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1. 了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線互相重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；
2. 探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°，及等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形．
3. 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形；
4. 探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題．
該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識的基礎(chǔ)上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10 分左右，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形和勾股定理與中位線性質(zhì)、三角形全等、三角形內(nèi)外角性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識點結(jié)合考察，這部分知識需要學(xué)生扎實地掌握基礎(chǔ)，并且會靈活運用.在解答題中會出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定,這部分知識主要考查基礎(chǔ)。
?考向一 等腰三角形的性質(zhì)與判定
1．（2023?河北）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路點撥】分兩種情況，由三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊的和大于第三邊，即可解決問題．
【規(guī)范解答】解：∵△ABC為等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC，
當(dāng)AC＝BC＝4時，AD+CD＝AC＝4，此時不滿足三角形三邊關(guān)系定理，
當(dāng)AC＝AB＝3時．滿足三角形三邊關(guān)系定理，
∴AC＝3．
故選：B．
【真題點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理．
2．（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，點G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗戶框的材料總長為16米（圖中所有黑線的長度和），設(shè)BF＝x米，BE＝y(tǒng)米．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積．
【思路點撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF的長，即可求出BC的長，根據(jù)AF：BF＝3：4即可求出AF的長，再根據(jù)勾股定理求出AB的長，AC的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG、FH的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出ED＝BC＝2x米，BE＝IJ＝MN＝CD＝y(tǒng)米，最后根據(jù)制造窗戶框的材料總長為16米列出方程即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)窗戶的面積等于△ABC的面積加上矩形BCDE的面積計算，再根據(jù)配方法求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)即可．
【規(guī)范解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，F(xiàn)是BC的中點，
∴BF＝CF，AF⊥BC，AB＝AC，
∵BF＝x（米），
∴CF＝x（米），BC＝2BF＝2x（米），
∵AF：BF＝3：4，
∴（米），
在Rt△AFB中，由勾股定理得（米），
∴（米），
∵點G、H分別是邊AB、AC的中點，∠AFB＝∠AFC＝90°，
∴（米），（米），
∵四邊形BCDE是矩形，
∴ED＝BC＝2x（米），BE＝CD＝y(tǒng)（米），
∵BE∥IJ∥MN∥CD，
∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y(tǒng)（米），
∵制造窗戶框的材料總長為16米，
∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD＝16（米），
∴，
整理得；
由題意得，
解得；
（2）∵，，
設(shè)窗戶的面積為W平方米，
則W＝S△ABC+S矩形BCDE
＝
＝
＝，
∵，
∴W有最大值，
當(dāng)米時，W最大，最大值為平方米．
【真題點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)材料總長用含x的式子表示y，從而運用函數(shù)性質(zhì)求最大值是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點E，過點E作EF∥BC，交AC于點F，G為BC的中點，連接FG．求證：FG＝AB．
【思路點撥】由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠ACD＝∠FEC，即可證明EF＝CF，再利用直角三角形的性質(zhì)可證明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位線，進(jìn)而可證明結(jié)論．
【規(guī)范解答】證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠FEC，
∴EF＝CF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，
∴∠EAC＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴AF＝CF，
∵G是BC的中點，
∴GF是△ABC的中位線，
∴FG＝AB．
【真題點撥】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線等知識的綜合運用，證明GF是△ABC的中位線是解題的關(guān)鍵．
?考向二 三角形的內(nèi)角和
4．（2023?綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（ ）
A．B．6C．8D．
【思路點撥】先由等邊三角形的性質(zhì)，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根據(jù)CE＝CD，得∠E＝∠CDE，進(jìn)而得∠CBD＝∠E＝30°，則BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．
【規(guī)范解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC邊上的中線，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∠CBD＝∠E＝30°，
∴BD＝DE＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，
即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故選：C．
【真題點撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2023?涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是 1+ ．
【思路點撥】取AB的中點D，連接OD及DC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到OC小于等于OD+DC，只有當(dāng)O、D及C共線時，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長為2，根據(jù)D為AB中點，得到BD為1，根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長求出OD的長，進(jìn)而求出DC+OD，即為OC的最大值．
【規(guī)范解答】解：取AB中點D，連OD，DC，
∴OC≤OD+DC，
當(dāng)O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC為等邊三角形，D為AB中點，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD＝＝，
∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴OD＝AB＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC的最大值為1+．
故答案為：1+．
【真題點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，其中找出OC最大時的長為CD+OD是解本題的關(guān)鍵．
6．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為 2 ．
【思路點撥】連接AC、BD交于點O，過點E作EF⊥AC，交AC于點F，先證明△BCD是等邊三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝2，最后運用勾股定理求得AB即可．
【規(guī)范解答】解：如圖：連接AC、BD交于點O，過點E作EF⊥AC，交AC于點F，
又∵BC＝DC，∠C＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD＝BC＝CD＝8，
∵AB＝AD，BC＝DC，
∴AC⊥BD，BO＝DO＝BD＝4，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°，
又∵AE∥CD，
∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．
∴AE＝EC＝6，
過點E作EF⊥AC，交AC于點F，
∴CF＝CE?cs30°＝6×＝3，
AF＝AE?cs30°＝6×＝3，
CO＝BC?cs30°＝8×＝4，
