一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的根是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 解一元二次方程，用配方法可變形為（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程根的情況為（ ）
A. 有兩個相等的實數(shù)根B. 有兩個不相等的實數(shù)根C. 只有一個實數(shù)根D. 沒有實數(shù)根
5. 某商品原價200元，兩次降價后售價為162元，設平均每次降價的百分率為x，下列方程正確的（ ）
A. B.
C. D.
6. 拋物線不具有性質(zhì)是（ ）
A. 開口向下B. 對稱軸是y軸
C. 當時，y隨x的增大而減小D. 函數(shù)有最小值
7. 已知點和在拋物線上，若，則與的大小關系（ ）
A. B. C. D. 無法確定
8. 如果關于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分別是（ ）
A. ﹣3，2B. 3，﹣2C. 2，﹣3D. 2，3
9. 已知一個等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則該三角形的周長是（ ）
A. 10B. 8C. 8或10D. 6或10
10. 在同一直角坐標系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
11. 設一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是和，則______，______．
12. 將拋物線向上平移3個單位長度，所得拋物線的函數(shù)解析式為_____．
13. 已知是一元二次方程的一個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為______．
14. 已知關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是______．
15. 在一次聚會中，每兩個參加聚會人都互相握一次手，一共握手28次，問這次參加聚會的人數(shù)是多少？若設這次參加聚會的人數(shù)為x人，則可列出的方程是______．
16. 如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E、F分別是邊上的點，連接，若，，，則周長的最小值是______．

三、解答題（共9道題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
18. 關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，．
（1）求m的取值范圍；
（2）若，求m的值．
19. 已知二次函數(shù)．
（1）填寫上表，并在下邊平面直角坐標系中描出表中的點并畫出函數(shù)圖象．
（2）
由圖可知拋物線開口方向為______，對稱軸為______，頂點坐標為______，當時，y隨x的增大而______．
（3）利用圖象寫出當時，y的取值范圍是______．
20. 某市2020年底已有綠化面積300畝，經(jīng)過兩年的綠化，綠化面積逐年增加，到2022年底增加到363畝．
（1）求綠化面積年平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計2023年底綠化面積是多少畝？
21. 已知關于x一元二次方程．
（1）若該方程的一個根為3，求a的值及該方程的另一個根；
（2）求證：不論a為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
22. 某網(wǎng)店為滿足航天愛好者的需求，推出“空間站”模型，已知該模型平均每天可售出20個，每個可以盈利40元，為了擴大銷售，該網(wǎng)站準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個，假設每個模型降價x元．
（1）每個模型可盈利______元，平均每天可售出______個（用含x的式子表示）．
（2）在每個模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天獲利1200元，每個模型應降價多少元？
23. 如圖，在中，，，．點、同時由、兩點出發(fā)，分別以和的速度沿線段、勻速移動，當一點到達終點時，另一點也停止移動．

（1）設經(jīng)過秒，用含t的代數(shù)式表示、．______、______．
（2）幾秒后，的面積是面積的？
24. 如圖，中，，，，且關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根．

