，
，
，
．
24. 如圖，在四邊形中，，，，延長線段，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，直線與射線相交于，連接，，

（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，為的中點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；
（2）如圖2，隨著的變化，射線在內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，
①當(dāng)落在直線上時(shí)，求的運(yùn)動(dòng)路徑長（用含的代數(shù)式表示）；
②若，，在射線的運(yùn)動(dòng)過程中，求的面積最大值．
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）連接，由題意可得，則平分，由題意可得，求得即可求得答案；
（2）①由（1）得和，得到點(diǎn)A、C和在以點(diǎn)B為圓心為半徑的圓上，連接，并延長交于點(diǎn)K，連接和，可得的運(yùn)動(dòng)軌跡為，利用求弧長公式即可；②根據(jù)和得為等邊三角形，當(dāng)邊長最大即面積最大．
【小問1詳解】
解：連接，如圖，

則，
∵，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴平分，
∵射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
∴，
∵，
∴，
則，
∴．
∵，
∴．
【小問2詳解】
①由（1）得和，則點(diǎn)A、C和在以點(diǎn)B為圓心為半徑的圓上，連接，并延長交于點(diǎn)K，連接和，如圖，

則的運(yùn)動(dòng)軌跡為，
那么的運(yùn)動(dòng)路徑長．
②∵，
∴，
∵四邊形為內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
∴，
則為等邊三角形，
當(dāng)三角形邊的值最大時(shí)，的面積最大值，
則過點(diǎn)B時(shí)，其最大值為4，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、三點(diǎn)共圓以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到共圓并利用其性質(zhì)．
25. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，，為常數(shù)，且）經(jīng)過和兩點(diǎn)．
（1）求和的值（用含的代數(shù)式表示）；
（2）若該拋物線開口向下，且經(jīng)過，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，求的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)，，若該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
【答案】25.
26.
27. 或或
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，根據(jù)題意畫出圖象，分類討論是解題的關(guān)鍵；
（1）把和代入，即可求解；
（2）先求出對稱軸為：直線，結(jié)合開口方向和增減性列出不等式即可求解；
（3）分時(shí)，時(shí)，結(jié)合圖象即可求解
【小問1詳解】
解：把和代入，
得：，解得：；
【小問2詳解】
∵拋物線經(jīng)過經(jīng)過，兩點(diǎn)，
∴拋物線的對稱軸為：直線，
∵拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，
∴，即；
【小問3詳解】
①當(dāng)時(shí)，，即，
解得：，拋物線不經(jīng)過點(diǎn) N，
如圖①，拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：；
②當(dāng)時(shí)，若拋物線的頂點(diǎn)在線段上時(shí)，則，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，定點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，符合題意；
所以當(dāng)時(shí)，如圖②，拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，
如圖③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不滿足，不符合題意，舍去；
若拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)恰好為點(diǎn) N時(shí)，把代入，得，解得：，
∴當(dāng)時(shí)，如圖④，拋物線和線段有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)恰好為點(diǎn) N，
結(jié)合圖象可知：時(shí)，拋物線與線段有一個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述：a的取值范圍為：或或

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