1.在復平面內，復數z滿足iz=3?4i，則z的虛部為( )
A. 3iB. ?3iC. 3D. ?3
2.已知集合A=x∣x?2≤0,B=x∣x2+2x?30，fx1=?3，fx2=3，且x1?x2的最小值為2π，則ω的值為( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
4.已知向量a=1,1,b=x,?1，則“x=?1”是“a+b⊥b”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 非充分非必要條件
5.在?ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA?sinB)，則∠C=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.記Sn為數列{an}的前n項和．若an=n(8?n) (n=1,2,?)，則( )
A. {an}有最大項，{Sn}有最大項B. {an}有最大項，{Sn}有最小項
C. {an}有最小項，{Sn}有最大項D. {an}有最小項，{Sn}有最小項
7.在等腰梯形ABCD中，AB=?2CD．M為BC的中點，則AM=( )
A. 12AB+12ADB. 34AB+12ADC. 34AB+14ADD. 12AB+34AD
8.已知函數fx=aex?x在區(qū)間1,2上單調遞增，則實數a的最小值為( )
A. e2B. eC. e?1D. e?2
9.點M,N分別是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中棱BC,CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1(包括邊界)內運動.若PA1//面AMN，則PA1的長度范圍是( )
A. 2, 5B. 3 22, 5C. 3 22,3D. 2,3
10.已知函數fx=x2?x,x≤0,x?alnx,x>0,若?x1≤0，?x2>0，使fx2=fx1成立，則實數a的取值范圍為( )
A. ?∞,0∪e,+∞B. e,+∞
C. 0,eD. 0,e
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11.二項式( x?2x)6的展開式中常數項為 .(用數字作答)
12.函數f(x)=1x+ 1?x的定義域是 ．
13.已知命題p：?x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命題p為假命題，則實數a的取值范圍是 ．
14.已知等邊?ABC的邊長為4，E , F分別是AB , AC的中點，則EF?EA= ；若M , N是線段BC上的動點，且MN=1，則EM?EN的最小值為 ．
15.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點O為底面ABCD的中心，點P在側面BB1C1C的邊界及其內部運動.給出下列四個結論：
①D1O⊥AC；
②存在一點P，D1O//B1P；
③若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為 5；
④若P到直線D1C1的距離與到點B的距離相等，則P的軌跡為拋物線的一部分．
其中所有正確結論的序號是 ．
三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.在?ABC中a=1， b=2．
(1)若c=2 2，求?ABC的面積：
(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使?ABC存在，求∠A．
條件①：∠B=2∠A；條件②：∠B=π3+∠A；條件③：∠C=2∠A．
17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2， AC=CD= 5．
(1)求證：PD⊥AB；
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，說明理由．
18.人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過，它所涉及的數學知識并非都是遙不可及的高深理論.為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語料庫A，其中“一”出現了30次，統(tǒng)計“一”與其后面一個字(或標點)的搭配情況，數據如下：
假設用頻率估計概率．
(1)求a的值，并估計甲類題材中“一”出現的概率；
(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，其中搭配“一個”出現的次數為X，求X的分布列和期望；
(3)另外隨機選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語料庫B進行統(tǒng)計，“一”出現了24次，“一格”出現了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時，“一個”和“一格”誰在前面更合適？(結論不要求證明)
19.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1過點P?2,1和Q2 2,0．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點G0,2作直線l交橢圓E于不同的兩點A,B，直線PA交y軸于點M，直線PB交y軸于點N.若GM?GN=2，求直線l的方程．
20.已知函數fx=xeaxa>0．
(1)求曲線y=fx在點0,f0處的切線方程；
(2)求fx在區(qū)間?1,1上的最大值與最小值；
(3)當a=1時，求證：fx≥lnx+x+1．
21.對于數列A:a1，a2，a3，定義“T變換”：T將數列A變換成數列B:b1，b2，b3，其中bi=ai?ai+1(i=1,2)，且b3=a3?a1，記作B=T(A).繼續(xù)對數列B進行“T變換”，得到數列C:c1，c2，c3，依此類推．當且僅當得到的數列各項均為0時變換結束．
(1)直接寫出A:2，6，4經過1次“T變換”得到的數列B，及B再經過3次“T變換”得到的數列E；
(2)若A經過n次“T變換”后變換結束，求n的最大值；
(3)設A:a1,a2,a3ai∈N,i=1,2,3，B=T(A).已知B:2，a，b，且B的各項之和為2022，若B再經過k次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的最小值．
參考答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.B
6.A
7.B
8.C
9.B
10.A
11.60
12.(?∞,0)∪(0,1]
13.0,1
14.2 ； ； ；
； ； ；114/2.75
15.①③
16.(1)由題意可知a=1，b=2，c=2 2，
所以csC=b2+a2?c22ab=?3412或k12，所以得2k?12k?3=1，即k=1，經檢驗符合題意，此時直線l為y=x+2
綜上所述，直線l的方程為y=x+2或x=0．

