廣東省廣州市廣州中學2023-2024學年九年級上學期月考數(shù)學試題（含答案）-試卷下載-教習網

滿分：120分，考試時間：120分鐘
注意事項：
1．答卷前按要求用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自己的考生號、姓名、座位號等；
2．選擇題用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，只答在試卷上的無效；
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖．答案必須寫在答題卡各題目指定的區(qū)域內的相應位置上，不準使用涂改液和修正帶，違反要求的答案無效；
4．本次考試禁止使用計算器．
一、細心選一選（本題有10個小題，每小題3分，滿分30分．每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．）
1. 下列圖案中是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
2. 關于x的一元二次方程的根的情況為（）
A. 兩個不相等的實數(shù)根B. 兩個相等的實數(shù)根
C. 無實數(shù)根D. 無法確定
3. 如圖，將含45°的直角三角板ABC繞著點A順時針旋轉到△ADE處（點C，A，D在一條直線上），則這次旋轉的旋轉角為（）

A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°
4. 若將拋物線先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（）
A. B.
C. D.
5. 4月23日是世界讀書日，據(jù)有關部門統(tǒng)計，某市2021年人均紙質閱讀量約為4本，2023年人均紙質閱讀量約為本，設人均紙質閱讀量年均增長率為，則根據(jù)題意可列方程（）

A. B.
C. D.
6. 請同學們借助所學知識確定代數(shù)式有最大值還是最小值，是多少（）
A. 有最小值是2B. 有最大值是2C. 有最小值是6D. 有最大值是6
7. 已知實心球運動的高度與水平距離之間的函數(shù)關系是，則該同學此次投擲實心球的成績是（）
A. B. C. D.
8. 在同一坐標系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能是（）
A. B.
C. D.
9. 如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點坐標依次為，，．若拋物線與有公共點，則a 的取值范圍是（）

A. B. C. D.
10. 已知拋物線在坐標系中位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A，B，P是其對稱軸上的動點，根據(jù)圖中提供的信息，以下結論中不正確的是（）
A B.
C. 周長的最小值是D. 是的一個根
二、耐心填一填（本題有6個小題，每小題3分，滿分18分）
11. 點關于原點對稱的點的坐標是________．
12. 正方形邊長，若邊長增加，增加后正方形的面積為，與的函數(shù)關系式為________．
13. 一元二次方程x2＝2x的解為________．
14. 拋物線與x軸交于A、B兩點，則線段的長為______；
15. 如圖，把拋物線y=x2平移得到拋物線m，拋物線m經過點A（﹣6，0）和原點O（0，0），它頂點為P，它的對稱軸與拋物線y=x2交于點Q，則圖中陰影部分的面積為______．
16. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，點D為線段AB的中點，將線段BC繞點B順時針旋轉90°，得到線段BE，連接DE，則DE最大值是______．\

三、用心答一答（本大題有9個小題，共72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟）
17. 解方程．
18. 如圖，在平面直角坐標系內，的三個頂點坐標分別為、、．畫出關于原點O成中心對稱的圖形，并寫出點C對應的點的坐標．
19. 已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足表：
（1）m的值為；
（2）求這個二次函數(shù)的解析式．
20. 如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，點D落在線段AB上．求證：DC平分∠ADE．
21. 普洱茶是中國名茶，某茶葉公司經銷某品牌普洱茶，每千克成本為元，規(guī)定每千克售價需超過成本，但不高于元，經調查發(fā)現(xiàn)：其日銷售量（千克）與售價（元千克）之間的函數(shù)關系如圖所示．
（1）求與之間函數(shù)表達式；
（2）設日利潤為元，求與之間的函數(shù)表達式，并說明日利潤隨售價的變化而變化的情況以及最大日利潤．
22. 已知二次函數(shù)為常數(shù)，且．
（1）求證：不論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有公共點；
（2）不論為何值，該函數(shù)的圖象都會經過兩個定點，求兩個定點的坐標．
23. 閱讀材料，解答問題：
已知實數(shù)滿足，，且，則是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：已知實數(shù)滿足：，且，則______，______；
（2）間接應用：在（1）條件下，求的值；
（3）拓展應用：已知實數(shù)滿足：，且，求的值．
24. 二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經過點A；點F在y軸上，直線與y軸交于點H．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點P是拋物線上的點，過點P作x軸的垂線與直線交于點M，求證：；
（3）當是等邊三角形時，求P點的坐標．
25. 如圖，在矩形中，，，點是線段上一動點，將線段繞點順時針轉得到線段，在上取點，使得，連接、．