∴AC＝CF+AF＝6，
∴AO＝AC﹣CO＝6﹣4＝2．
在Rt△BOA中，AB＝＝＝2．
故答案為：2．
【真題點撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分線、勾股定理、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．
?考向三 全等三角形的判定與性質(zhì)
7．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cbb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（ ）
A．∠BEAB．∠DEBC．∠ECAD．∠ADO
【思路點撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，
∴∠DEB＝∠O，
故選：B．
【真題點撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝ 10° ．
【思路點撥】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得．
【規(guī)范解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，
故答案為：10°．
【真題點撥】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
?考向四 含30°角的直角三角形
9．（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（ ）
A．4mB．6mC．10mD．12m
【思路點撥】作AD⊥BC于點 D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【規(guī)范解答】解：如圖，作AD⊥BC于點D，

在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
又∵AD⊥BC，
∴AD＝AB＝12＝6（m），
故選：B．
【真題點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是掌握30度角所對的直角邊是斜邊的一半．
10．（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，則EF＝BE+DF．
【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分別有景點M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之間修一條直路，則路線M→N的長比路線M→A→N的長少 370 m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）．
【思路點撥】解法一：如圖，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理證明∠G＝90°，分別計算AD，CG，AG，BG的長，由線段的和與差可得AM和AN的長，最后由勾股定理可得MN的長，計算AM+AN﹣MN可得答案．
解法二：構(gòu)建【閱讀材料】的圖形，根據(jù)結(jié)論可得MN的長，從而得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：解法一：如圖，延長DC，AB交于點G，過點N作NH⊥AD于H，
∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，
∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，
∴∠G＝90°，
∴AD＝2DG，
Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，
∴BG＝BC＝50，CG＝50，
∴DG＝CD+CG＝100+50，
∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，
∵DM＝100，
∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，
∵BG＝50，BN＝50（﹣1），
∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，
Rt△ANH中，∵∠A＝30°，
∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，
由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），
∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．
答：路線M→N的長比路線M→A→N的長少370m．
解法二：如圖，延長DC，AB交于點G，連接CN，CM，則∠G＝90°，
∵CD＝DM，∠D＝60°，
∴△DCM是等邊三角形，
∴∠DCM＝60°，
由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，
∴△CGN是等腰直角三角形，
∴∠GCN＝45°，
∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，
∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，
由【閱讀材料】的結(jié)論得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，
∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．
答：路線M→N的長比路線M→A→N的長少370m．
故答案為：370．
【真題點撥】此題重點考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運算等知識與方法，解題的關(guān)鍵是作出所需要的輔助線，構(gòu)造含30°的直角三角形，再利用線段的和與差進(jìn)行計算即可．
?考向五 直角三角形斜邊上的中線
11．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
【思路點撥】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計算出CD的長．
【規(guī)范解答】解：由圖可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點D為線段AB的中點，
∴CD＝AB＝3cm，
故選：B．
【真題點撥】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
12．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求證：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求線段FC的長．
【思路點撥】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對等邊即可得證；
（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長，再解直角三角形即可求出FC的長．
【規(guī)范解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，
∴CE＝CM；
（2）解：∵AB＝4，
∴CE＝CM＝AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE?cs30°＝．
【真題點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形等，熟練掌握并靈活運用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
?考向六 勾股定理
13．（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（ ）
A．2﹣B．2﹣2C．2D．2
【思路點撥】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝2cm，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD＝4cm，
∴BD＝＝＝2（cm），
∴AB＝BD﹣AD＝（2﹣2）（cm）．
故選：B．
【真題點撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2023?淮安）在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，BH為∠ABC內(nèi)部的任一條射線（∠CBH不等于60°），點C關(guān)于BH的對稱點為C′，直線AC′與BH交于點F，連接CC′、CF，則△CC′F面積的最大值是 4 ．
【思路點撥】連接BC'，根據(jù)圓的定義可知A、C、C'在以B點為圓心，AB為半徑的圓上，再判斷△CC'F是等邊三角形，則當(dāng)CC'是圓的直徑時，△CC′F面積的最大，此時CC'＝4，由此可求解．
【規(guī)范解答】解：連接BC'，
由軸對稱性可知，BC＝BC'，
∵AB＝BC＝BC'，
∴A、C、C'在以B點為圓心，AB為半徑的圓上，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AC'C＝120°，
∴∠FC'C＝180°﹣120°＝60°，
∵CF＝C'F，
∴△CC'F是等邊三角形，
∴要使△CC′F面積的最大，只需CC'最大即可，
∴當(dāng)CC'是圓的直徑時，△CC′F面積的最大，
∴CC'＝4，
∴△CC′F面積的最大值為×4×4×sin60°＝4，
故答案為：4．
【真題點撥】本題考查軸對稱的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能確定CC'是圓的直徑時，△CC′F面積的最大是解題的關(guān)鍵．
?考向七 勾股定理的證明
15．（2023?湖北）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設(shè)圖中AF＝a，DF＝b，連接AE，BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝ 3 ．
【思路點撥】根據(jù)題意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得到＝（負(fù)值舍去）代入進(jìn)行計算即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：方法一：∵圖中AF＝a，DF＝b，
∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，
∵△ADE與△BEH的面積相等，
∴，
∴a2＝（b﹣a）b，
∴a2＝b2﹣ab，
∴1＝（）2﹣，
∴，
解得＝（負(fù)值舍去），
∴；
方法二：∵a2＝b2﹣ab，
∴b2﹣a2＝ab，
∴（b2﹣a2）2＝a2b2，
∴b4+a4＝3a2b2，
∴＝3，
故答案為：3．
【真題點撥】本題考查了勾股定理的證明，一元二次方程的解法，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
16．（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為4，則S1+S2+S3＝ 48 ．
【思路點撥】由勾股定理和乘法公式完成計算即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)八個全等的直角三角形的長直角邊為a，短直角邊是b，則：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48．
故答案為：48．
【真題點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用勾股定理和乘法公式表示三個正方形的面積是求解本題的關(guān)鍵．
?考向八 勾股數(shù)
17．（2023?南通）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇數(shù)，則b＝ m （用含m的式子表示）．
【思路點撥】根據(jù)勾股數(shù)的定義解答即可．
【規(guī)范解答】解：∵a，b，c是勾股數(shù)，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，
∴b2＝c2﹣a2
＝（m2+）2﹣（m2﹣）2
＝m4++m2﹣（m4+﹣m2）
＝m4++m2﹣m4﹣+m2
＝m2，
∵m是大于1的奇數(shù)，
∴b＝m．
故答案為：m．
【真題點撥】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足a2+b2＝c2 的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．
18．（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是 m2+1 （結(jié)果用含m的式子表示）．
【思路點撥】根據(jù)題意得2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵m為正整數(shù)，
∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，
根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案為：m2+1．
【真題點撥】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
?考向九 勾股定理的應(yīng)用
19．（2023?恩施州）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少（如圖）？答：門高、寬和對角線的長分別是 8，6，10 尺．
【思路點撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高、寬、對角線長．
【規(guī)范解答】解：設(shè)門對角線的長為x尺，則門高為（x﹣2）尺，門寬為（x﹣4）尺，
根據(jù)勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，
解得：x1＝2（不合題意舍去），x2＝10，
10﹣2＝8（尺），
10﹣4＝6（尺）．
答：門高8尺，門寬6尺，對角線長10尺．
故答案為：8，6，10．
【真題點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，正確運用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運用到實際問題中是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．
20．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為 50 km．
【思路點撥】根據(jù)題意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，從而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定義可得∠ABC＝90°，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：如圖：
由題意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，
∴∠DAB＝∠ABE＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，
AC＝＝＝50（km），
∴A，C兩港之間的距離為50km，
故答案為：50．
【真題點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．
21．（2022?常州）如圖，將一個邊長為20cm的正方形活動框架（邊框粗細(xì)忽略不計）扭動成四邊形ABCD，對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到36cm時才會斷裂．若∠BAD＝60°，則橡皮筋A(yù)C 不會 斷裂（填“會”或“不會”，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）．
【思路點撥】設(shè)AC與BD相交于點O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，從而可得△ABD是等邊三角形，進(jìn)而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，從而求出AC的長，即可解答．
【規(guī)范解答】解：設(shè)AC與BD相交于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD＝AB＝20cm，
∴DO＝BD＝10（cm），
在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），
∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），
∵34.64cm＜36cm，
∴橡皮筋A(yù)C不會斷裂，
故答案為：不會．
【真題點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
?考向十 勾股定理—最短路徑問題
22．（2022?金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路點撥】利用圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，而點B是展開圖的一邊的中點，再利用螞蟻爬行的最近路線為線段可以得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，側(cè)面展開圖為矩形，
∵圓柱的底面直徑為AB，
∴點B是展開圖的一邊的中點，
∵螞蟻爬行的最近路線為線段，
∴C選項符合題意，
故選：C．
【真題點撥】本題主要考查了圓柱的側(cè)面展開圖，最短路徑問題，掌握兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
23．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為 10 cm．（杯壁厚度不計）
【思路點撥】將杯子側(cè)面展開，建立B關(guān)于EF的對稱點B′，根據(jù)兩點之間線段最短可知B′A的長度即為所求．
【規(guī)范解答】解：如圖：
將杯子側(cè)面展開，作B關(guān)于EF的對稱點B′，
連接B′A，則B′A即為最短距離，
B′A＝＝＝10（cm）．
故答案為：10．
【真題點撥】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．
?考向十一 等腰直角三角形
24．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長是（ ）
A．B．C．2D．1
【思路點撥】如圖，過點A作AF⊥BC于F，過點E作GH⊥BC于H，交AD的延長線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，證明四邊形AFHG是正方形，則AG＝GH，再證明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，則DG＝EG，CH＝EH，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，過點E作GH⊥BC于H，交AD的延長線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，
∴AF∥GH，
∵AD∥BC，∠AFH＝90°，
∴四邊形AFHG是矩形，
∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∵∠FAG＝∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAG，
∵∠AFB＝∠G＝90°，
∴△AFB≌△AGE（AAS），
∴AF＝AG，
∴矩形AFHG是正方形，
∴AG＝GH，
∵AG∥BC，
∴∠C＝∠EDG＝45°，
∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，
∴DG＝EG，CH＝EH，
∴AD＝EH＝1，
∴CH＝1，
由勾股定理得：CE＝＝．
解法二：如圖2，過點E作EF⊥CD，交BC于F，
∵∠C＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠CFE＝45°，
∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AED＝∠FBE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣45°＝135°，
∴∠D＝∠BFE，
∴△ADE∽△EFB，
∴＝＝，
∵AD＝1，
∴EF＝，
∴CE＝EF＝．
故選：A．
【真題點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形和正方形的性質(zhì)和判定等知識，正確作輔助線構(gòu)建△AFB和△AGE全等是解本題的關(guān)鍵．