20.解：(1)f′x=1+axeax ， f′0=1 ， f0=0 ，
所以曲線 y=fx 在點 0,f0 處的切線方程為 y=x ；
(2)f′x=1+axeax ， a>0，
當 01 時，令 f′x=0 ，得 x=?1a∈?1,0 ，
在區(qū)間 ?1,?1a 上f′x0，函數 fx 單調遞增，
所以函數 fx 的最小值為 f?1a=?1ae ，
f(?1)=?e?a ， f1=ea ，顯然 f1>f?1 ，所以函數 fx 的最大值為 f1=ea ，
綜上可知，當 01 時，函數 fx 的最小值為 f?1a=?1ae ，最大值為 f1=ea ；
(3)當 a=1 時， fx=xex ，即證明不等式 xex≥lnx+x+1 ，
設 gx=xex?lnx?x?1 ， x>0 ， g′x=x+1ex?1x ，
設 ?x=ex?1x ， x>0 ， ?′x=ex+1x2>0 ，
所以 ?x 在 0,+∞上 單調遞增，并且 ?12= e?20 ，
所以函數 ?x 在 12,1 上存在唯一零點 x0 ，使 ?x0=ex0?1x0=0 ，
即 g′x0=0 ，則在區(qū)間 0,x0 ， g′x0 ， gx 單調遞增，
所以 gx 的最小值為 gx0=x0ex0?lnx0?x0?1 ，
由 ?x0=ex0?1x0=0 ，得 x0ex0=1 ，且 x0=?lnx0 ，
所以 gx0=0 ，
所以 gx=xex?lnx?x?1≥0 ，即 fx≥lnx+x+1 ．

21.(1)B=T(A)
A:2，6，4經過1次“T變換”得B：4，2，2，
B：4，2，2，經過1次“T變換”得2，0，2；B經過第2次“T變換”得2，2，0；
B經過第3次“T變換”得0，2，2.即E：0，2，2．
(2)n的最大值為1
①先證明n可以為1
構造A：1，1，1，則T(A)：0，0，0，變換結束，此時n=1．
②再證明n≤1
反證法：假設n≥2
設經過n?1次“T變換”后得到的數列為x,y,z，且x,y,z不全為0．
因為A經過n次“T變換”后變換結束，
所以x?y=y?z=z?x=0，所以x=y=z=t(t為非0常數)
設x,y,z(即t,t,t)由x1,y1,z1進行“T變換”得到，
則x1?y1=y1?z1=z1?x1=t≠0
不妨設x1≥y1≥z1
所以x1?y1=y1?z1=x1?z1=t≠0
所以x1?z1=x1?y1+y1?z1=t+t=2t，與x1?z1=t矛盾．
綜上，n的最大值為1
(3)因為B的各項之和為2+a+b=2022，不妨設a≤b，所以b為B的最大項
即a1?a3最大，即a1≥a2≥a3，或a1≤a2≤a3
當a1≥a2≥a3時，可得2=a1?a2a=a2?a3b=a1?a3
所以2+a=b，則a=1009,b=1011
當a1≤a2≤a3時，可得2=a2?a1a=a3?a2b=a3?a1
所以2+a=b，則a=1009,b=1011
定義：若一個數列有三項，且最小項為2，較大兩項相差2，則稱此數列與數列B
“結構相同”．
若數列B的三項為x+2,x,2(x≥2)，則無論其順序如何，經過“T變換”得到的數列的三項為x,x?2,2(不考慮順序)
所以與數列B“結構相同”的數列經過“T變換”得到的數列也與B“結構相同”，除2以外其余各項減少2，各項之和減少4．
因此，數列B:2，1009，1011經過504次“T變換”一定得到各項為2，1，3，(不考慮順序)的數列．
對2，1，3，繼續(xù)進行“T變換”，依次得1，2，1；1，1，0；0，1，1；
各項為1，1，0的數列，無論順序如何，經過“T變換”得到的數列會重復出現，各項之和不再減少．
所以，至少通過506次“T變換”得到的數列各項之和最小．
故k的最小值為506．
“一”與其后面一個字(或標點)的搭配情況
頻數
“一個”
6
“一些”
4
“一窮”
2
“一條”
2
其他
a
X
0
1
2
P
1625
825
125

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