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1. 探索并認識銳角三角函數(shù)(sin A，cs A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；
2. 會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應銳角；
3. 能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題．
該板塊主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)，尤其是應用主要在綜合題中考查，是考查重點，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，看似考查解題的綜合能力，實質(zhì)是基本的定義和應用.有時比較簡單，有時難點較大不易得分，分值為12分左右。預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關鍵。
?考向一 同角三角函數(shù)的關系
1．（2023?大連模擬）下列選項中是有理數(shù)的是：（ ）
①2cs245°﹣sin60°?tan60°；
②sin215°+cs215°﹣π；
③sin45°+π；
④sin90°+（π﹣3）0+12023；
⑤．
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
【思路點撥】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，同角三角函數(shù)的關系，實數(shù)的運算等分別計算即可．
【規(guī)范解答】解：①2cs245°﹣sin60°?tan60°
＝
＝1﹣
＝，是有理數(shù)，
故①符合題意；
②sin215°+cs215°﹣π＝1﹣π，是無理數(shù)，
故②不符合題意；
③sin45°+π＝，是無理數(shù)，
故③不符合題意；
④sin90°+（π﹣3）0+12023＝1+1+1＝3，是有理數(shù)，
故④符合題意；
⑤＝，是無理數(shù)，
故⑤不符合題意，
綜上所述，有理數(shù)有①④，
故選：C．
【真題點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，同角的三角函數(shù)的關系，零指數(shù)冪，有理數(shù)和無理數(shù)，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
2．（2023?封丘縣模擬）計算：
（1）；
（2）sin245°+cs245°+tan30°tan60°﹣cs30°．
【思路點撥】（1）先算乘方和開方以及零指數(shù)冪，再算加減法；
（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入，再算乘方，然后計算乘法，最后算加減．
【規(guī)范解答】解：（1）
＝﹣4﹣1+1
＝﹣4；
（2）sin245°+cs245°+tan30°tan60°﹣cs30°
＝
＝
＝．
【真題點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，實數(shù)的混合運算，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．
?考向二 互余兩角三角函數(shù)的關系
3．（2023?二道區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，則下列式子成立的是（ ）
A．sinA＝sinBB．sinA＝csBC．tanA＝tanBD．csA＝tanB
【思路點撥】本題利用銳角三角函數(shù)的定義求解．
【規(guī)范解答】解：A、sinA＝，sinB＝，sinA≠sinB，
故不符合題意；
B、sinA＝，csB＝，sinA＝csB，
故B符合題意；
C、tanA＝，tanB＝，tanA≠tanB，
故不符合題意；
D、csA＝，tanB＝，則csA≠tanB，
故不符合題意；
故選：B．
【真題點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題時熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關鍵，此題比較簡單，易于掌握．
4．（2023?蘭山區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，則sinA+csB的值為 ．
【思路點撥】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出sin30°，cs60°的值，進而得出答案．
【規(guī)范解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
則sinA+csB
＝sin60°+cs30°
＝+
＝．
故答案為：．
【真題點撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．
?考向三 相似三角形的判定與性質(zhì)
5．（2022?天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【思路點撥】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：tan45°的值等于1，
故選：B．
【真題點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
6．（2022?成都）（1）計算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．
（2）解不等式組：
【思路點撥】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，算術平方根、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對值以及實數(shù)混合運算的方法進行計算即可；
（2）利用解一元一次不等式組的解法進行解答即可．
【規(guī)范解答】解：（1）原式＝2﹣3+3×+2﹣
＝﹣1++2﹣
＝1；
（2）解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜2，
把兩個不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示如下：
所以不等式組的解集為﹣1≤x＜2．
【真題點撥】本題考查負整數(shù)指數(shù)冪，算術平方根、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對值，實數(shù)混合運算以及一元一次不等式組，掌握負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，算術平方根、特殊銳角三角
函數(shù)值、絕對值，實數(shù)混合運算的方法以及一元一次不等式組的解法是正確解答的前提．
7．（2022?張家界）計算：2cs45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．
【思路點撥】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進行計算即可．
【規(guī)范解答】解：原式＝
＝．
【真題點撥】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)冪，掌握特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對值以及負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)是正確解答的前提．
?考向四 解直角三角形
8．（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則sinB的值為（ ）
A．B．C．D．
【思路點撥】連接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2，AB＝，即可求出sinB＝＝．
