（滿分120分，考試時間120分鐘）
命題人：王華征 審題人：譚艷妮
第I卷（選擇題共30分）
一、選擇題．（共10小題，每小題3分，共30分． 每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 在中，無理數(shù)的個數(shù)是（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
2. 下列五個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 個
3. 下列運算中，正確是（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖，的直徑為，弦，垂足為，，則的長為( )

A. 2B. 3C. 4D. 5
5. 二次函數(shù)的圖象向右平移3個單位，向上平移3個單位，得到新函數(shù)圖象表達式是（ ）
A. B.
C D.
6. 如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
7. 對于函數(shù)的圖象，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. 圖象必經(jīng)過點
B. 圖象經(jīng)過第一、二、四象限
C. 與軸的交點為
D. 若兩點，在該函數(shù)圖象上，則
8. 若關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A. k≥B. k>C. k≥且k≠0D. k>且k≠0
9. 如圖，和是以點O為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是（ ）

A. B. C. D.
10. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對于下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
①；
②；
③；
④若m為任意實數(shù)；則．

A. 1B. 2C. 3D. 4
第II卷（非選擇題共90分）
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分． ）
11. 若二次根式有意義，則a的取值范圍是________．
12. 一個圓錐的母線長為，它的側(cè)面展開圖的圓心角為，則這個圓錐的底面半徑r為________．
13. 若方程是關(guān)于x一元二次方程，則m的取值范圍____________．
14. 已知是直線上的點，則的值是______．
15. 計算：______．
16. 是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，將繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是___________．
三、解答題（共9小題，共72分． ）
17. 解不等式組：．
18 先化簡再求值：，其中．
19. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）作⊙O，使它過點A、B、C（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圓中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的長．
20. 第31屆世界大學(xué)生夏季運動會于2023年7月28日-8月8日在成都舉行．彬彬和明明申請足球A、籃球B、排球C、乒乓球D．四項賽事中某一項的志愿者，他們被隨機分配到這四項賽事中的任意一項的可能性相同．
（1）“彬彬被分配到乒乓球D．賽事做志愿者”是___________事件(填“必然”、“不可能”或“隨機”)．
（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求彬彬和明明被分配到同一項賽事做志愿者的概率．
21. 如圖，為的直徑，為上一點，與過點的切線互相垂直，垂足為點，交于點，連接，．

（1）求證：；
（2）若，，求的長．
22. 2023春節(jié)檔電影《滿江紅》熱映，進一步激發(fā)觀眾愛國之情．帝都南陽與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統(tǒng)軍過南陽到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書前后《出師表》，為南陽留下了千古絕唱“三絕碑”．
某超市采購了兩批同樣的《出師表》紀(jì)念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個掛件的進價是第二批的倍，且第二批比第一批多購進25個．
（1）求第二批每個掛件的進價；
（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點A，與直線交于點，B為直線上一點．

（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)線段最短時，求點B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上找一點C，使的值最大，請直接寫出點C的坐標(biāo)，并直接寫出最大值．
24. 已知：如圖①，在矩形中，，，，垂足是E．點F是點E關(guān)于的對稱點，連接．

（1）求和的長；
（2）若將沿著射線方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點B沿方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點F分別平移到線段上時，求出相應(yīng)的m的值．
（3）如圖②，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的為，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)所在的直線與直線交于點P，與直線交于點Q．當(dāng)為等腰三角形時，直接寫出的長．
25. 已知拋物線經(jīng)過點．
（1）求拋物線解析式及其頂點的坐標(biāo)．
（2）若點，均在拋物線上，且，求的取值范圍．
（3）將點向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點，若點為拋物線上的一個動點，則以線段為直徑的圓與直線交于點，，的面積是否為定值？若是，求出它的值；若不是，請說明理由．
2023-2024學(xué)年九年級1月質(zhì)量檢查
數(shù)學(xué)（問卷）
（滿分120分，考試時間120分鐘）
命題人：王華征 審題人：譚艷妮
第I卷（選擇題共30分）
一、選擇題．（共10小題，每小題3分，共30分． 每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 在中，無理數(shù)的個數(shù)是（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】先將能化簡的數(shù)化簡，再根據(jù)無理數(shù)的定義逐個進行判斷即．
【詳解】解：，
無理數(shù)有：，
∴無理數(shù)的個數(shù)是2個，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，常見的無理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，含的數(shù)，無限不循環(huán)的數(shù)．
2. 下列五個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 個
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：圖1是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
圖2既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；
圖3不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
圖4既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；
圖5是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
綜上，符合題意的是圖2和圖4，共2個，
故選：B．
3. 下列運算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方以及合并同類項的法則逐項計算即可．
【詳解】A．，故此選項正確；
B．，不能合并，故此選項錯誤；
C．，故此選項錯誤；
D．，故此選項錯誤；
故選：A．
【點睛】考查了同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方的計算以及合并同類項的運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
4. 如圖，的直徑為，弦，垂足為，，則的長為( )