（1）直接寫出，；
（2）試判斷與的位置關系，并說明理由；
（3）如圖，連接，對于點的每一個確定的位置，都有唯一一個值與之相對應，若與交于點，記，設，是否存在點，使得當取得最小值時，滿足？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
廣州中學2023學年第一學期11月測試
九年級數(shù)學試卷
滿分：120分，考試時間：120分鐘
注意事項：
1．答卷前按要求用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自己的考生號、姓名、座位號等；
2．選擇題用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，只答在試卷上的無效；
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖．答案必須寫在答題卡各題目指定的區(qū)域內的相應位置上，不準使用涂改液和修正帶，違反要求的答案無效；
4．本次考試禁止使用計算器．
一、細心選一選（本題有10個小題，每小題3分，滿分30分．每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的．）
1. 下列圖案中是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【詳解】解：選項A、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意．
選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查的是中心對稱圖形，解題的關鍵是掌握中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．
2. 關于x的一元二次方程的根的情況為（）
A. 兩個不相等的實數(shù)根B. 兩個相等的實數(shù)根
C. 無實數(shù)根D. 無法確定
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程 (為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．
根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：A．
3. 如圖，將含45°的直角三角板ABC繞著點A順時針旋轉到△ADE處（點C，A，D在一條直線上），則這次旋轉的旋轉角為（）