【規(guī)范解答】解：連接AD，則∠ADB＝90°，
∵AD＝＝2，AB＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故選：A．
【真題點撥】本題考查解直角三角形，勾股定理，關鍵是由勾股定理求出AD，AB的長．
9．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為 （2+2） cm．
【思路點撥】由等腰直角三角形的性質(zhì)得到OB＝BD＝2cm，由平行線的性質(zhì)推出BC＝OB，即可求出CD長，得到OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)．
【規(guī)范解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵BC∥OA，
∴∠BCO＝∠AOC，
∴∠BCO＝∠BOC，
∴BC＝OB，
∵△ODB是等腰直角三角形，
∴OB＝BD＝2cm，
∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．
∴OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．
故答案為：（2+2）．
【真題點撥】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關鍵是由平行線的性質(zhì)，推出BC＝OB，即可解決問題
10．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝ ．
【思路點撥】連接AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．
【規(guī)范解答】解：如圖，連接AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
則BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故答案為：．
【真題點撥】本題考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°是解題的關鍵．
?考向五 解直角三角形的應用
11．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則csα的值為（ ）
A．B．C．D．
【思路點撥】首先根據(jù)兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結(jié)合題意進一步設直角三角形較短的直角邊為a，則較長的直角邊為a+1，再利用勾股定理得到關于a的方程，解方程可求出直角三角形的兩個個直角邊的邊長，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出csα的值．
【規(guī)范解答】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，
∴小正方形的邊長為 1，大正方形的邊長為5，
設直角三角形中較短的直角邊為a，則較長的直角邊是a+1，其中a＞0，
由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，
整理得：a2+a﹣12＝0
解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合題意，舍去）．
∴a+1＝4，
∴．
故選：D．
【真題點撥】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難點是設置適當?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出三角形的邊．
12．（2023?廣西）如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約 21 m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，AD的長，從而求出AB的長，最后進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，
∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），
∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），
∴共需鋼材約＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），
故答案為：21．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
13．（2023?蘭州）如圖1是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍源”，“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實踐活動，具體過程如下．如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龍”字雕塑CD的高度．B，C，D三點共線，BD⊥AB，結(jié)果精確到
0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【思路點撥】先在Rt△ABC中由AB＝18m，∠BAC＝38°得BC＝AB?tan∠BAC＝14.04（m），再在Rt△ABD中由AB＝18m，∠BAD＝53°得BD＝AB?tan∠BAD＝23.94m，然后由CD＝BD﹣BC即可得出答案．
【規(guī)范解答】解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，
∵，
∴BC＝AB?tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），
在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，
∵，
∴BD＝AB?tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），
∴CD＝BD﹣BC＝23.94﹣14.04＝9.9（m）．
答：“龍”字雕塑CD的高度約為9.9m．
【真題點撥】此題主要考查了解直角三角形，解答此題的關鍵是理解題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．
?考向六 解直角三角形的應用-坡度坡角問題
14．（2023?長春）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（ ）
A．32sin25°米B．32cs25°米
C．米D．米
【思路點撥】根據(jù)直角三角形的邊角關系進行解答即可．
【規(guī)范解答】解：如圖，由題意得，AC＝32m，∠A＝25°，
在Rt△ABC中，
∵csA＝，
∴AB＝＝（m），
故選：D．
【真題點撥】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．
15．（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，由山底A處先步行300m到達B處，再由B處乘坐登山纜車到達山頂D處．已知點A，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡AB的坡角為30°，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時間忽略不計）．
（1）求登山纜車上升的高度DE；
（2）若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A處到達山頂D處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到0.1min）．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【思路點撥】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關系求出BM，進而求出DE即可；