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】連接，則，根據(jù)垂徑定理可得，勾股定理求得，進而即可求解．
【詳解】解：連接，則，
，，
，
，
．

故選：A．
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
5. 二次函數(shù)的圖象向右平移3個單位，向上平移3個單位，得到新函數(shù)圖象表達式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，即可求解．
【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向右平移3個單位，向上平移3個單位，得到函數(shù)圖象的表達式是
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補，圓心角是對弧的圓周角的2倍計算即可．
【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，
∴，而，
∴，
∴．
故選：B．
7. 對于函數(shù)的圖象，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. 圖象必經(jīng)過點
B. 圖象經(jīng)過第一、二、四象限
C. 與軸的交點為
D. 若兩點，在該函數(shù)圖象上，則
【答案】C
【解析】
【分析】求出當(dāng)時y的值，求出當(dāng)時，x的值即可判斷A、C；根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可判斷B、D．
【詳解】解：A、當(dāng)時，，
一次函數(shù)的圖象必過點，故A不符合題意；
B、，，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故B不符合題意；
C、當(dāng)時，即，解得：，
一次函數(shù)圖象與軸的交點為，故C符合題意；
D、，
隨的增大而減小，
又點，在一次函數(shù)的圖象上，且，
，故D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
8. 若關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A. k≥B. k>C. k≥且k≠0D. k>且k≠0
【答案】C
【解析】
【分析】由方程為一元二次方程可得出k≠0，再根據(jù)方程有解結(jié)合根的判別式可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．
【詳解】∵方程kx2+3x﹣1=0為一元二次方程，∴k≠0．
當(dāng)k≠0時．
∵方程kx2+3x﹣1=0有實數(shù)根，∴△=b2﹣4ac=32+4k≥0，解得：k，
∴k的取值范圍是k且k≠0．
故選C．
【點睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當(dāng)一元二次方程有解時，根的判別式△≥0．”是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，和是以點O為位似中心位似圖形．若，則與的周長比是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)位似的性質(zhì)得到與的位似比為，再利用比例性質(zhì)得到，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：與是位似圖形，點O為位似中心，
且，
，
，
又，
．
故選：C．
【點睛】本題考查了位似變換，熟練掌握位似變換的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對于下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
①；
②；
③；
④若m為任意實數(shù)；則．

