(滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘)
2025．1
一、 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合S＝(－1，1)，集合T＝{y|y＝sin x}，則S∪T＝( )
A. ? B. S C. T D. R
2. 已知向量a＝(1，m)，b＝(2，－1).若a⊥b，則實(shí)數(shù)m的值是( )
A. －2 B. 2 C. － eq \f(1,2) D. eq \f(1,2)
3. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，則“a＜1”是“(a－1)(a－2)＞0”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4. 在(1＋ eq \r(3,3) x)8的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是( )
A. 9 B. 4 C. 3 D. 2
5. 若函數(shù)f(x)＝x2－2x sin α＋1有零點(diǎn)，則cs 2α的取值集合為( )
A. {－1，1} B. {0} C. {1} D. {－1}
6. 設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|< eq \f(π,2) ).若f(x)的圖象過點(diǎn)(0，1)，且f(x)在[0，π]上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是( )
A. [ eq \f(5,3) ，＋∞) B. [ eq \f(11,6) ， eq \f(17,6) )
C. [ eq \f(5,3) ， eq \f(8,3) ) D. [ eq \f(11,6) ，＋∞)
7. 第15屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)于2024年11月12日至17日在珠海舉行．本屆航展規(guī)?？涨?，首次打造“空、海、陸”一體的動(dòng)態(tài)演示新格局，盡顯逐夢(mèng)長(zhǎng)空的中國(guó)力量．航展共開辟了三處觀展區(qū)，分別是珠海國(guó)際航展中心、金鳳臺(tái)觀演區(qū)、無人系統(tǒng)演示區(qū)．甲、乙、丙、丁四人相約去參觀，每個(gè)觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū)．在甲參觀珠海國(guó)際航展中心的條件下，甲與乙不到同一觀展區(qū)的概率為( )
A. eq \f(5,6) B. eq \f(3,4) C. eq \f(2,3) D. eq \f(1,2)
8. 已知F1，F(xiàn)2是橢圓Ω的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓Ω上一點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為Q.若5QF1＋3QF2＋3 eq \(QP,\s\up6(→)) ＝0，則橢圓Ω的離心率為( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(2,5) C. eq \f(3,7) D. eq \f(3,8)
二、 選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，設(shè)單個(gè)籃球的質(zhì)量為X(單位：克).若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，則下列說法正確的有( )
A. P(X＜600)＝ eq \f(1,2) B. P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606)
C. P(X＜595)＝P(X＞605) D. σ越小，P(X＜598)越大
10. 設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的有( )
A. |z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B. z1＋z2＝z1＋z2
C. 若|z1|＝|z2|，則z eq \\al(2,1) ＝z eq \\al(2,2) D. 若z eq \\al(2,1) ＜0，則z1為純虛數(shù)
11. 已知曲線C：x3＋y3＝1，則下列說法正確的有( )
A. 曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱
B. 曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱
C. 曲線C在直線x＋y＝0的上方
D. 曲線C與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積大于 eq \f(π,4)
三、 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)f(x)＝x2＋ln x的圖象在點(diǎn)(1，1)處的切線的斜率為________．
13. 已知四棱錐PABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E滿足 eq \(PE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(PD,\s\up6(→)) .設(shè)三棱錐PACE和四棱錐PABCD的體積分別為V1和V2，則 eq \f(V1,V2) 的值為________．
14. 已知等差數(shù)列{an}的公差不為0.若在{an}的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來的順序仍然成等差數(shù)列的概率為________．(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答)
四、 解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15. (本小題滿分13分)
已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5.
(1) 若C＝2A，求sin A的值；
(2) 若△ABC為銳角三角形，且cs A＝ eq \f(9,16) ，求△ABC的面積．
16. (本小題滿分15分)
如圖，在所有棱長(zhǎng)都為2的三棱柱ABCA1B1C1中，E是棱AA1的中點(diǎn)，AB1⊥CE.
(1) 求證：平面A1ABB1⊥平面ABC；
(2) 若∠A1AB＝ eq \f(π,3) ，點(diǎn)P滿足A1C1＝3A1P，求直線CP與平面A1ABB1所成角的正弦值．
17. (本小題滿分15分)
已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F1到雙曲線E的漸近線的距離為2 eq \r(2) ，A為雙曲線E的右頂點(diǎn)，且AF1＝2AF2.
(1) 求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 若四邊形ABCD為矩形，其中點(diǎn)B，D在雙曲線E上，求證：直線BD過定點(diǎn)．
18. (本小題滿分17分)
設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋ka－x(k∈R，a＞0，a≠1).