（2）利用直角三角形的邊角關系，求出BD的長，再根據(jù)速度、路程、時間的關系進行計算即可．
【規(guī)范解答】解：（1）如圖，過點B作BM⊥AF于點M，由題意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，
∴BM＝AB＝150m＝EF，
∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），
答：登山纜車上升的高度DE為450m；
（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，
∴BD＝
≈
＝562.5（m），
∴需要的時間t＝t步行+t纜車
＝+
≈19.4（min），
答：從山底A處到達山頂D處大約需要19.4分鐘．
【真題點撥】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．
19．（2023?濟南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．
（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點B'到地面l的距離；
（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cs27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）
【思路點撥】（1）作B′E⊥AD，垂足為點E，先求出B′E的長，再求出B′E+AO的長即可；
（2）過C′作C′F⊥B′E，垂足為點F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′?cs60°＝0.3m，從而得出C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比較即可．
【規(guī)范解答】解：（1）如圖，作B′E⊥AD，垂足為點E，
在Rt△AB′E中，
∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，
∴sin27°＝，
∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，
∵平行線間的距離處處相等，
∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，
答：車后蓋最高點B′到地面的距離為2.15m．
（2）沒有危險，理由如下：
如圖，過C′作C′F⊥B′E，垂足為點F，
∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，
∴∠AB′E＝63°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，
∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，
在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，
∴B′F＝B′C′?cs60°＝0.3m．
∵平行線間的距離處處相等，
∴C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85m．
∵1.85＞1.8，
∴沒有危險．
【真題點撥】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．
?考向七 解直角三角形的應用-仰角俯角問題
20．（2023?黃石）如圖，某飛機于空中A處探測到某地面目標在點B處，此時飛行高度AC＝1200米，從飛機上看到點B的俯角為37°，飛機保持飛行高度不變，且與地面目標分別在兩條平行直線上同向運動．當飛機飛行943米到達點D時，地面目標此時運動到點E處，從點E看到點D的仰角為47.4°，則地面目標運動的距離BE約為 423 米．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan47.4°≈）
【思路點撥】根據(jù)題意得到∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC＝≈＝1600（米），過D作DH⊥BC于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：由題意得，∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，
∴BC＝≈＝1600（米），
過D作DH⊥BC于H，
則四邊形ACHD是矩形，
∴CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，
在Rt△DHE中，∠DHE＝90°，∠E＝47.4°，
∴＝1080（米），
∴BE＝CH+HE﹣BC＝943+1080﹣1600＝423（米），
答：地面目標運動的距離BE約為423米．
故答案為：423．
【真題點撥】本題主要考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的定義和正弦函數(shù)的定義是解題的關鍵．
21．（2023?岳陽）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學興趣小組在A處用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°，儀器與氣球的水平距離BC為20米，且距地面高度AB為1.5米，則氣球頂部離地面的高度EC是 9.5 米（結(jié)果精確到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cs21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．
【思路點撥】由題意得，四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：由題意得，四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，
在Rt△ADE中，
∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°，
∴DE＝AD?tan21.8°≈20×0.4000＝8（m），
∴CE＝CD+DE＝1.5+8＝9.5（m），
答：氣球頂部離地面的高度EC是9.5m．
故答案為：9.5．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，矩形的性質(zhì)，正確地理解仰角的定義是解題的關鍵．
22．（2023?張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學興趣小組用無人機測量奇樓AB的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為15°，再將無人機沿水平方向飛行200m到達點Q，測得奇樓底端B的俯角為45°，求奇樓AB的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
【思路點撥】延長BA交PQ的延長線于C，則∠ACQ＝90°，根據(jù)題意得到BC＝225m，PQ＝200m，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：延長BA交PQ的延長線于C，
則∠ACQ＝90°，
由題意得，BC＝225m，PQ＝200m，
在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，
∴CQ＝BC＝225m，
∴PC＝PQ+CQ＝425（m），
在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°＝，
∴AC＝114.75m，
∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m），
答：奇樓AB的高度約為110m．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
?考向八 解直角三角形的應用-方向角問題
