一、單選題
1．已知集合，則是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域以及根式的性質(zhì)化簡集合，即可根據(jù)交運算求解.
【詳解】由可得，
所以
故選：A
2．設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分別利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性，限定的取值范圍即可得出結(jié)論.
【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增可知，即；
由三角函數(shù)單調(diào)性可知；
利用指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增可得；
所以.
故選：C
3．在的展開式中，若第3項的系數(shù)為10，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】直接利用二項式定理計算得到答案.
【詳解】展開式的通項為，故，.
故選：B
4．在中，已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦定理求解，即可根據(jù)正弦定理求解.
【詳解】由余弦定理可得,
由正弦定理可得,
故選：B
5．在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，則“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】判斷命題“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，可得答案.
【詳解】由題意知，角與角的終邊關(guān)于軸對稱時，則 ，
故，則，即；
當時，此時，角與角的終邊不關(guān)于軸對稱，
即“”成立不能得出“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”成立，
故“角與角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的充分而不必要條件，
故選：A
6．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點坐標，求出直線的方程、點的坐標，最后根據(jù)三角形面積公式進行求解即可.
【詳解】拋物線的焦點的坐標為，
所以直線的方程為：，
令，解得，因此點的坐標為：，
因為的面積為4，
所以有，即，，
因此拋物線的方程為.
故選：B.
7．坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解.
【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，
所以.
因為平面，平面，所以，
因為，平面，，
所以平面，因為平面，所以，.
同理：，又，故四邊形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因為，
所有棱長之和為.
故選：C
8．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為( )
A．B．2
C．D．
【答案】D
【分析】連接，利用三角形邊之間的關(guān)系得到，，代入離心率公式得到答案.
【詳解】連接，依題意知：
，，
所以
.
【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關(guān)系和雙曲線性質(zhì)得到的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.
9．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間t（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知，給氧1小時后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（ ）
（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
【答案】B
【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時間t的方程，解之即可求得給氧時間至少還需要的小時數(shù).
【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時，
由題意可得，，兩邊同時取自然對數(shù)并整理，
得，，
則，則給氧時間至少還需要小時
故選： B
10．在數(shù)列中，若對任意的，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題：
①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列：
②若數(shù)列滿足，則數(shù)列是比等差數(shù)列，且比公差
③若數(shù)列滿足,
則該數(shù)列不是比等差數(shù)列：
④若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列是比等差數(shù)列．
其中所有真命題的序號是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
【答案】D
【分析】①由等比數(shù)列的特點，代入可知滿足新定義，若等差數(shù)列的公差時滿足題意，當時，不是比等差數(shù)列，可知正確；②代入新定義驗證可知，不滿足；③由遞推公式計算數(shù)列的前4項，可得，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列；④可舉為常數(shù)列0，則數(shù)列常數(shù)列0，顯然不滿足定義．
【詳解】①若數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，則，為常數(shù)，故等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，
若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，當時，，為常數(shù)，是比等差數(shù)列，
當時，不為常數(shù)，故不是比等差數(shù)列，故等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列，故正確；
②若數(shù)列滿足，則不為常數(shù)，故數(shù)列不是比等差數(shù)列，故錯誤；
③若數(shù)列滿足，，，可得，，故，,顯然，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列，故正確；
④若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，則數(shù)列為各項均為0的常數(shù)列，顯然不滿足定義，即數(shù)列不是比等差數(shù)列，故錯誤．
故選：D
二、填空題
11．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為 .
【答案】-2
【分析】解不等式組得解.
【詳解】因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)
所以，所以.
故答案為：
12．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則，的夾角的余弦為 ．

【答案】/
【分析】如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為，利用坐標法求解即可.
【詳解】如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，
設(shè)正方形的邊長為，
則，即，
故，
所以，即，的夾角的余弦為.
故答案為：.

13．已知直線（其中）與圓交于M、N，O是坐標原點，則為
【答案】
【分析】先根據(jù)圓的方程寫出圓心坐標和半徑；再根據(jù)點到直線距離求出，求出；最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出.