25．（2023?蘇州）如圖，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，過點C作CD⊥BC，延長CB到E，使BE＝CD，連接AE，ED．若ED＝2AE，則BE＝ 1+ ．（結(jié)果保留根號）
【思路點撥】如圖，過E作EQ⊥CA于點Q，設(shè)BE＝x，AE＝y(tǒng)，可得CD＝3x，DE＝2y，證明BC＝AB＝6，CE＝6+x，△CQE為等
腰直角三角形，QE＝CQ＝CE＝（6+x）＝3+x，AQ＝x，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．
【規(guī)范解答】解：如圖，過E作EQ⊥CA于點Q，
設(shè)BE＝x，AE＝y(tǒng)，
∵BE＝CD，ED＝2AE，
∴CD＝3x，DE＝2y，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，
∴BC＝AB＝6，CE＝6+x，△CQE為等腰直角三角形，
∴QE＝CQ＝CE＝（6+x）＝3+x，
∴AQ＝x，
由勾股定理可得：，
整理得：x2﹣2x﹣6＝0，
解得：x＝1±，
經(jīng)檢驗x＝1﹣不符合題意；
∴BE＝x＝1+；
故答案為：1+．
【真題點撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
?考向十二 三角形中位線定理
26．（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（ ）
A．B．7C．D．8
【思路點撥】根據(jù)三角形中中位線定理證得DE∥BC，求出DE，進(jìn)而證得△DEF∽BMF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BM，即可求出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴＝＝＝2，
∴BM＝，
CM＝BC+BM＝．
故選：C．
【真題點撥】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
27．（2023?湖州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，連結(jié)DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的長．
【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出AB＝13，
【規(guī)范解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于點D，
∴，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴，
∵E為AB的中點，D點為BC的中點，
∴．
【真題點撥】此題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
?考向十三 三角形的綜合題
28．（2023?大慶）如圖，在△ABC中，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補三角形“，△AB′C′的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．下列結(jié)論正確的有 ①②③ ．
①△ABC與△AB′C′面積相同；
②BC＝2AD；
③若AB＝AC，連接BB′和CC′，則∠B′BC+∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，則B′C′＝10．
【思路點撥】由“SAS”可證△BAC≌△AB′E，可得BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，可求S△ABC＝S△B'C'A，BC＝2AD，故①②正確；由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正確；通過證明平行四邊形AC'EB'是菱形，可得B'C'⊥AE，B'D＝C'D，由勾股定理可求B'C'的長，即可判斷④，即可求解．
【規(guī)范解答】證明：延長AD至E，使DE＝AD，連接B'E，C'E，
∵AD是中線，
∴B'D＝C'D，
∴四邊形AC'EB'是平行四邊形，
∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，S△B'C'A＝S?B'EC'A＝S△AB'E，
∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠BAC＝∠AB′E，
∵將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β至AC′，
∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，
在△BAC和△AB′E中，
，
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，
∴S△ABC＝S△B'C'A，故①正確；
∵AE＝2AD，
∴BC＝2AD，故②正確；
∵AB＝AC，
∴AB'＝AC'＝AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABB'＝∠AB'B，∠ACC'＝∠AC'C，∠AB'C'＝∠AC'B'，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴α+β＝180°，∠B'C'A+∠ABC＝90°，
∴∠ABB'+∠AC'C＝90°，
∴∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正確；
∵BC＝6，
∴AD＝3，
∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，
∴平行四邊形AC'EB'是菱形，
∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，
∴B'D＝＝＝，
∴B'C'＝2，故④錯誤，
故答案為：①②③．
【真題點撥】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
29．（2023?重慶）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，動點E，F(xiàn)均以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發(fā)，E沿折線A→B→C方向運動，F(xiàn)沿折線A→C→B方向運動，當(dāng)兩點相遇時停止運動．設(shè)運動的時間為t秒，點E，F(xiàn)的距離為y．
（1）請直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并注明自變量t的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出點E，F(xiàn)相距3個單位長度時t的值．
【思路點撥】（1）根據(jù)動點E、F運動的路線和速度分段進(jìn)行分析，寫出不同時間的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍即可；
（2）根據(jù)畫函數(shù)圖象的方法分別畫出兩段函數(shù)圖象，然后寫出這個函數(shù)的其中一條性質(zhì)即可；
（3）根據(jù)兩個函數(shù)關(guān)系式分別求出當(dāng)y＝3時的t值即可解決問題．
【規(guī)范解答】解：（1）當(dāng)點E、F分別在AB、AC上運動時，△AEF為邊長等于t的等邊三角形，
∴點E，F(xiàn)的距離等于AE、AF的長，
∴當(dāng)0≤t≤4時，y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y＝t，
當(dāng)點E、F都在BC上運動時，點E，F(xiàn)的距離等于4﹣2（t﹣4），
∴當(dāng)4＜t≤6時，y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，
∴y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）由（1）中得到的函數(shù)表達(dá)式可知：當(dāng)t＝0時，y＝0；當(dāng)t＝4時，y＝4；當(dāng)t＝6時，y＝0，
分別描出三個點（0，0），（4，4）（6，0），然后順次連線，如圖：
根據(jù)函數(shù)圖象可知這個函數(shù)的其中一條性質(zhì)：當(dāng)0≤t≤4時，y隨t的增大而增大．（答案不唯一，正確即可）
（3）把y＝3分別代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：
3＝t，3＝12﹣2t，
解得：t＝3或t＝4.5，
∴點E，F(xiàn)相距3個單位長度時t的值為3或4.5．
【真題點撥】本題是一道三角形綜合題，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
1．（2023?衢州）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cbb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（ ）
A．∠BEAB．∠DEBC．∠ECAD．∠ADO
【思路點撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，
∴∠DEB＝∠O，
故選：B．
【真題點撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．
2．（2022?岳陽）如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【思路點撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【規(guī)范解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
則∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故選：C．
【真題點撥】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【思路點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠CBF的度數(shù)，再根據(jù)∠ABC＝90°，可以得到∠1的度數(shù)．
【規(guī)范解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故選：C．