A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)旋轉角的定義，兩對應邊的夾角就是旋轉角，據(jù)此即可求解．
【詳解】旋轉角是∠BAD=180°﹣45°=135°．
故選C．
4. 若將拋物線先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達式是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律進行作答即可．
【詳解】解：因為先向左平移3個單位，
所以，
因為再向下平移2個單位，
所以，
故選：D．
【點睛】本題考查了拋物線的平移規(guī)律，拋物線的平移規(guī)律：上加、下減、左加、右減，難度較?。?br>5. 4月23日是世界讀書日，據(jù)有關部門統(tǒng)計，某市2021年人均紙質閱讀量約為4本，2023年人均紙質閱讀量約為本，設人均紙質閱讀量年均增長率為，則根據(jù)題意可列方程（）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)2021年人均閱讀量1+年均增長率2023年人均閱讀量列出方程即可．
【詳解】解：設人均紙質閱讀量年均增長率為，
由題意可得：，
故選C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．
6. 請同學們借助所學知識確定代數(shù)式有最大值還是最小值，是多少（）
A. 有最小值是2B. 有最大值是2C. 有最小值是6D. 有最大值是6
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了配方法的應用；根據(jù)配方法得出，即可求解．
【詳解】解：，
∴代數(shù)式有最小值是2，
故選：A．
7. 已知實心球運動的高度與水平距離之間的函數(shù)關系是，則該同學此次投擲實心球的成績是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意知，該運動員此次擲鉛球的成績就是拋物線與x軸交點的橫坐標，因此令，解一元二次方程即可．
【詳解】解：令，則：，
解得：（舍去），，
則該運動員此次擲鉛球的成績是，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系在實際生活中的應用，理解題意是關鍵．
8. 在同一坐標系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由二次函數(shù)圖象得到系數(shù)字母的正負，再與一次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．
【詳解】解：由拋物線可知，，即；由直線可知，，二者矛盾，故本選項錯誤；
B．由拋物線可知，，即，根據(jù)對稱軸，可得，兩者矛盾；由直線可知，，的范圍不一致，故本選項錯誤；
C．由拋物線可知，，即，根據(jù)對稱軸，可得，兩者矛盾；由直線可知，，的范圍不一致，故本選項錯誤；
D．由拋物線可知，，即，根據(jù)對稱軸，可得；由直線可知，，的范圍一致，故本選項正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了拋物線的圖象與性質和一次函數(shù)的圖象與性質的知識點，熟練掌握拋物線的圖象與性質和一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．
9. 如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標依次為，，．若拋物線與有公共點，則a 的取值范圍是（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分與有交點，與有交點列不等式即可得到答案；
【詳解】解：當與有交點時，
，
解得：，
當與有交點時，
，
解得：，
故答案為：，
故選：A；
【點睛】本題考查二次函數(shù)與線段交點問題，解題的關鍵是分類討論．
10. 已知拋物線在坐標系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A，B，P是其對稱軸上的動點，根據(jù)圖中提供的信息，以下結論中不正確的是（）
A. B.
C. 周長的最小值是D. 是的一個根
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對稱軸方程求得a、b的數(shù)量關系即可判斷A；根據(jù)拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標是3，則x=3時，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判斷B、D；利用兩點間直線最短來求△PAB周長的最小值即可判斷C．
【詳解】A．根據(jù)圖象知，對稱軸是直線x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0，故A正確；
B．根據(jù)圖象知，點A的坐標為(-1,0)，對稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標是(3,0)，
∴x=3時，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0,
∴3a+3=0，
∴2a+3=-a，
∵拋物線開口向下，則a-，故B正確；
C．點A關于x=1對稱的點是A′(3,0)，即拋物線與x軸的另一個交點，
連接BA′與直線x=1的交點即為點P，
則△PAB的周長的最小值是(BA′+AB)的長度，
∵A(-1,0)，B(0,3)，A′(3,0)，
∴AB=，BA′=，
即△PAB周長的最小值為+，故C錯誤；
D．根據(jù)圖象知，點A的坐標為(-1,0)，對稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標為(3,0)，所以是的一個根，故D正確．
故選C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)圖象與系數(shù)關系，二次函數(shù)圖象的性質及兩點之間線段最短．解答該題時，充分利用了拋物線的對稱性．
二、耐心填一填（本題有6個小題，每小題3分，滿分18分）
11. 點關于原點對稱的點的坐標是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標；根據(jù)關于原點對稱的兩點的橫縱坐標互為相反數(shù)得出答案．
【詳解】解：點關于原點對稱的點的坐標是，
故答案為：．
12. 正方形邊長，若邊長增加，增加后正方形的面積為，與的函數(shù)關系式為________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了列二次函數(shù)關系式，根據(jù)正方形面積等于邊長的平方，即可求解．
【詳解】解：依題意，，
故答案為：．
13. 一元二次方程x2＝2x的解為________．
【答案】x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【詳解】移項得x2－2x=0，即x（x－2）=0，
解得x=0或x=2．
故答案為：
【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．
14. 拋物線與x軸交于A、B兩點，則線段長為______；
【答案】5
【解析】
【分析】求出拋物線與x軸的兩個交點坐標即可得到答案．
【詳解】解：在中，當時，則，
解得或，
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為，
∴，
故答案為：5．
【點睛】本題主要考查了求拋物線與x軸的交點坐標，解題的關鍵在于熟知拋物線與x軸的交點坐標的縱坐標為0．
15. 如圖，把拋物線y=x2平移得到拋物線m，拋物線m經過點A（﹣6，0）和原點O（0，0），它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線y=x2交于點Q，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)點O與點A的坐標求出平移后的拋物線的對稱軸，然后求出點P的坐標，過點P作PM⊥y軸于點M，根據(jù)拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于四邊形NPMO的面積，然后求解即可．
【詳解】過點P作PM⊥y軸于點M，設PQ交x軸于點N，
∵拋物線平移后經過原點O和點A（﹣6，0），
∴平移后的拋物線對稱軸為x=﹣3．
∴平移后的二次函數(shù)解析式為：y=（x+3）2+h，
將（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣．
∴點P的坐標是（－3，﹣）．
根據(jù)拋物線的對稱性可知，陰影部分的面積等于矩形NPMO的面積，
∴S=，
故答案為：
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出平移后的拋物線的對稱軸的解析式，并對陰影部分的面積進行轉換是解題的關鍵．
16. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，點D為線段AB的中點，將線段BC繞點B順時針旋轉90°，得到線段BE，連接DE，則DE最大值是______．\