23．（2023?眉山）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是 6+6 海里．
【思路點撥】過點C作CH⊥AB于H．證得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．
【規(guī)范解答】解：過點C作CH⊥AB于H．
∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，
∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，
∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，
∴BH＝CH，
在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，
∴CH＝（12+CH），
解得CH＝6（+1）．
答：漁船與燈塔C的最短距離是6（+1）海里．
故答案為：6+6．
【真題點撥】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，正確根據(jù)題意畫出輔助線，熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵．
24．（2023?濰坊）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東60°方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西30°方向往燈塔B行駛，沿線堪測石油資源，堪測發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東15°方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號）
【思路點撥】過點D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，從而可得∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，然后利用平角定義可得∠ACB＝90°，從而在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)可得AC＝12千米，BC＝12千米，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，從而求出BD的長，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)求出DE的長，即可解答．
【規(guī)范解答】解：如圖：過點D作DE⊥AB，垂足為E，
由題意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，
∵AB＝24千米，
∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，
∴CD＝AC?tan45°＝12（千米），
∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，
在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，
∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，
∴輸油管道的最短長度是（6﹣6）千米．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
25．（2023?聊城）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠處的角樓、城門樓、龍堤、南關橋等景觀遙相呼應．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關橋C在城門樓B的正南方向1200m處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東68.2°方向，南關橋C在南偏東56.31°方向（點A，B，C，P四點在同一平面內(nèi)），求明珠大劇院到龍堤BC的距離．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin68.2°≈0.928，cs68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cs56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）
【思路點撥】過P作PE⊥BC于E，過A作AD⊥PE于D，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DE＝AB＝520m，設PD＝x m，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：如圖，過P作PE⊥BC于E，過A作AD⊥PE于D，
則四邊形ADEB是矩形，
∴DE＝AB＝520m，
設PD＝x m，
在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，
∴AD＝≈m，
∴BE＝AD＝m，
∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，
在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°＝，
解得x＝800，
∴PD＝800m，
∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），
答：明珠大劇院到龍堤BC的距離約為1320m．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，矩形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵，
1．（2023?深圳）爬坡時坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣csα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（ ）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）
A．58JB．159JC．1025JD．1732J
【思路點撥】根據(jù)題意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cs30°），進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：由題意得：
某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能＝1000×（1.025﹣cs30°）＝1000×（1.025﹣）≈159（J），
故選：B．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
2．（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務．數(shù)學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進至C處測得最高點A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（ ）（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）
A．31mB．36mC．42mD．53m
【思路點撥】根據(jù)題意可得：AD⊥BD，然后設CD＝x m，則BD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，從而列出關于x的方程，進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：由題意得：AD⊥BD，
設CD＝x m，
∵BC＝15.3m，
∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝BD?tan45°＝（x+15.3）m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，
∴AD＝CD?tan60°＝x（m），
∴x＝（x+15.3），
解得：x≈21.0，
∴AD＝x+15.3≈36（m），
∴燈塔的高度AD大約是36m，
故選：B．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
3．（2023?泉港區(qū)模擬）已知∠A是銳角△ABC的內(nèi)角，，則csA的值是（ ）
A．B．C．D．
【思路點撥】由勾股定理可得sin2A+cs2A＝1，進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：由勾股定理可得sin2A+cs2A＝1，
∵，
∴（）2+cs2A＝1，
∴cs2A＝，
∴csA＝或csA＝﹣（舍去），
故選：C．
【真題點撥】本題考查了同角三角函數(shù)的關系，由勾股定理得到sin2α+cs2α＝1是解題的關鍵．
4．（2023?鐘樓區(qū)校級模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則csA等于（ ）
A．B．C．D．
【思路點撥】根據(jù)tanA＝求出第三邊長的表達式，求出csA即可．
【規(guī)范解答】解：如圖：
設BC＝5x，
∵tanA＝，
∴AC＝12x，AB＝＝13x，
∴csA＝＝＝．
故選：D．
【真題點撥】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．解題的關鍵是掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．
5．（2023?道縣校級模擬）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，則sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
【思路點撥】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關系：sin2A+sin2B＝1解答．
【規(guī)范解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sin2A+sin2B＝1，sinA＞0，
∵sinB＝，
∴sinA＝＝．
故選：B．
【真題點撥】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關系，掌握sin2A+sin2B＝1是解題的關鍵．
6．（2022?濱州）下列計算結(jié)果，正確的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cs30°＝
【思路點撥】根據(jù)冪的乘方的運算法則對A選項進行判斷；利用二次根式的乘法法則對B選
項進行判斷；根據(jù)立方根對C選項進行判斷；根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對D選項進行判斷．
【規(guī)范解答】解：A． （a2）＝a6，所以A選項不符合題意；
B． ＝＝2，所以B選項不符合題意；
C． ＝2，所以C選項符合題意；
D．cs30°＝，所以D選項不符合題意；
故選：C．
【真題點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關鍵．也考查了冪的乘方．
7．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有三點A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
【思路點撥】過C作CD⊥AB交AB延長線于D，計算出CD、AC的長，根據(jù)正弦計算方法計算即可．
【規(guī)范解答】解：過C作CD⊥AB交AB延長線于D，
∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），
∴D（5，1），
∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，
∴AC＝5，
∴sin∠BAC＝＝，
故選：C．
【真題點撥】本題主要考查了解直角三角形的應用，平面直角坐標系，關鍵是構(gòu)造直角三角形．
8．（2023?南充）如圖，小兵同學從A處出發(fā)向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（ ）
A．米B．米C．x?sinα米D．x?csα米
【思路點撥】根據(jù)題意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解答．
【規(guī)范解答】解：由題意得：BC⊥AB，
在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，
∴AC＝＝（米），
∴A，C兩處相距米，
故選：B．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
9．（2023?婁星區(qū)校級一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則csA＝ ．
【思路點撥】利用銳角三角函數(shù)的定義得出互余兩角三角函數(shù)之間的關系，進而得出答案．
【規(guī)范解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，
sinB＝＝＝csA，
所以csA＝，
故答案為：．
【真題點撥】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關系，掌握互余兩角三角函數(shù)的關系以及銳角三角函數(shù)的定義是正確判斷的前提．
10．（2022?荊門）計算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝ ﹣1 ．
【思路點撥】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：+cs60°﹣（﹣2022）0
＝﹣+﹣1
＝0﹣1
＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【真題點撥】本題考查了立方根，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，準確熟練地化簡各式是解題的關鍵．
11．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝ ．
【思路點撥】設AD＝t，根據(jù)已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．
【規(guī)范解答】解：設AD＝t，
∵BD＝CD，＝，
∴BD＝CD＝3t，
∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，
∴tanB＝＝＝，
故答案為：．
【真題點撥】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是用放t的式子表示相關線段的長度．
12．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），點B（0，﹣3），點C在x軸上，且點C在點A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點C的坐標為 （，0） ．
【思路點撥】設C（a，0），結(jié)合A，B兩點的坐標利用兩點間的距離可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通過解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，過C點作CD∥y軸交BA的延長線于點D，利用平行線的性質(zhì)可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入計算可求解a值，進而可求解．
【規(guī)范解答】解：設C（a，0），
∴OC＝a，