【真題點撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．
4．（2021?黑龍江）如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，將△AEF繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)，使得點A的對應(yīng)點M落在EF上，點E恰好落在點B處，連接BE．下列結(jié)論：①BM⊥AE；②四邊形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四邊形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中結(jié)論正確的序號是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．③④
【思路點撥】延長BM交AE于N，連接AM，由垂直的定義可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得∠EAF＝67.5°，從而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正確；根據(jù)三個角是直角可判斷四邊形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正確，計算出∠EBM＝22.5°得③錯誤；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知AM＝FM，推導(dǎo)得出AM＝EM＝FM，從而EF＝EM+FM＝（+1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（ ）：1，再由S四邊形BCEF＝2S△EFB，得S四邊形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1，判斷出④正確．
【規(guī)范解答】解：如圖，延長BM交AE于N，連接AM，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠EFB＝90°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，
∵將△AEF繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)得△MFB，
∴MF＝AF，F(xiàn)B＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF+∠FBM＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴BM⊥AE，故①正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴四邊形EFBC是矩形，
又∵EF＝BF，
∴矩形EFBC是正方形，故②正確；
∴∠EBF＝45°，
∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM
＝45°﹣22.5°
＝22.5°，
故③錯誤；
∵∠AFM＝90°，AF＝FM，
∴∠MAF＝45°，AM＝，
∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠AEM＝∠MAE，
∴EM＝AM＝FM，
∴EF＝EM+FM＝（+1）FM，
∴S△EFB：S△BFM＝（ ）：1，
又∵四邊形BCEF是正方形，
∴S四邊形BCEF＝2S△EFB，
∴S四邊形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1，
故④正確，
∴正確的是：①②④，
故選：C．
【真題點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理和正方形的判定與性質(zhì)，掌握常用輔助線的添加方法，靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
5．（2022?大連）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN．直線MN與AB相交于點D，連接CD，若AB＝3，則CD的長是（ ）
A．6B．3C．1.5D．1
【思路點撥】根據(jù)題意可知：MN是線段AC的垂直平分線，然后根據(jù)三角形相似可以得到點D為AB的中點，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，即可得到CD的長．
【規(guī)范解答】解：由已知可得，
MN是線段AC的垂直平分線，
設(shè)AC與MN的交點為E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝AB，
∴點D為AB的中點，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝1.5，
故選：C．
【真題點撥】本題考查直角三角形斜邊上的中線、線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
6．（2023?日照）已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2
C．S1＝S2D．S1，S2大小無法確定
【思路點撥】由直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，根據(jù)垂線段最短可知該直角三角形的斜邊為c，則c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，則S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到問題的答案．
【規(guī)范解答】解：∵直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，
∴該直角三角形的斜邊為c，
∴c2＝a2+b2，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，
∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，
∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，
∴S1＝S2，
故選：C．
【真題點撥】此題重點考查勾股定理、正方形的面積公式、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想解決面積問題等知識與方法，確定三邊為a，b，c的直角三角形的斜邊為c是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?樂山）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ＝（ ）
A．B．C．D．
【思路點撥】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以求出斜邊各邊的長，然后即可計算出sinθ的值．
【規(guī)范解答】解：設(shè)大正方形的邊長為c，直角三角形的短直角邊為a，長直角邊為b，
由題意可得：c2＝25，b﹣a＝＝1，a2+b2＝c2，
解得a＝3，b＝4，c＝5，
∴sinθ＝＝，
故選：A．
【真題點撥】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出各邊的長．
8．（2022?湘潭）中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個銳角，則tanα＝（ ）
A．2B．C．D．
【思路點撥】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先求出大正方形的面積，然后設(shè)出小直角三角形的兩條直角邊，再根據(jù)勾股定理和兩直角邊的關(guān)系可求得直角三角形的兩條直角邊的
長，然后即可求得tanα的值．
【規(guī)范解答】解：由已知可得，
大正方形的面積為1×4+1＝5，
設(shè)直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，
則a2+b2＝5，a﹣b＝1，
解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合題意，舍去），
∴tanα＝＝＝2，
故選：A．
【真題點撥】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是求出直角三角形的兩條直角邊長．
9．（2023?瀘州）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
【思路點撥】根據(jù)題目要求逐一代入符合條件的m，n進(jìn)行驗證、辨別．
【規(guī)范解答】解：∵當(dāng)m＝3，n＝1時，
a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，
∴選項A不符合題意；
∵當(dāng)m＝5，n＝1時，
a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，
∴選項B不符合題意；
∵當(dāng)m＝7，n＝1時，
a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，
∴選項D不符合題意；
∵沒有符合條件的m，n使a，b，c各為6，8，10，
∴選項C符合題意，
故選：C．
【真題點撥】此題考查了整式乘法運算和勾股數(shù)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用以上
知識進(jìn)行正確地計算．
10．（2021?常德）閱讀理解：如果一個正整數(shù)m能表示為兩個正整數(shù)a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的四個結(jié)論：①7不是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)．依次正確的是（ ）
A．②④B．①②④C．①②D．①④
【思路點撥】根據(jù)廣義勾股數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：①∵7不能表示為兩個正整數(shù)的平方和，
∴7不是廣義勾股數(shù)，故①結(jié)論正確；
②∵13＝22+32，
∴13是廣義勾股數(shù)，故②結(jié)論正確；
③兩個廣義勾股數(shù)的和不一定是廣義勾股數(shù)，如5和10是廣義勾股數(shù)，但是它們的和不是廣義勾股數(shù)，故③結(jié)論錯誤；
④設(shè)，，
則
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，