（1）判斷的形狀．
（2）若平分，且，、為方程的兩根，求k的值．
（3）在（2）的條件下，若，求的長．
25. 如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學將一個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點E、F，∠EDF=60°，當CE=AF時，如圖1小芳同學得出的結(jié)論是DE=DF．
（1）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當CE≠AF時，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；
（2）再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當點E、F分別在CB、BA的延長線上時，如圖3請直接寫出DE與DF的數(shù)量關系；
（3）連EF，若△DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關系式，并指出當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？
2023學年第一學期9月月評問卷
九年級數(shù)學
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，只有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A、是一元二次方程，符合題意；
B、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
C、，即未知數(shù)的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合題意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；
故選：A．
2. 方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可
【詳解】∵，
∴或，
∴，，
故選：B
【點睛】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解決問題的關鍵
3. 解一元二次方程，用配方法可變形為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】移項后兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方即可得．
【詳解】∵，
∴，
，
，
故選：A．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．
4. 一元二次方程的根的情況為（ ）
A. 有兩個相等的實數(shù)根B. 有兩個不相等的實數(shù)根C. 只有一個實數(shù)根D. 沒有實數(shù)根
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷根的情況：當時，方程有兩個相等實數(shù)根；當時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根；該一元二次方程，即有兩個不相等實數(shù)根，可得答案B．
【詳解】解： 一元二次方程 ，
∴判別式 ，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選B
【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判斷方法是解題的關鍵．
5. 某商品原價200元，兩次降價后售價為162元，設平均每次降價的百分率為x，下列方程正確的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設平均每次的降價率為x，則經(jīng)過兩次降價后的價格是，根據(jù)關鍵語句“連續(xù)兩次降價后為162元”可得答案．
【詳解】由題意得：．
故選：C．
【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為．
6. 拋物線不具有的性質(zhì)是（ ）
A. 開口向下B. 對稱軸是y軸
C. 當時，y隨x的增大而減小D. 函數(shù)有最小值
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關鍵．
【詳解】解：A、∵，∴開口向下，故不符合題意；
B、拋物線，對稱軸是y軸，故不符合題意；
C、時y隨x增大而減小，故不符合題意；
D、頂點坐標，有最高點是原點，即有最大值，選項錯誤，符合題意．
故選：D．
7. 已知點和在拋物線上，若，則與的大小關系（ ）
A. B. C. D. 無法確定
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，由拋物線的解析式可知對稱軸為軸，，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大．
【詳解】解：由拋物線的解析式可知：
對稱軸是直線，拋物線開口方向向下，
，
隨的增大而增大．
．
故選：A．
8. 如果關于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分別是（ ）
A. ﹣3，2B. 3，﹣2C. 2，﹣3D. 2，3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可知：x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，把 x1＝2，x2＝1 代入，即可求出p=-3，q=2.
【詳解】解：由題意，得：x1+x2＝﹣p，x1x2＝q；
∴p＝﹣（x1+x2）＝﹣3，q＝x1x2＝2；
故選A．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系.
9. 已知一個等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則該三角形的周長是（ ）
A. 10B. 8C. 8或10D. 6或10
【答案】A
【解析】
【分析】解方程求得的值，再分兩種情況結(jié)合三角形的三邊關系求三角形的周長即可．
【詳解】解：，
解得，
當腰是時，三邊分別，，，不能組成三角形；
當腰是時，三邊分為，，，能組成等腰三角形；
所以此等腰三角形的周長是．
故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解一元二次方程及三角形三邊關系，分類討論是解題的關鍵．
10. 在同一直角坐標系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，根據(jù)各個選項中的圖象，可以判斷出一次函數(shù)和二次函數(shù)中a、c的正負情況，即可判斷哪個選項是正確的，解答本題的關鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【詳解】解：A、一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項不符合題意；
B、一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項符合題意；
C、一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項不符合題意；
D、一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項不符合題意；
故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
11. 設一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是和，則______，______．
【答案】 ①. 5 ②. 3
【解析】
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系，若，是方程的兩根時，則，，先根據(jù)一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是和，求出，，即可．
【詳解】解：一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是和，
，；
故答案為：5,3．
12. 將拋物線向上平移3個單位長度，所得拋物線的函數(shù)解析式為_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接運用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，在原式上加3即可得新函數(shù)解析式．
【詳解】解：∵向上平移3個單位長度，
∴新拋物線為．
故答案為∶
【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．
13. 已知是一元二次方程的一個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為______．
【答案】8
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)方程的解的定義把代入一元二次方程，得到，然后將其整體代入所求的代數(shù)式進行求值．
【詳解】解：是一元二次方程的一個實數(shù)根，
，
，
∴
故答案為：8．
14. 已知關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式的應用，由關于的一元二次方程沒有實數(shù)根，可得，再解不等式可得答案．
【詳解】解： 關于的一元二次方程沒有實數(shù)根，
∴， 即，
解得： ．
故答案為：．
15. 在一次聚會中，每兩個參加聚會的人都互相握一次手，一共握手28次，問這次參加聚會的人數(shù)是多少？若設這次參加聚會的人數(shù)為x人，則可列出的方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了用一元二次方程解決握手次數(shù)問題，每個人都要和他自己以外人握手一次，但兩個人之間只握手一次，所以等量關系為：×聚會人數(shù)×（聚會人數(shù)﹣1）=總握手次數(shù)，把相關數(shù)值代入即可求解，得到總次數(shù)的等量關系是解決本題的關鍵．
【詳解】解：參加聚會的人數(shù)為x人，每個人都要握手次，根據(jù)題意得：
，
故答案為:．
16. 如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E、F分別是邊上點，連接，若，，，則周長的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】作點O關于的對稱點M，點O關于的對稱點N，連接，則的周長，故當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，證明是等邊三角形，得到；過D作交直線于P，由平行四邊形的性質(zhì)得到，，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，則，，即可得到點P與點B重合，則，由此即可得到答案．
【詳解】解：作點O關于的對稱點M，點O關于的對稱點N，連接，
由作圖得：，，
∴的周長，
∴當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
過D作交直線于P，
∵四邊形平行四邊形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴點P與點B重合，
∴，
∴
∴的周長最小值為，