∵點A（1，0），點B（0，﹣3），
∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，
在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，
∴∠OBA＝∠ABC，
過C點作CD∥y軸交BA的延長線于點D，
∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，
∴，CD＝BC，
∴，
∴，
解得a＝0（舍去）或a＝，
∴C（，0），
故答案為：（，0）．
【真題點撥】本題主要考查坐標與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，兩點間的距離等知識的綜合運用，作適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
13．（2023?黃石）“神舟”十四號載人飛行任務是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務，也是空間站在軌建造以來情況最復雜、技術難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務．如圖，當“神舟”十四號運行到地球表面P點的正上方的F點處時，從點F能直接看到的地球表面最遠的點記為Q點，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cs20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對的弧長約為 π km（結(jié)果保留π）．
【思路點撥】設OP＝OQ＝r km．由FQ是⊙O的切線，可得cs∠FOQ＝，由此構(gòu)建方程求出r，再利用弧長公式求解．
【規(guī)范解答】解：設OP＝OQ＝r km．
由題意，F(xiàn)Q是⊙O的切線，
∴FQ⊥OQ，
∵cs∠FOQ＝，
∴0.9＝，
∴r＝6400，
∴的長＝＝π（km）．
故答案為：π．
【真題點撥】本題考查解直角三角形的應用，弧長公式等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程求解．
14．（2023?城西區(qū)校級二模）閱讀下列材料，并完成相應的任務．初中階段，我們所學的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關系：
sinα＝ csα＝ tanα＝
一般地，當α、β為任意角時，sin（α+β）與sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ
例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°?cs30°﹣cs45°?sin30°
＝
根據(jù)上述材料內(nèi)容，解決下列問題：
（1）計算：sin75°＝ ；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，請你求出AC和BC的長．
【思路點撥】（1）根據(jù)公式可求．
（2）根據(jù)銳角的三角函數(shù)值，求AC和BC的值．
【規(guī)范解答】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°cs45°+cs30°sin45°
＝×+×
＝，
故答案為：．
（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°＝＝
∴BC＝AB×＝4×＝
∵∠B＝90﹣∠A
∴∠B＝15°
∵sin∠B＝sin15°＝＝
∴AC＝AB×＝
【真題點撥】本題考查了同角三角函數(shù)關系，利用特殊的三角函數(shù)值求線段的長度是本題的關鍵．
15．（2022?綏化）定義一種運算：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
例如：當α＝45°，β＝30°時，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為 ．
【思路點撥】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計算得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cs30°﹣cs45°sin30°
＝×﹣×
＝﹣
＝．
故答案為：．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關鍵．
16．（2022?貴港）（1）計算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；
（2）解不等式組：
【思路點撥】（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值解答即可；
（2）分別解出兩個不等式，再寫出不等式組的解集即可．
【規(guī)范解答】解：（1）原式＝﹣1+1+4﹣
＝4；
（2）解不等式①，得：x＜，
解不等式②，得：x≥﹣1，
∴不等式組的解集為﹣1≤x．
【真題點撥】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，解一元一次不等式組，熟練掌握相關的知識是解答本題的關鍵．
17．（2022?濰坊）（1）在計算時，小亮的計算過程如下：
解：
＝
＝
＝﹣2
小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計算有誤，幫助小亮找出了3個錯誤．請你找出其他錯誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標注序號：
①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；
④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0 ．
請寫出正確的計算過程．
（2）先化簡，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【思路點撥】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪的定義，零指數(shù)冪性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)分式的運算法則，一元二次方程的解法解答即可．
【規(guī)范解答】解：（1）④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0，
原式＝
＝28，
故答案為：④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0；28；
（2）原式＝（）?
＝×
＝，
∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，
所以x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∵x≠3，
∴當x＝﹣1時，原式＝．
【真題點撥】此題考查了實數(shù)的運算，解一元二次方程﹣因式分解法，分式的混合運算，熟練掌握運算法則及方程的解法是解本題的關鍵．
18．（2023?婁底）幾位同學在老師的指導下到某景區(qū)進行戶外實踐活動，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點，并過點B架設一水平線型軌道CD（如圖所示），使得∠ABC＝α，從點B出發(fā)按CD方向前進20米到達點E，即BE＝20米，測得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B兩點間的距離．
【思路點撥】過點A作AF⊥CD于點F，根據(jù)sinα的值設AF＝24x米，AB＝25x米，根據(jù)勾股定理求出BF的長，再根據(jù)tanβ的值即可求出x的值，從而求出A、B兩點間的距離．
【規(guī)范解答】解：過點A作AF⊥CD于點F，
∴∠AFB＝90°，
在Rt△ABF中，，
∴設AF＝24x米，AB＝25x米，
則由勾股定理得米，
在Rt△AFE中，，
∵BE＝20米，
∴，
解得x＝20，