【詳解】
由圓：，得：圓心坐標為，半徑為.
則圓心到直線（）的距離為
.
因為在中，，
所以，即.
所以在等腰中，.
故答案為：.
三、雙空題（新）
14．小明用數(shù)列{an}記錄某地區(qū)2019年12月份31天中每天是否下過雨，方法為：當?shù)趉天下過雨時，記ak＝1，當?shù)趉天沒下過雨時，記ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用數(shù)列{bn}記錄該地區(qū)該月每天氣象臺預(yù)報是否有雨，方法為：當預(yù)報第k天有雨時，記bk＝1，當預(yù)報第k天沒有雨時，記bk＝﹣1（1≤k≤31）；記錄完畢后，小明計算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么該月氣象臺預(yù)報準確的的總天數(shù)為 ；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，則氣象臺預(yù)報準確的天數(shù)為 （用m，k表示）.
【答案】 28
【解析】根據(jù)題意得到akbk＝1表示第k天預(yù)報正確，akbk＝﹣1表示第k天預(yù)報錯誤，從而得到，根據(jù)得到該月氣象臺預(yù)報準確的的總天數(shù).
【詳解】依題意，若（），則表示第天預(yù)報正確，
若（），則表示第天預(yù)報錯誤，
若，
假設(shè)其中有天預(yù)報正確，即等式的左邊有個，個，
則，解得，
即氣象臺預(yù)報準確的天數(shù)為；
于是若，
則氣象臺預(yù)報準確的天數(shù)為.
故答案為：，.
【點睛】本題考查數(shù)列的實際應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題.
四、填空題
15．已知集合.由集合P中所有的點組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論：
①“水滴”圖形與y軸相交，最高點記為A，則點A的坐標為；
②在集合P中任取一點M，則M到原點的距離的最大值為3；
③陰影部分與y軸相交，最高點和最低點分別記為C，D，則；
④白色“水滴”圖形的面積是.
其中正確的有 .
【答案】②③④
【分析】①方程中，令求得y的取值范圍，得出最高點的坐標；
②利用參數(shù)法求出點M到原點的距離d，求出最大值；
③求出知最高點C與最低點D的距離；
④計算“水滴”圖形的面積是由一個等腰三角形，兩個全等的弓形和一個半圓組成.
【詳解】對于①中，方程中，
令，得，
所以，其中，所以，所以，
解得；
所以點，點，點，點，所以①錯誤；
對于②中，由，設(shè)，
則點M到原點的距離為
，
當時，，d取得最大值為3，所以②正確；
對于③中，由①知最高點為，最低點為，
所以，③正確；
對于④中，“水滴”圖形是由一個等腰三角形，兩個全等的弓形，和一個半圓組成；
計算它的面積是，
所以④正確；
綜上知，正確的命題序號是②③④.
故答案為：②③④.
【點睛】本題主要考查了以集合為背景的命題的真假判定，其中解答中涉及到三角函數(shù)的性質(zhì)，圓的參數(shù)方程，以及圓的面積公式等知識點的綜合考查，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.
五、解答題
16．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(3)求函數(shù)的最大值與最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值為，最小值為.
【分析】（1）觀察圖象知函數(shù)最小正周期為，為函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間上的零點，且過(0，1)點，分別求出的值；
（2）由（1）中，代入并化簡求得解析式，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求出單調(diào)增區(qū)間即可.
（3）由（1）中，代入并化簡求得解析式，化簡為關(guān)于sinx的二次函數(shù)求最值.
【詳解】（1）解：由圖知：
的最小正周期為，
故，所以，
又為單調(diào)遞減區(qū)間上的零點，
故，又解得：.
又圖象過(0，1)點，所以，解得.
所以函數(shù)的解析式為：.
（2）由（1）知
令
解得：
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：
（3）
當時，最小值為；
當時，最大值為；
故：最大值為，最小值為.