【答案】
【解析】
【分析】將線段BD繞點B順時針旋轉90°，得到線段BP，連接PE，PD，證明△CBD≌△EBP，可得PE=DB=1，DP=，根據(jù)PD+PE≥DE，即可得出DE的最大值．
詳解】如圖，將線段BD繞點B順時針旋轉90°，得到線段BP，連接PE， PD，

則DB=PB，∠DBP=90°，
∵將線段BC繞點B順時針旋轉90°，得到線段BE，
∴BC=BE，∠CBE=90°，
∴∠CBD=∠EBP，
∴△CBD≌△EBP（SAS），
∴PE=CD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，點D為線段AB的中點，
∴DB=CD=AB=1，
∴PE=1，PB=1，
∴DP=，
∵PD+PE≥DE，
∴DE≤+1，
∴DE最大值為+1，
故答案為+1．
【點睛】本題考查圖形的旋轉，解題的關鍵是掌握圖形旋轉的性質．
三、用心答一答（本大題有9個小題，共72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟）
17. 解方程．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)公式法求解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
∴，，
∴，
解得：．
【點睛】考查了解一元二次方程-公式法，公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進而確定，，的值注意符號；②求出的值若，方程無實數(shù)根；③在的前提下，把、、的值代入公式進行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①；②．
18. 如圖，在平面直角坐標系內，的三個頂點坐標分別為、、．畫出關于原點O成中心對稱的圖形，并寫出點C對應的點的坐標．
【答案】圖形見解析，
【解析】
【分析】利用中心對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點，然后連線即可．
【詳解】解：如圖，即為所求
點C的對應點的坐標為．
【點睛】本題考查作圖-軸對稱變換，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，屬于中考?？碱}型．
19. 已知：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足表：
（1）m的值為；
（2）求這個二次函數(shù)的解析式．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）觀察表格可知當與當時的函數(shù)值相同，即可得到拋物線對稱軸，然后根據(jù)對稱性可直接得出m的值；
（2）代入表格中前三組值，運用待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：（1）由表格得當與當時的函數(shù)值相同，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∴當時與時的函數(shù)值相同，即；
故答案為：3
（2）由題意得：
，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值，解題的關鍵在于能夠熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
20. 如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，點D落在線段AB上．求證：DC平分∠ADE．
【答案】證明見解析．
【解析】
【分析】利用旋轉的性質，等腰三角形的性質證明即可．
【詳解】證明：由旋轉可知，△ABC≌△DEC，
∴∠A=∠CDE，AC=DC，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ADC=∠CDE，
即DC平分∠ADE．
【點睛】本題考查了旋轉的全等性，等腰三角形的性質，熟練掌握兩個性質是解題的關鍵．
21. 普洱茶是中國名茶，某茶葉公司經銷某品牌普洱茶，每千克成本為元，規(guī)定每千克售價需超過成本，但不高于元，經調查發(fā)現(xiàn)：其日銷售量（千克）與售價（元千克）之間的函數(shù)關系如圖所示．
（1）求與之間的函數(shù)表達式；
（2）設日利潤為元，求與之間的函數(shù)表達式，并說明日利潤隨售價的變化而變化的情況以及最大日利潤．
【答案】（1）
（2），售價為元時獲得最大利潤，最大利潤是元
【解析】
【分析】本題考查了求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的應用；
（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)“總利潤每千克利潤銷售量”可得函數(shù)解析式，將其配方成頂點式即可得最值情況．
【小問1詳解】
解：設，
將、代入，得：
，
解得：，
∴．
∵每千克成本為元，規(guī)定每千克售價需超過成本，但不高于元，
∴；
∴
【小問2詳解】
解：
，
∵
∴當時，最大值，
故函數(shù)表達式為，售價為元時獲得最大利潤，最大利潤是元．
22. 已知二次函數(shù)為常數(shù)，且．
（1）求證：不論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有公共點；
（2）不論為何值，該函數(shù)的圖象都會經過兩個定點，求兩個定點的坐標．
【答案】（1）見解析（2）該函數(shù)圖象始終過定點、
【解析】
【分析】（1），即可求解；
（2）由，所以當時，，當，即時，，即可求得定點坐標．
【小問1詳解】
證明：令，即，
，
方程總有實數(shù)根，