ad＝bc或ac＝bd時，兩個廣義勾股數(shù)的積不一定是廣義勾股數(shù)，
如2和2都是廣義勾股數(shù)，但2×2＝4，4不是廣義勾股數(shù)，故④結(jié)論錯誤，
∴依次正確的是①②．
故選：C．
【真題點撥】本題考查了勾股數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握勾股定理以及常見的勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022?長沙）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：
①分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點；
②作直線PQ交AB于點D；
③以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點M，連接AM、BM．
若AB＝2，則AM的長為（ ）
A．4B．2C．D．
【思路點撥】證明△AMB是等腰直角三角形，即可得到答案．
【規(guī)范解答】解：由作圖可知，PQ是AB的垂直平分線，
∴AM＝BM，
∵以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點M，
∴DA＝DM＝DB，
∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，
∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，
∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，
∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝×2＝2，
故選：B．
【真題點撥】本題考查尺規(guī)作圖中的相關(guān)計算問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖證明△AMB是等腰直角三角形．
12．（2023?西寧）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是 90°或50° ．
【思路點撥】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B＝∠C＝40°，然后分兩種情況進(jìn)行討論：①∠ADB＝90°；②∠BAD＝90°，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB的度數(shù)即可．
【規(guī)范解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵△ABD為直角三角形，
∴有以下兩種情況：
①∠ADB＝90°，
②∠BAD＝90°，
此時∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
∴若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是90°或50°．
故答案為：90°或50°．
【真題點撥】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角的定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角的定理是解答此題的關(guān)鍵；分類討論是解答此題的難點，也是易錯點之一．
13．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，AB＝AC．分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，作直線AD交BC于點E．若∠BAC＝110°，則∠BAE的大小為 55 度．
【思路點撥】根據(jù)尺規(guī)作圖可得AE是BC的垂直平分線，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE是∠BAC的角平分線，從而可求∠BAE得大?。?br>【規(guī)范解答】解：∵AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形，
∵分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點D，作直線AD交BC于點E．
∴AE垂直平分BC，
∴AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE＝∠BAC＝55°．
故答案為：55．
【真題點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，熟練掌握垂直平分線的作法是解題關(guān)鍵．
14．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為 ．
【思路點撥】過A作AH⊥BC于H，延長AD，BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BH＝HC＝BC＝3，根據(jù)勾股定理求出AH＝＝4，證明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CE＝BC＝6，證明CD∥AH，得到＝，求出CD＝，根據(jù)勾股定理求出DE＝＝＝，根據(jù)CD∥AH，得到＝，即＝，求出結(jié)果即可．
【規(guī)范解答】解：過A作AH⊥BC于H，延長AD，BC于E，如圖所示：
則∠AHC＝∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴AH＝＝4，
∵∠ADB＝∠CBD+∠CEH，∠ADB＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠CED，
∴DB＝DE，
∵∠BCD＝90°，
∴DC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∴EH＝CE+CH＝9，
∴＝，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD∥AH，
∴，
∴，
解得AD＝．
故答案為：．
【真題點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
15．（2023?武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是 ．
【思路點撥】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△BDE≌△FDE，根據(jù)已知條件得到圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵折疊△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，
∵DE平分等邊△ABC的面積，
∴圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，
∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，
∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴2＝，
∴，
∴GH2＝m2+n2，
解得GH＝或GH＝﹣（不合題意舍去），
故答案為：．
【真題點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為 2 cm．
【思路點撥】先由平行線的性質(zhì)可得∠ACB的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理可得AB＝BC，則可得出AB的長．
【規(guī)范解答】解：∵直尺的兩對邊相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案為：2．
【真題點撥】此題主要是考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，能夠得出AB＝BC是解答此題的關(guān)鍵．
17．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝ 10° ．
【思路點撥】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對等角和直角三角形的兩銳角互余求得．
【規(guī)范解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，
故答案為：10°．
【真題點撥】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2021?陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個動點，以EF為邊的等邊△EFP的頂點P在△ABC內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為 6 ．
【思路點撥】當(dāng)點F與C重合時，△EFP的邊長最長，周長也最長，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
【規(guī)范解答】解：如圖，
當(dāng)點F與C重合時，△EFP的邊長最長，周長也最長，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周長為2×3＝6．
故答案為：6．
【真題點撥】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，運用勾股定理是解題關(guān)鍵．
19．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝ 3 ．
【思路點撥】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AB＝2CD＝10，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝6，根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵E為AC的中點，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE＝BC＝3，
故答案為：3．
【真題點撥】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌
握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?泰州）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為 9 里．