故答案為：．
【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．
三、解答題（共9道題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．
（1）移項，提取公因式然后解方程；
（2）利用因式分解解方程
（3）提取公因式然后解方程；
（4）利用求根公式解方程．
【小問1詳解】
解：移項得，
提取公因式得，
解得，；
【小問2詳解】
因式分解得，
解得，；
【小問3詳解】
提取公因式得，
解得，．
【小問4詳解】
移項得：

，
，；
18. 關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，．
（1）求m的取值范圍；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，可知方程的判別式大于等于0，據(jù)此列不等式即可求解；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得出，代入中即可求解．
本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，若，是方程的兩個根，則有，，掌握該知識點是解答本題的關鍵．
【小問1詳解】
解：∵方程有兩個實數(shù)根，
∴，即
∴；
【小問2詳解】
∵，，
由得，，
∴．
19. 已知二次函數(shù)．
（1）填寫上表，并在下邊平面直角坐標系中描出表中的點并畫出函數(shù)圖象．
（2）
由圖可知拋物線開口方向為______，對稱軸為______，頂點坐標為______，當時，y隨x的增大而______．
（3）利用圖象寫出當時，y的取值范圍是______．
【答案】（1）見解析 （2）向下；y軸；；減?。?
（3）
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的基礎知識點，
（1）根據(jù)列表、描點、連線三步作出函數(shù)圖象即可；
（2）觀察函數(shù)圖象求解即可；
（3）觀察函數(shù)圖象求解即可；
解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象畫法，通過數(shù)形結(jié)合求解．
小問1詳解】
解：如下表所示：
函數(shù)圖象如圖所示：
【小問2詳解】
根據(jù)函數(shù)圖象得：拋物線開口方向為向下；對稱軸為y軸；頂點坐標為；當時，y隨x的增大而減?。?br>故答案為：向下；y軸；；減??；
【小問3詳解】
有函數(shù)圖象可得：當時，y的取值范圍是，
故答案為：．
20. 某市2020年底已有綠化面積300畝，經(jīng)過兩年的綠化，綠化面積逐年增加，到2022年底增加到363畝．
（1）求綠化面積年平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計2023年底綠化面積是多少畝？
【答案】（1）
（2）畝
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，為增長率問題，一般形式為，為起始時間的有關數(shù)量，為終止時間的有關數(shù)量．
（1）本題為增長率問題，一般用增長后的量增長前的量增長率），如果設綠化面積平均每年的增長率為，根據(jù)題意即可列出方程求解．
（2）增長后的量增長前的量增長率），根據(jù)題意即可求解．
【小問1詳解】
解：設綠化面積的年平均增長率為，
根據(jù)題意即可列出方程．
解得：或（舍去），
答：綠化面積的年平均增長率為．
【小問2詳解】
預計2023年底綠化面積是畝
答：預計2023年底綠化面積是畝
21. 已知關于x的一元二次方程．
（1）若該方程的一個根為3，求a的值及該方程的另一個根；
（2）求證：不論a為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【答案】（1）方程的另一根為；
（2）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，
（1）將方程的根代入可求得的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關系可求得另一個根；
（2）用表示出其判別式，利用配方可化為平方的形式，可判斷判別式的符號，可得出結(jié)論；
掌握一元二次方程根的判別式與根的個數(shù)的關系及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：將代入方程可得：
，
解得；
方程為，
設另一根為，則，
解得，即方程的另一根為；
【小問2詳解】
證明：，
不論取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
22. 某網(wǎng)店為滿足航天愛好者的需求，推出“空間站”模型，已知該模型平均每天可售出20個，每個可以盈利40元，為了擴大銷售，該網(wǎng)站準備適當降價，經(jīng)過一段時間測算，每個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個，假設每個模型降價x元．
（1）每個模型可盈利______元，平均每天可售出______個（用含x的式子表示）．
（2）在每個模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天獲利1200元，每個模型應降價多少元？
【答案】（1）；
（2）每個模型應降價10元．
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）利用利潤每個的銷售利潤-降價的價格，利用平均每天的銷售量每個模型降低的價格，可求出平均每天的銷售量；
（2）設每個模型應降價元，則每個模型可盈利元，平均每天可售出個，利用總利潤每個的銷售利潤日銷售量，可得出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：設每個模型應降價元，
則每個模型可盈利元，平均每天可售出個；
故答案為：；
【小問2詳解】
設每個模型應降價元，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，，
又每個模型盈利不少于25元，
．
答：每個模型應降價10元．
23. 如圖，在中，，，．點、同時由、兩點出發(fā)，分別以和的速度沿線段、勻速移動，當一點到達終點時，另一點也停止移動．