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由拋物線開口向上，交y軸于負(fù)半軸，可判斷，，再結(jié)合拋物線的對稱軸即可判斷b，進而可判斷①；將拋物線轉(zhuǎn)化為交點式，可得，然后即可判斷②③；分別計算與，變形比較即可判斷④，從而可得答案．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，交y軸于負(fù)半軸，
∴，，
∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∴，
∴，故①錯誤；
∵拋物線過點，
∴，
∴，
∴，故③正確；
∴，故②正確；
若m為任意實數(shù)，則，
∵，，
∴，
即，故④正確；
綜上，正確的結(jié)論有3個；
故選：C
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及相關(guān)代數(shù)式的變形，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活進行二次函數(shù)一般式與交點式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
第II卷（非選擇題共90分）
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分． ）
11. 若二次根式有意義，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進行求解即可．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
12. 一個圓錐的母線長為，它的側(cè)面展開圖的圓心角為，則這個圓錐的底面半徑r為________．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐的展開圖是扇形，母線長為扇形的半徑，底面周長是扇形的弧長，利用弧長公式求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，底面周長為，
由得，
故答案為：3．
【點睛】本題考查圓錐的展開圖、扇形的弧長公式，熟記弧長公式是解答的關(guān)鍵．
13. 若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程成立的條件列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，熟記一元二次方程的定義，即只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是解題的關(guān)鍵．
14. 已知是直線上的點，則的值是______．
【答案】－9
【解析】
【分析】把點P的坐標(biāo)代入直線解析式中，可得3b－a=－2，從而可求得代數(shù)式的值．
【詳解】把點P的坐標(biāo)代入中，得，即3b－a=－6
所以
故答案為：－9．
【點睛】本題考查了點在直線上的坐標(biāo)特征，求代數(shù)式的值，這里用到了整體思想．
15. 計算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算．直接利用二次根式的性質(zhì)和完全平方公式運算法則化簡，進一步計算得出答案．
【詳解】解：
，
故答案為：．
16. 是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，將繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先證明，如圖，設(shè)交于點T．證明，推出點F在的外接圓上運動，當(dāng)最小時，的值最小，此時，求出可得結(jié)論．
【詳解】解：∵都是等邊三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
如圖，設(shè)交于點T．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點F在外接圓上運動，當(dāng)最小時，的值最小，此時，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值，
故答案為：．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
三、解答題（共9小題，共72分． ）
17. 解不等式組：．
【答案】x≤1．
【解析】
【分析】先解不等式組中的每一個不等式，再求出它們的公共解即可．
【詳解】解：．
由①得x≤1；
由②得x＜4；
所以原不等式組的解集為：x≤1．
【點睛】本題考查解一元一次不等式組．
18. 先化簡再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值、解一元二次方程，先根據(jù)分式的混合運算法則將式子化簡，再解一元二次方程，選擇合適的值，代入化簡后的式子進行計算即可，熟練掌握分式的混合運算法則以及解一元二次方程的方法是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
，
，
，
解得：，，
當(dāng)時，，故不符合題意，
當(dāng)時，原式．
19. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）作⊙O，使它過點A、B、C（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圓中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的長．
【答案】（1）見解析；（2）劣弧BC的長為
【解析】
【分析】（1）先找到圓心，作線段AB的垂直平分線交AB于O點，然后以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓即可；
（2）先證△AOC是邊長為2的等邊三角形，可得∠A=60°，再求∠BOC=120°，將它們代入弧長公式計算即可．
【詳解】解：（1）如圖，作線段AB的垂直平分線交AB于O點，然后以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，⊙O即為所求；
（2）連接OC，
∵AB=4 ，AC＝2
∴OA＝OC＝2，，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC為等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴劣弧BC的長為．
【點睛】本題考查作直角三角形的外接圓，線段垂直平分線，等邊三角形判定與性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式，掌握作直角三角形的外接圓，線段垂直平分線，等邊三角形判定與性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式是解題關(guān)鍵．
20. 第31屆世界大學(xué)生夏季運動會于2023年7月28日-8月8日在成都舉行．彬彬和明明申請足球A、籃球B、排球C、乒乓球D．四項賽事中某一項的志愿者，他們被隨機分配到這四項賽事中的任意一項的可能性相同．
（1）“彬彬被分配到乒乓球D．賽事做志愿者”是___________事件(填“必然”、“不可能”或“隨機”)．
（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求彬彬和明明被分配到同一項賽事做志愿者的概率．
【答案】（1）隨機 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)隨機事件的定義即可求解；
（2）列表法求得共有16種等可能的結(jié)果，其中彬彬和明明被分配到同一項賽事做志愿者的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：“彬彬被分配到乒乓球D．賽事做志愿者”是隨機事件，
故答案是：隨機；
【小問2詳解】
畫表格圖如下：
∵總共有16種可能的抽取結(jié)果，彬彬和明明被分配到同一項賽事做志愿者的有4種，
∴彬彬和明明被分配到同一項賽事做志愿者概率．
【點睛】此題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21. 如圖，為的直徑，為上一點，與過點的切線互相垂直，垂足為點，交于點，連接，．

（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算得到答案．
【小問1詳解】
解：證明：

連接、，
是的切線，
，
，
，
，
，
，
，
由圓周角定理得，，，
，
；
【小問2詳解】

由（1）可知，，
是的直徑，
，
，
，，
，
，即，
解得，．
【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．
22. 2023春節(jié)檔電影《滿江紅》熱映，進一步激發(fā)觀眾愛國之情．帝都南陽與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統(tǒng)軍過南陽到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書前后《出師表》，為南陽留下了千古絕唱“三絕碑”．
某超市采購了兩批同樣的《出師表》紀(jì)念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個掛件的進價是第二批的倍，且第二批比第一批多購進25個．
（1）求第二批每個掛件的進價；
（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【答案】（1）40元 （2）售價定為55元時，最大利潤是1350元
【解析】
【分析】（1）設(shè)第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為元，根據(jù)題意列出方程，求解即可；
（2）設(shè)每個售價定為m元，每周所獲利潤為W元，則可列出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)“每周最多能賣90個”得出m的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解答：解：(1）設(shè)第二批每個掛件進價是每個x元，
根據(jù)題意得
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，也符合題意，
∴，
答：第二批每個掛件進價是每個40元；
【小問2詳解】
設(shè)每個掛件售價定為m元，每周可獲得利潤W元，
∵每周最多能賣90個，
∴ ，
解得，
根據(jù)題意得，
∵，
∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
∵，
∴當(dāng)時，W取最大，此時．
∴當(dāng)每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．
【點睛】本題綜合考查分式方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點A，與直線交于點，B直線上一點．