【思路點撥】由AB切圓于D，BC切圓于C，連接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，由勾股定理求出AC＝＝12，由tanA＝＝，求出OD＝4.5（里），即可得到答案．
【規(guī)范解答】解：如圖，⊙O表示圓形城堡，
由題意知：AB切圓于D，BC切圓于C，連接OD，
∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，
∵AD＝6里，
∴AB＝AD+BD＝15里，
∴AC＝＝12，
∵tanA＝＝，
∴＝，
∴OD＝4.5（里）．
∴城堡的外圍直徑為2OD＝9（里）．
故答案為：9．
【真題點撥】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長定理，關(guān)鍵是理解題意，由銳角的正切得到＝，求出OD長即可．
21．（2023?無錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是 8尺 ．
【思路點撥】利用勾股定理建立方程，解方程得出門高即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)竿長為x尺，則門寬為（x﹣4）尺，門高（x﹣2）尺，門對角線是x尺，根據(jù)勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
整理得：x2﹣12x+20＝0，
解得x＝2（舍去）或x＝10．
則門高：10﹣2＝8．
故答案為：8尺．
【真題點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)未知數(shù)建立關(guān)于未知數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵．
22．（2022?泰州）如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為 ．
【思路點撥】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：如圖，第一步到①，第二步到②，
故走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為＝，
故答案為：．
【真題點撥】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
23．（2023?德陽）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，點M為AC的中點，一只小蟲從B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M處，則小蟲爬行的最短路程等于 ．
【思路點撥】利用平面展開圖可總結(jié)為3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出B1M的長即可．
【規(guī)范解答】解：如圖1，將三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面BB1C1C和側(cè)面CC1A1A沿CC1展開在同一平面內(nèi)，連接MB1，
∵M(jìn)是AC的中點，△ABC和△A1B1C1是等邊三角形，
∴CM＝AC＝＝，
∴BM＝CM+BC＝3，
在Rt△MBB1中，由勾股定理得：
B1M＝＝，
如圖2，把底面ABC和側(cè)面BB1A1A沿AB展開在同一平面內(nèi)，連接MB1，過點M作MF⊥A1B1于點F，交AB于點E，
則四邊形AEFA1是矩形，ME⊥AB，
在Rt△AME中，∠MAE＝60°，
∴ME＝AM?sin60°＝×＝，
AE＝AM?cs60°＝，
∴MF＝ME+EF＝+2＝，
B1F＝A1B1﹣A1F＝，
在Rt△MFB1中，由勾股定理得：
B1M＝＝，
如圖3，連接B1M，交A1C1于點N，則B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，
在Rt△A1NB1中，∠NA1B1＝60°，
∴NB1＝A1B1?sin60°＝3，
∴B1M＝NB1+MN＝5，
∵＜5＜，
∴小蟲爬行的最短路程為．
故答案為：．
【真題點撥】本題主要考查了立體圖形的展開圖，兩點之間距離最短，關(guān)鍵是正確畫出立體圖形的平面展開圖并進(jìn)行分類討論．
24．（2023?沈陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點D在直線AC上，AD＝1，過點D作DE∥AB交直線BC于點E，連接BD，點O是線段BD的中點，連接OE，則OE的長為 或 ．
【思路點撥】連接OC，過點O作ON⊥BC于N，分兩種情況：①當(dāng)D在線段AC上時，由勾股
定理可得BD的長，再由直角三角形的性質(zhì)可得CE＝CD＝2，最后根據(jù)勾股定理可得答案；
②當(dāng)D在CA延長線上時，則CD＝AD+AC＝4，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得EN＝CE﹣CN＝4﹣，最后根據(jù)勾股定理可得答案．
【規(guī)范解答】解：當(dāng)在線段上時，連接OC，過點O作ON⊥BC于N，
①當(dāng)D在線段AC上時，
∵AD＝1，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
∵∠BCD＝90°，
∴BD＝，
∵點O是線段BD的中點，
∴OC＝OB＝OD＝BD＝，
∵ON⊥BC，
∴CN＝BN＝BC＝，
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠A＝∠CBA＝∠CED＝45°，
∴CE＝CD＝2，
∴NE＝2﹣，
∵ON＝＝1，
∴OE＝，
②當(dāng)D在CA延長線上時，則CD＝AD+AC＝4，
∵O是線段BD的中點，∠BCD＝90°，
∴OC＝OB＝OD＝BD，
∵ON⊥BC，
∴CN＝BN＝BC＝，
∵OB＝OD，
∴，
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠CDE＝∠CBA＝∠CED＝45°，
∴CE＝CD＝4，
∴EN＝CE﹣CN＝4﹣，
∴＝，
∴OE的長為或．
故答案為：或．
【真題點撥】此題考查的是等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，進(jìn)行分類討論是解決此題的關(guān)鍵．
25．（2022?黔西南州）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，AC與DE相交于點F．若BC∥AE，則∠AFE的度數(shù)為 105° ．
【思路點撥】由三角形內(nèi)角和定理可知，∠C＝30°，∠E＝45°，再利用平行線的性質(zhì)可知∠CAE＝30°，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，∠E＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°，
∵BC∥AE，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
在△AEF中，∠AFE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝105°．
故答案為：105°．
【真題點撥】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識，熟知相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
26．（2023?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點M是邊AC上一動點，點D，E分別是AB，MB的中點，當(dāng)AM＝2.4時，DE的長是 1.2 .若點N在邊BC上，且CN＝AM，點F，G分別是MN，AN的中點，當(dāng)AM＞2.4時，四邊形DEFG面積S的取值范圍是 3≤S≤4 ．
【思路點撥】依據(jù)題意，根據(jù)三角形中位線定理可得DE＝AM＝1.2；設(shè)AM＝x，從而DE＝x，由DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，F(xiàn)G＝AM，進(jìn)而DE∥FG，DE＝FG，從而四邊形DEFG是平行四邊形，結(jié)合題意可得DE邊上的高為（4﹣x），故四邊形DEFG面積S＝4x﹣x2，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得S的取值范圍．
【規(guī)范解答】解：由題意，點D，E分別是AB，MB的中點，
∴DE是三角形ABM的中位線．
∴DE＝AM＝1.2．
如圖，
設(shè)AM＝x，
∴DE＝AM＝x．
由題意得，DE∥AM，且DE＝AM，
又FG∥AM，F(xiàn)G＝AM，
∴DE∥FG，DE＝FG．
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
由題意，GF到AC的距離是x，BC＝＝8，
∴DE邊上的高為（4﹣x）．
∴四邊形DEFG面積S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．
∵2.4＜x≤6，
∴3≤S≤4．
故答案為：1.2；3≤S≤4．
【真題點撥】本題主要考查了三角形的中位線定理，解題時要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．
27．（2023?金華）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個端點連在一起，點C，D分別是OA，OB的中點，若CD＝4cm，則該工件內(nèi)槽寬AB的長為 8 cm．
【思路點撥】根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵點C，D分別是OA，OB的中點，
∴CD是△AOB的中位線，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案為：8．
【真題點撥】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
28．（2021?杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，AE⊥BC于點E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．
（1）求證：AB＝BD；
（2）若AE＝3，求△ABC的面積．
【思路點撥】（1）計算出∠ADB和∠BAC，利用等角對等邊即可證明；
（2）利用銳角三角函數(shù)求出BC即可計算△ABC的面積．