該函數(shù)的圖象與軸總有公共點；
【小問2詳解】
解：．
該函數(shù)的圖象都會經過兩個定點，
所以當時，，
當，即時，，
該函數(shù)圖象始終過定點、．
點睛】本題考查的是拋物線與軸的交點，一元二次方程的根的判別式，解決此題的關鍵是用方程知識來處理函數(shù)問題．
23. 閱讀材料，解答問題：
已知實數(shù)滿足，，且，則是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：已知實數(shù)滿足：，且，則______，______；
（2）間接應用：在（1）條件下，求的值；
（3）拓展應用：已知實數(shù)滿足：，且，求的值．
【答案】（1）7，1 （2）47
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意可知、是方程的兩個不相等的實數(shù)根，再由根與系數(shù)的關系可得，；
（2）將所求式子變形為，再將（1）的代數(shù)式代入求值即可；
（3）由題意可知、是方程的兩個不相等的實數(shù)根，再由根與系數(shù)的關系求解即可．
【小問1詳解】
解：，，且，
，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
，，
故答案為：7，1；
【小問2詳解】
解：，
，，
；
【小問3詳解】
解：，，
、是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
．
【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，弄懂所給的例子，靈活應用一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．
24. 二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經過點A；點F在y軸上，直線與y軸交于點H．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點P是拋物線上的點，過點P作x軸的垂線與直線交于點M，求證：；
（3）當是等邊三角形時，求P點的坐標．
【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；
（2）見解析（3）點P的坐標為或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可設函數(shù)的解析式為，將點A代入函數(shù)解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）利用勾股定理求出，表示出，可得；
（3）首先可得，根據(jù)，可得關于x的方程，求出x的值即可得出答案．
【小問1詳解】
解：∵二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，
∴設二次函數(shù)的解析式為，
將點A代入得：，
∴二次函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
解：設P ，
∵F，
∴，
∵，且點M在直線上，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：當是等邊三角形時，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴滿足條件的點P的坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直角三角形的性質，解答本題的關鍵是熟練基本知識，數(shù)形結合，將所學知識融會貫通．
25. 如圖，在矩形中，，，點線段上一動點，將線段繞點順時針轉得到線段，在上取點，使得，連接、．

（1）直接寫出，；
（2）試判斷與的位置關系，并說明理由；
（3）如圖，連接，對于點的每一個確定的位置，都有唯一一個值與之相對應，若與交于點，記，設，是否存在點，使得當取得最小值時，滿足？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2），理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）過點作于點，證明，得出是等腰直角三角形，則，是等腰直角三角形，則，進而求得，即可求解；
（2）同（1）可得，即可求解；
（3）過點作于點，設交于點，則是等腰直角三角形，由（1）可得，則點在上運動，當時，取得最小值，設，則，根據(jù)題意，解方程，即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖所示，過點作于點，

將繞順時針旋轉得到線段，
，，
，，
，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，則
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，則
∴
∴
故答案為：．
【小問2詳解】
解：由（1）可得，
∴
【小問3詳解】
解：存在，理由如下，
如圖所示，過點作于點，設交于點，則是等腰直角三角形，
由（1）可得，則點在上運動，當時，取得最小值，

設，則，
同（1）可得
∴
∵
∴
解得：
∵
∴．
【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質與判定，解一元二次方程，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
﹣1
0
m
8
…
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
﹣1
0
m
8
…

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