六、證明題
17．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，．

(1)求證：：
(2)從下面三個條件中選擇一個作為已知，使五面體ABCDEF存在．求直線AE與平面BCF所成角的正弦值．
條件①：平面平面
條件②：平面平面
條件③：
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)證明見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得，利用線面平行判定定理證明平面，結(jié)合圖形即可證明；
（2）選擇①，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，進而可判斷線線垂直，進而判斷五面體不存在，若選擇②③，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)建立如圖空間直角坐標系，利用向量法即可求出線面角的正弦值．
【詳解】（1）證明：因為四邊形為矩形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以；
（2）若選條件①：平面平面，
則平面平面，, 平面，
所以平面平面所以,
但是，因此不可能，所以選擇條件①的五面體不存在，
若選擇條件②：平面平面
取的中點，的中點，連接，，
則，由，得，且，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
建立如圖空間直角坐標系，,0,,,0,,,4,,,4,,,0,,,2,,
則，
設(shè)為平面的一個法向量，
則,令，得，，所以，
，
設(shè)直線與平面所成角為，則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．

若選擇條件③：
由于，,平面，
所以平面，平面，所以平面平面，
以下如選擇條件②相同.
18．不粘鍋是家庭常用的廚房用具，近期，某市消費者權(quán)益保護委員會從市場上購買了12款不粘鍋商品，并委托第三方檢測機構(gòu)進行檢測，本次選取了食物接觸材料安全項目中與消費者使用密切相關(guān)的6項性能項目進行比較試驗，性能檢測項目包含不粘性、耐磨性、耐堿性、手柄溫度、溫度均勻性和使用體驗等6個指標．其中消費者關(guān)注最多的兩個指標“不沾性、耐磨性”檢測結(jié)果的數(shù)據(jù)如下：
（Ⅰ級代表性能優(yōu)秀，Ⅱ級代表性能較好）
(1)從這12個品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù)，求這兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級的概率：
(2)從前六個品牌、后六個品牌中各隨機選取兩個品牌的數(shù)據(jù)，求兩個指標“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級的品牌個數(shù)恰為2個的概率；
(3)顧客甲從品牌中隨機選取1個品牌，用“”表示選取的品牌兩個指標“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級，“”表示選取的品牌兩個指標“不沾性、耐磨性”不都是Ⅰ級（k=1，4，7，10）．寫出方差的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接計算事件發(fā)生概率；
（2）根據(jù)分步分類計數(shù)原理，結(jié)合排列組合即可求解，
（3）分別計算出概率，計算期望值，再比較大小．
【詳解】（1）“不粘性”性能都是Ⅰ級的品牌有5個，
記事件為兩個品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級，
則．
（2）前六個品牌中性能都是Ⅰ級的品牌有3個，后六個品牌性能都是Ⅰ級的品有2個，
記事件B為兩個指標“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級的品牌個數(shù)恰為2個，
則；
（3）品牌123中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級品牌有2個，品牌456中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級品牌有1個，品牌789中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級品牌有2個，品牌123中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級品牌有0個，
所以分布列為
分布列為
分布列為
分布列為
所以
七、問答題
19．已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
(3)設(shè)實數(shù)a使得對恒成立，寫出a的最大整數(shù)值，并說明理由．
【答案】【小題1】 【小題2】 【小題3】，理由見解析
【分析】（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可得出切線方程；
（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出最值即可；
（3）依題意，將不等式等價轉(zhuǎn)化為在R恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最小值的范圍，進而求解.
【詳解】（1），
，
，又，
所求切線方程為，即.
所以切線方程為.
（2）令，
則，
當時，即時，，，
所以，在上單調(diào)遞增.
又，，
，使得.
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
又，
，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.
（3）不等式恒成立等價于恒成立,
令，當時，，恒成立；
當時，令，則,
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
，
當時，；
當時，，
的值域為.
，.
綜上所述，a的最大整數(shù)值為.
【點睛】用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題求參數(shù)的取值范圍，常見兩種方法：
（1）利用分類討論思想求出函數(shù)的單調(diào)性及最值，進而求參數(shù)范圍；
（2）利用分離變量思想，構(gòu)造新的函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)求新的函數(shù)的最值，進而求參數(shù)的范圍.