【規(guī)范解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠C＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∴AB＝BD；
（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，
∴BE＝＝，
在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，
∴EC＝＝3，
∴BC＝3+，
∴S△ABC＝BC×AE＝．
【真題點撥】本題考查等腰三角形的判定以及利用銳角三角函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是求出∠ADB和∠BAC的度數(shù)．
29．（2023?金華）如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格，在該矩形邊上取點P，來表示∠POA的度數(shù)，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：
（1）分別求點P3，P4表示的度數(shù)．
（2）用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點P5，使該點表示37.5°（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【思路點撥】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出∠OP2C 度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)∠P2OP3度數(shù)，即可求出∠P3OA的度數(shù)，從而知道P3點表示度數(shù)；利用半徑相等即可求出∠P2OD＝∠P2DO，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠P2OD＝∠DOA，從而得P3表示度數(shù)；
（2）利用角平分線的性質(zhì)作圖即可求出答案．
【規(guī)范解答】解：①∵四邊形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°，
由作圖可知，EF是 OP2 的中垂線，
∴OP3＝P3P2；
∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°，
∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°，
∴點 P3 表示 60°；
②作圖可知，P2D＝P2O，
∴∠P2OD＝∠P2DO，
∵CB∥OA，
∴∠P2DO＝∠DOA；
∴，
∴點P4表示 15°；
答：點P3表示60°，點P4表示15°；
（2）作∠P3OP4 的角平分線交BC于P5，點P5即為所求作的點，如圖：
∵點P3表示 60°，點P4表示 15°，
∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°，
∴∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，
∴P5 表示 37.5°．
【真題點撥】本題考查的是尺規(guī)作圖的應(yīng)用，涉及到的知識點有線段垂直平分線、角平分線性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵需要正確理解題意，掌握用到的相關(guān)知識點．
30．（2022?陜西）我國三國時期的杰出數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時，巧妙地運用弦圖證明了勾股定理．如圖，在10×15的正方形網(wǎng)格中，將弦圖ABCD放大，使點A，B，C，D的對應(yīng)點分別為A′，B′，C′，D′．
（1）A′C′與AC的比值為 2 ；
（2）補全弦圖A′B′C′D′．
【思路點撥】（1）觀察正方形ABCD和正方形A'B'C'D'的關(guān)系可得答案；
（2）按要求補全圖形即可．
【規(guī)范解答】解：（1）觀察正方形ABCD和正方形A'B'C'D'可知，A'B'＝2AB，B'C'＝2BC，C'D'＝2CD，A'D'＝2AD，
∴正方形ABCD放大為原來的2倍即得正方形A'B'C'D'，
∴A′C′與AC的比值為2；
故答案為：2；
（2）補全弦圖A′B′C′D′如下：
【真題點撥】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解弦圖證明勾股定理．
31．（2023?河北）如圖1和圖2，平面上，四邊形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，點M在AD邊上，且DM＝2．將線段MA繞點M順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分線MP所在直線交折線AB﹣BC于點P，設(shè)點P在該折線上運動的路徑長為x（x＞0），連接A′P．
（1）若點P在AB上，求證：A'P＝AP；
（2）如圖2，連接BD．
①求∠CBD的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)n＝180時，x的值；
②若點P到BD的距離為2，求tan∠A′MP的值；
（3）當(dāng)0＜x≤8時，請直接寫出點A′到直線AB的距離（用含x的式子表示）．
【思路點撥】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角平分線的概念得到A′M＝AM，∠A′MP＝∠AMP，然后證明出△A′MP≌△AMP（SAS），即可得到A′P＝AP；
（2）①首先根據(jù)勾股定理得到 ，然后利用勾股定理的逆定理即可求出∠CBD＝90°；畫出圖形，然后證明出△DNM∽△DBA，利用相似三角形的性質(zhì)求出 ，然后證明出△PBN∽△DMN，利用相似三角形的性質(zhì)得到PB＝5，進(jìn)而求解即可；
②當(dāng)P點在AB上時，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP，分別求得BP，AP，根據(jù)正切的定義即可求解；當(dāng)P在BC上時，則PB＝2，過點P作PQ⊥ABAB的延長線于點Q，延長MP交AB的延長線于點H，證明△PQB∽BAD，得 ，進(jìn)而求得AQ，證明△HPQ∽△HMA，即可求解；
（3）如圖所示，過點A′作A′F⊥AD于點F，過點P作PE⊥A′F于點E，則四邊形AFEP是矩形，證明△A′PE∽△MA′F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【規(guī)范解答】（1）證明：∵將線段MA繞點M順時針旋轉(zhuǎn)n° （0＜n≤180）得到MA′，
∴A′M＝AM，
∵∠A′MA的平分線MP所在的直線交折線AB﹣BC于點P，
∴∠A′MP＝∠AMP，
∵PM＝PM，
∴△A′MP≌△AMP（SAS），
∴A′P＝AP；
（2）解：①∵AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝10，
又∵，CD＝12，
∴BD2+BC2＝100+44＝144，CD2＝144，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴∠CBD＝90°；
如圖2所示，當(dāng)n＝180時，設(shè)MP交BD與點N．
∵PM平分∠A′MA．∠PMA＝90°，
∴PM∥AB，
∴△DNM∽△DBA，
∴，
∵DM＝2，DA＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠PBN＝∠NMD＝90°，∠PNB＝∠DNM，
∴△PBN∽△DMN，
∴，即 ，
∴PB＝5，
∴x＝AB+PB＝8+5＝13．
②如圖所示，當(dāng)P點在AB上時，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP，
∴AB＝8，DA＝6，∠A＝90°，
∴，
∴，
∴BP＝＝＝，
∴，
∴tan∠AMP＝＝＝，
如圖所示，當(dāng)P在BC上時，則PB＝2，過點P作PQ⊥AB交AB的延長線于點Q，延長MP交AB的延長線于點H，
∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°，
∴∠QPB＝90°﹣∠PBQ＝∠DBA，
∴△PQB∽△BAD，
∴，即 ，
∴，，
∴，
∵PQ⊥AB，DA⊥AB，
∴PQ∥AD，
∴△HPQ∽△HMA，
∴ ，
解得：，
∴tan∠AMP＝tan∠QPH＝＝＝，
綜上所述，tan∠A′MP的值為或；
（3）解：∵當(dāng)0＜x≤8時，
∴P在AB上，
如圖所示，過點A′作A′F⊥AD于點F，過點P作PE⊥A′F于點E，則四邊形AFEP是矩形，
由△A′PE∽△MA'F，
∴＝＝，
∵A′P＝AP＝x，MA′＝MA＝4，設(shè) A′F＝y(tǒng)，PE＝h，
即
∴，4（x﹣y）＝x（h﹣4），
∴，
整理得 ，
即點A′到直線AB的距離為．
【真題點撥】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識且分類討論是解題的關(guān)鍵．
知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）
中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）
重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一 等腰三角形的性質(zhì)與判定
?考向二 三角形的內(nèi)角和
?考向三 全等三角形的判定與性質(zhì)
?考向四 含30°角的直角三角形
?考向五 直角三角形斜邊上的中線
?考向六 勾股定理
?考向七 勾股定理的證明
?考向八 勾股數(shù)
?考向九 勾股定理的應(yīng)用
?考向十 勾股定理—最短路徑問題
?考向十一 等腰直角三角形
?考向十二 三角形中位線定理
?考向十三 三角形的綜合題
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）
解題技巧/易錯易混
1．等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．
2．等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．
3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．
4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則 SKIPIF 1 < 0

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