（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)線段最短時，求點B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上找一點C，使的值最大，請直接寫出點C的坐標(biāo)，并直接寫出最大值．
【答案】（1）
（2）
（3），最大值
【解析】
【分析】（1）首先把點代入直線得出的值， 再進一步代入直線求得的值即可；
（2）當(dāng)直線時, 線段最短，進而得出的坐標(biāo)即可；
（3）由三角形的三邊關(guān)系得，,當(dāng)三點共線時, ，, 即最大, 即為,進而解答即可.
【小問1詳解】
把點代入直線，
解得：，
把代入，
解得：，
∴，；
【小問2詳解】
當(dāng)垂直于直線時，線段最短，把直線與y軸的交點標(biāo)記為E，

當(dāng)時，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
過點B作于點M，
∴，
∴，
∴B；
【小問3詳解】
在軸上取點，由三角形的三邊關(guān)系得，,
當(dāng)三點共線時, ，, 即最大, 即為,
所以點在上,
把代入中,
得,
得,
∴,
∵,
過點作于點，
，
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征與垂線段最短的性質(zhì)解答，結(jié)合圖形，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題.
24. 已知：如圖①，在矩形中，，，，垂足是E．點F是點E關(guān)于的對稱點，連接．

（1）求和的長；
（2）若將沿著射線方向平移，設(shè)平移距離為m（平移距離指點B沿方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點F分別平移到線段上時，求出相應(yīng)的m的值．
（3）如圖②，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的為，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)所在的直線與直線交于點P，與直線交于點Q．當(dāng)為等腰三角形時，直接寫出的長．
【答案】（1），
（2）當(dāng)點落在上時，，當(dāng)點落在上時，
（3）的長度分別為2或或或．
【解析】
【分析】（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；
（2）依題意畫出圖形，如圖所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰有4種情形，分別畫出圖形，對于各種情形分別進行計算即可．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是矩形，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
∵點F是點E關(guān)于的對稱點，
，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
【小問2詳解】
解：設(shè)平移中的三角形為，如圖所示：

由對稱點性質(zhì)可知，．，
由平移性質(zhì)可知，，，．
①當(dāng)點落在上時，
，
，
，
，即；
②當(dāng)點落在上時，
，
，
，，
，
又易知，
為等腰三角形，
，
，即；
【小問3詳解】
解：存在．理由如下：
在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰依次有以下4種情形：
①如圖所示，點Q落在延長線上，且，則，

，
，，
，
，
．
在中，由勾股定理得：．
；
②如圖所示，點Q落在上，且，則，

，
，
，
則此時點落在邊上．
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
；
③如圖所示，點Q落在上，且，則．

，，
．
，
．
，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
；
④如圖所示，點Q落在上，且，則．

，，，
，
，
．
綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使為等腰三角形；的長度分別為2或或或．
【點睛】本題是四邊形綜合題目，主要考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點；第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進行分類討論．
25. 已知拋物線經(jīng)過點．
（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標(biāo)．
（2）若點，均在拋物線上，且，求的取值范圍．
（3）將點向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點，若點為拋物線上的一個動點，則以線段為直徑的圓與直線交于點，，的面積是否為定值？若是，求出它的值；若不是，請說明理由．
【答案】（1），；
（2）；
（3）是，．
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為頂點式，求出點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到，結(jié)合，得到，，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出
時，的取值范圍即可；
（3）平移得到點的坐標(biāo)，設(shè)，兩點間的坐標(biāo)公式得到，中點坐標(biāo)公式，得到的中點的坐標(biāo)為，進而求出點到直線的距離，利用垂徑定理，得到，求出的長，再求出點到直線的距離，然后利用面積公式進行求解即可．
【小問1詳解】
解：將點代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴函數(shù)的頂點的坐標(biāo)為．
【小問2詳解】
∵，在拋物線上，
∴點和點關(guān)于對稱軸對稱，
∴，
∵，
∴，，
設(shè)，
∵開口向上，對稱軸為，
∴當(dāng)時，隨的增大而減小，
∴，即，
∴，
∴．
【小問3詳解】
由題意得，，設(shè)，則，
∴，的中點坐標(biāo)為，記為點，
∴點到直線的距離為，
由垂徑定理得，，
∴，
∴，
∴，
∵點到直線的距離為，
∴，
∴的面積為定值．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．
彬彬
明明

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