（1）設經(jīng)過秒，用含t的代數(shù)式表示、．______、______．
（2）幾秒后，的面積是面積的？
【答案】（1），
（2）或秒
【解析】
【分析】（1）根據(jù)路程速度時間，結(jié)合線段的和差關系即可求解；
（2）根據(jù)的面積是面積的，列出方程計算即可求解．
【小問1詳解】
由題意可知
，
，
故答案為：，．
【小問2詳解】
依題意有
，
解得：，．
故或秒后，的面積是面積的．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，三角形面積的計算方法，找到等量關系式，列出方程求解即可，注意結(jié)合圖形找到等量關系．
24. 如圖，中，，，，且關于x方程有兩個相等的實數(shù)根．

（1）判斷的形狀．
（2）若平分，且，、為方程的兩根，求k的值．
（3）在（2）的條件下，若，求的長．
【答案】（1）是直角三角形
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)有兩個相等的實數(shù)根可得即可得出結(jié)論；
（2）過D作的垂線，作的垂線，由定理得出可得，再由根與系數(shù)的關系即可得出結(jié)論；
（3）由（2）求出的長，再由勾股定理求出的長即可．
【小問1詳解】
解：∵關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根
∴，
∴，即，
∴是直角三角形；
【小問2詳解】
如圖，過D作的垂線，作的垂線，

由（1）知，，
∵平分，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
解得
當時，原方程為，解得，即，
當時，原方程為，解得，不符合條件，
∴；
【小問3詳解】
由（2）可得，
∴，，
∵，
∴
在中，，
∴，
解得,
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，根與系數(shù)的關系、勾股定理，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關鍵．
25. 如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學將一個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點E、F，∠EDF=60°，當CE=AF時，如圖1小芳同學得出的結(jié)論是DE=DF．
（1）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當CE≠AF時，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；
（2）再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當點E、F分別在CB、BA的延長線上時，如圖3請直接寫出DE與DF的數(shù)量關系；
（3）連EF，若△DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關系式，并指出當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？
【答案】(1)成立，證明見解析；（2）DF=DE．（3）當x=0時，y最小值=．
【解析】
【分析】（1）如圖1，連接BD．根據(jù)題干條件首先證明∠ADF=∠BDE，然后證明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（2）如圖2，連接BD．根據(jù)題干條件首先證明∠ADF=∠BDE，然后證明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（3）根據(jù)（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面積轉(zhuǎn)化為：y=S△BEF+S△ABD．據(jù)此列出y關于x的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值來求y的最小值．
【詳解】（1）DF=DE．理由如下：
如圖1，連接BD．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
∵在△ADF與△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（2）DF=DE．理由如下：
如圖2，連接BD．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
∵在△ADF與△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．則S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．
依題意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．
即y=（x+1）2+．
∵＞0，
∴該拋物線的開口方向向上，
∴當x=0即點E、B重合時，y最小值=．
x
…
0
1
2
…
y
…
…
x
…
0
1
2
…
y
…
…
x
…
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
0
…

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