∴AB＝25x＝500米．
答：A、B兩點間的距離為500米．
【真題點撥】本題考查了通過作輔助線構(gòu)建直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)值的定義是解題的關鍵．
19．（2023?寧夏）如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成30°角．假設傳送帶與轉(zhuǎn)動輪之間無滑動，當大轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)140°時，傳送帶上點A處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計）
【思路點撥】設傳送帶上點A處的糧袋上升到點B，構(gòu)建Rt△ABC，則AC∥MN，由弧長公式求出AB的長，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：如圖，設傳送帶上點A處的糧袋上升到點B，構(gòu)建Rt△ABC，
則AC∥MN，
由弧長公式得：π（cm），
∵AC∥MN，
∴∠BAC＝∠NMA＝30°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝（cm），
答：傳送帶上點A處的糧袋上升的高度是cm．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用—坡度坡角問題，弧長公式以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵．
20．（2023?連云港）漁灣是國家“AAAA”級風景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋A處出發(fā)，沿著坡角為48°的山坡向上走了92m到達B處的三龍?zhí)镀俨?，再沿坡角?7°的山坡向上走了30m到達C處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌腁處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C為多少米？（結(jié)果精確到0.1m）
（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）
【思路點撥】過點B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分別在Rt△ABE和Rt△CBF中分別解三角形求出BE，CF的長，二者相加就是CD的長．
【規(guī)范解答】解：如圖，過點B作BE⊥AD于E，
在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，
∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.74＝68.08m，
過點B作BF⊥CD于F，
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，
∴CF＝BC×sin∠CBF≈30×0.60＝18.00m，
∵FD＝BE＝68.08m，
∴DC＝FD+CF＝68.08+18.00＝86.08≈86.1m．
答：從A處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C約為86.1m．
【真題點撥】本題主要考查解直角三角形的應用—坡度坡角問題，熟練掌握把實際問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題是解決問題的關鍵．
21．（2023?陜西）小華想利用所學知識測量自家對面的兩棟樓AB與CD的高度差．如圖所示，她站在自家陽臺上發(fā)現(xiàn)，在陽臺的點E處恰好可經(jīng)過樓CD的頂端C看到樓AB的底端B，即點E，C，B在同一直線上．此時，測得點B的俯角α＝22°，點A的仰角β＝16.7°，并測得EF＝48m，F(xiàn)D＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，點F，D，B在同一水平直線上．求樓AB與CD的高度差．（參考數(shù)據(jù)：sin16.7°≈0.29，cs16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【思路點撥】過點C作CG⊥EF于G，過點E作EH⊥AB于H，根據(jù)正切的定義分別求出EG、FB、AH，計算即可．
【規(guī)范解答】解：如圖，過點C作CG⊥EF于G，過點E作EH⊥AB于H，
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，
∴得矩形CDFG，矩形EFBH，
∴CG＝FD＝50m，HB＝EF＝48m，
在Rt△CGE中，CG＝50m，∠ECG＝α＝22°，
則EG＝CG?tan∠ECG≈50×0.40＝20.00（m），
∴CD＝FG＝EF﹣EG＝48﹣20.0＝28.00（m），
在Rt△EFB中，EF＝48m，∠EBF＝α＝22°，
則EF＝FB?tan∠EBF，
∴48≈FB×0.40，
∴FB＝120.00（m），
在Rt△AHE中，EH＝FB＝120m，∠AEH＝β＝16.7°，
則AH＝EH?tan∠AEH≈120×0.30＝36.00（m），
∴AB＝AH+BH＝AH+EF＝36.00+48＝84.00（m），
∴AB﹣CD＝84.00﹣28.00＝56.00（m），
答：樓AB與CD的高度差約為56.00m．
【真題點撥】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握正切的定義是解題的關鍵．
22．（2023?襄陽）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學興趣小組利用熱氣球開展綜合實踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點C處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°．已知底座BD的高度為4m，求銅像AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．
【思路點撥】根據(jù)題意，找準直角三角形及三角函數(shù)即可．
【規(guī)范解答】解：∵矩形BDEF中有EF＝BD＝4m，CE＝32m，
∴CF＝32﹣4＝28m，
∵tan∠CBF＝tan63.4°＝，
∴2＝，即BF＝14m，
∴CG＝BF＝14m，
∵∠GCA＝45°，
∴AG＝GC＝14m，
∴AB＝BG﹣AG＝CF﹣AG＝28﹣14＝14m．
答：銅像AB的高度為14m．
【真題點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的應用，關鍵是找準三角函數(shù)．
23．（2023?海南）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達B處，測得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方向上．
（1）填空：∠AMB＝ 30 度，∠BCM＝ 45 度；
（2）求燈塔M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號）；
（3）求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號）．
【思路點撥】（1）先說明AB∥CM，再利用外角與內(nèi)角的關系、平行線的性質(zhì)得結(jié)論；
（2）先利用等腰三角形的性質(zhì)先說明BM與AB的關系，再在Rt△EBM中利用直角三角形的邊角間關系得結(jié)論；
（3）先說明四邊形DEMC是矩形，再利用等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角間關系得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：分別過點C、M，作CD⊥AB，ME⊥AB，垂足分別為D、E．
（1）∵∠DBM＝∠A+∠AMB＝60°，∠A＝30°，