20．如圖，點是圓：上的動點，點，線段的垂直平分線交半徑于點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)點為軌跡與軸負半軸的交點，不過點且不垂直于坐標軸的直線交橢圓于，兩點，直線，分別與軸交于，兩點．若，的橫坐標之積是2，問：直線是否過定點？如果是，求出定點坐標，如果不是，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)直線過定點.
【分析】（1）利用定義法求點的軌跡的方程；
（2）直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達定理，再根據(jù)得，即得解.
【詳解】（1）解：由題得,
所以點的軌跡是以為焦點，長軸為4的橢圓.
所以，
所以橢圓的方程為.
所以點的軌跡的方程為.
（2）解：由題得點,設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線和橢圓的方程為得，
所以.
設(shè)，所以.
所以直線方程為，
令得，同理,
因為，
所以，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，所以直線的方程為，
所以直線過定點.
21．設(shè)n 為不小于3的正整數(shù)，集合，對于集合中的任意元素，記
（Ⅰ）當時，若，請寫出滿足的所有元素
（Ⅱ）設(shè)且，求的最大值和最小值；
（Ⅲ）設(shè)S是的子集，且滿足：對于S中的任意兩個不同元素，有成立，求集合S中元素個數(shù)的最大值.
【答案】（1）； （2）的最大值為，當為偶數(shù)時，的最小值為，當為奇數(shù)時，； （3）中的元素個數(shù)最大值為.
【分析】（Ⅰ）結(jié)合題意列舉可得；（Ⅱ）先根據(jù)，得到的關(guān)系式，再求解的最值；（Ⅲ）通過對集合的拆分，逐一求解.
【詳解】(Ⅰ)滿足的元素為
（Ⅱ）記，，
注意到，所以，
所以
因為，所以
所以中有個量的值為1，個量的值為0.
顯然
，
當，時，
滿足，.所以的最大值為
又
注意到只有時，，否則
而中個量的值為1，個量的值為0
所以滿足這樣的元素至多有個，
當為偶數(shù)時，.
當時，滿足，且.
所以的最小值為
當為奇數(shù)時，且，這樣的元素至多有個，
所以.
當，時，滿足，.
所以的最小值為
綜上：的最大值為，當為偶數(shù)時，的最小值為，當為奇數(shù)時，.
（Ⅲ）中的元素個數(shù)最大值為
設(shè)集合是滿足條件的集合中元素個數(shù)最多的一個
記 ，
顯然
集合中元素個數(shù)不超過個，下面我們證明集合中元素個數(shù)不超過個
，則
則中至少存在兩個元素
，
因為，所以不能同時為
所以對中的一組數(shù)而言，
在集合中至多有一個元素滿足同時為
所以集合中元素個數(shù)不超過個
所以集合中的元素個數(shù)為至多為 .
記 ，則中共個元素，
對于任意的，，.
對，記其中，，
記，
顯然，，均有.
記，中的元素個數(shù)為，且滿足，，均有.
綜上所述，中的元素個數(shù)最大值為.
【點睛】本題主要考查集合新定義及數(shù)論.難度較大，根據(jù)集合元素特征及定義的運算規(guī)則逐步突破.
檢測結(jié)果
檢測結(jié)果
序號
品牌名稱
不粘性
耐磨性
序號
品牌名稱
不粘性
耐磨性
1
品牌1
Ⅰ級
Ⅰ級
7
品牌7
Ⅰ級
Ⅰ級
2
品牌2
Ⅱ級
Ⅰ級
8
品牌8
Ⅰ級
Ⅰ級
3
品牌3
Ⅰ級
Ⅰ級
9
品牌9
Ⅱ級
Ⅱ級
4
品牌4
Ⅱ級
Ⅱ級
10
品牌10
Ⅱ級
Ⅱ級
5
品牌5
Ⅰ級
Ⅰ級
11
品牌11
Ⅱ級
Ⅱ級
6
品牌6
Ⅱ級
Ⅰ級
12
品牌12
Ⅱ級
Ⅱ級
0
1
0
1
0
1
0
1
0

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