∴∠AMB＝30°．
∵AB、CM都是正北方向，
∴AB∥CM．
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCM＝45°．
故答案為：30，45．
（2）由（1）知∠A＝∠AMB，
∴AB＝BM＝20海里．
在Rt△EBM中，
sin∠EBM＝，
∴EM＝sin∠EBM?BM
＝sin60°×20
＝×20
＝10（海里）．
答：燈塔M到輪船航線AB的距離為10海里．
（3）∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，
∴四邊形DEMC是矩形．
∴CD＝EM＝10海里，DE＝CM．
在Rt△CDB中，
∵∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠DCB．
∴DB＝DC＝10海里．
在Rt△EMB中，
cs∠DBM＝，
∴EB＝cs∠DBM?BM
＝cs60°×20
＝×20
＝10（海里）．
∴CM＝DE＝DB﹣EB
＝10﹣10
＝10（﹣1）海里．
答：港口C與燈塔M的距離為10（﹣1）海里．
【真題點撥】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關鍵．
24．（2023?內(nèi)蒙古）為了增強學生體質(zhì)、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發(fā)點，途中設置兩個檢查點，分別為B點和C點，行進路線為A→B→C→A．B點在A點的南偏東25°方向3km處，C點在A點的北偏東80°方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°．
（1）求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)；
（2）求檢查點B和C之間的距離（結(jié)果保留根號）．
【思路點撥】（1）根據(jù)題意可得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，從而利用平角定義可得∠CAB＝75°，然后利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答；
（2）過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD和BD的長，再在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，然后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【規(guī)范解答】解：（1）由題意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，
∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°，
∴行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)為60°；
（2）過點A作AD⊥BC，垂足為D，
在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°，
∴AD＝AB?sin45°＝3×＝3（km），
BD＝AB?cs45°＝3×＝3（km），
在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，
CD＝＝＝（km），
∴BC＝BD+CD＝（3+）km，
∴檢查點B和C之間的距離（3+）km．
【真題點撥】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
25．（2023?株洲）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點A處等候“綠燈”，一輛轎車從被山峰POQ遮擋的道路②的點B處由南向北行駛．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，線段AO的延長線交直線BC于點D．
（1）求∠COD的大小；
（2）若在點B處測得點O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點A處的貨車？（當該轎車行駛至點D處時，正好發(fā)現(xiàn)點A處的貨車）
【思路點撥】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠POD＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，根據(jù)垂直的定義得到∠COQ＝90°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：（1）∵AO⊥OP，
∴∠POD＝90°，
∵∠POQ＝30°，
∴∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，
∵OC⊥OQ，
∴∠COQ＝90°，
∴∠COD＝∠COQ﹣∠DOQ＝90°﹣60°＝30°，
即∠COD的大小為30°；
（2）∵BC∥OQ，
∴∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，
在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米，
∴（米），
∴＝＝6（米），
∵tan，
∴BC＝（米），
∴BD＝BC﹣CD＝30﹣6＝24（米），
即轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點A處的貨車．
【真題點撥】此題主要考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，平行線的性質(zhì)，正確地求出結(jié)果是解題關鍵781
知識目標（新課程標準提煉）
中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）
重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一 同角三角函數(shù)的關系
?考向二 互余兩角三角函數(shù)的關系
?考向三 相似三角形的判定與性質(zhì)
?考向四 解直角三角形
?考向五 解直角三角形的應用
?考向六 解直角三角形的應用-坡度坡角問題
?考向七 解直角三角形的應用-仰角俯角問題
?考向八 解直角三角形的應用-方向角問題
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）
解題技巧/易錯易混
1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.
2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設某條直角邊長為k（有時也可設為1），在求三角函數(shù)值的過程中約去k．
3.正確應用勾股定理求第三邊長．
4.應用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．
5.銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長短無關，只與銳角的大小有關.
解題技巧/易錯易混
1.解直角三角形的應用此類題的一般方法：
（1）構(gòu)造直角三角形；
（2）理清直角三角形的邊角關系；
（3）利用特殊角的三角函數(shù)值解答問題.
2.解直角三角形應用題應注意的問題：
（1） 分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；
（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關系式解直角三角形；
（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進行近似計算，檢驗是否符合實際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．

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