(1) 當(dāng)k＝4時(shí)，求f(x)的最小值．
(2) 討論函數(shù)f(x)的圖象是否有對(duì)稱中心．若有，請(qǐng)求出對(duì)稱中心；若無，請(qǐng)說明理由．
(3) 當(dāng)k＝0時(shí)，?x∈(－∞， eq \f(1,2) )，都有f(x)≤ eq \f(1,1－2x) ，求實(shí)數(shù)a的取值集合．
19. (本小題滿分17分)
若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意n∈N*(n≥3)，總存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，則稱{an}是融積數(shù)列．
(1) 判斷數(shù)列{e2n}是否為融積數(shù)列，并說明理由；
(2) 若等差數(shù)列{an}是融積數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(3) 若融積數(shù)列{an}單調(diào)遞增，a1＝2，a2＝8，求使得an＝2123成立的n的最值．
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
1. C 2. B 3. A 4. C 5. D 6. B 7. A 8. D 9. AC 10. BD 11. ACD
12. 3 13. eq \f(1,6) 14. eq \f(1,2 425)
15. 解：(1) 因?yàn)镃＝2A，所以sin C＝sin 2A＝2sin A cs A，(2分)
所以cs A＝ eq \f(sin C,2sin A) .
在△ABC中，由正弦定理，得 eq \f(sin C,sin A) ＝ eq \f(AB,BC) ，
而AB＝6，BC＝5，所以cs A＝ eq \f(sin C,2sin A) ＝ eq \f(AB,2BC) ＝ eq \f(3,5) .(4分)
因?yàn)锳∈(0，π)，所以sin A＝ eq \r(1－cs2A) ＝ eq \r(1－（\f(3,5)）2) ＝ eq \f(4,5) .(6分)
(2)在△ABC中，因?yàn)閏s A＝ eq \f(9,16) ，所以sin A＝ eq \r(1－cs2A) ＝ eq \r(1－（\f(9,16)）2) ＝ eq \f(5\r(7),16) .(8分)
由正弦定理，得 eq \f(sinC,sin A) ＝ eq \f(AB,BC) ，所以sin C＝ eq \f(AB,BC) sin A＝ eq \f(6,5) × eq \f(5\r(7),16) ＝ eq \f(3\r(7),8) .(10分)
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cs C＝ eq \r(1－sin2C) ＝ eq \r(1－（\f(3\r(7),8)）2) ＝ eq \f(1,8) ，
所以sinB＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A cs C＋cs A sin C＝ eq \f(5\r(7),16) × eq \f(1,8) ＋ eq \f(9,16) × eq \f(3\r(7),8) ＝ eq \f(\r(7),4) .(12分)
所以△ABC的面積S△ABC＝ eq \f(1,2) ×AB×BC×sin B＝ eq \f(1,2) ×6×5× eq \f(\r(7),4) ＝ eq \f(15\r(7),4) .(13分)
16. (1) 證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，A1B，OC.
因?yàn)镋為AA1中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，所以EO∥A1B.
在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，則四邊形ABB1A1是菱形，得AB1⊥A1B，
則AB1⊥EO.
又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE?平面EOC，
所以AB1⊥平面EOC.(2分)
又OC?平面EOC，所以O(shè)C⊥AB1.
因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，O為AB中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB.
又OC⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1?平面A1ABB1，
所以O(shè)C⊥平面A1ABB1.(4分)
又OC?平面ABC，
所以平面A1ABB1⊥平面ABC.(6分)
(2) 解：連接A1O.
因?yàn)椤螦1AB＝ eq \f(π,3) ，AB＝AA1，所以△A1AB是等邊三角形，所以A1O⊥AB.
又平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，
所以A1O⊥平面ABC.(8分)
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OB，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則O(0，0，0)，C( eq \r(3) ，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0， eq \r(3) )，B1(0，2， eq \r(3) ).
設(shè)C1(x，y，z)，由CC1＝BB1，解得C1( eq \r(3) ，1， eq \r(3) ).(10分)
則 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝CA1＋ eq \f(1,3) A1C1＝(－ eq \f(2\r(3),3) ， eq \f(1,3) ， eq \r(3) ).(12分)
因?yàn)槠矫鍭1ABB1的一個(gè)法向量為n＝(1，0，0)，所以cs 〈 eq \(CP,\s\up6(→)) ，n〉＝ eq \f(\(CP,\s\up6(→))·n,|\(CP,\s\up6(→))|·|n|) ＝－ eq \f(\r(30),10) .
設(shè)直線CP與平面A1ABB1所成角為θ，
則sin θ＝|cs 〈 eq \(CP,\s\up6(→)) ，n〉|＝ eq \f(\r(30),10) .(15分)
17. (1) 解：設(shè)雙曲線E的焦距為2c，則F1(－c，0)，
故點(diǎn)F1到雙曲線E的漸近線bx±ay＝0的距離為 eq \f(|bc|,\r(b2＋a2)) ＝b＝2 eq \r(2) .(2分)
由AF1＝2AF2，得c＋a＝2(c－a)，即c＝3a.(4分)
又c2＝a2＋b2，所以(3a)2＝a2＋8，解得a2＝1.
所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－ eq \f(y2,8) ＝1.(6分)
(2) 證明：① 當(dāng)直線BD的斜率不存在時(shí)，由AB⊥AD，可得直線BD的方程為x＝－ eq \f(9,7) .(7分)
② 當(dāng)直線BD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線BD的方程為y＝kx＋m，B(x1，y1)，D(x2，y2)，
聯(lián)立雙曲線E和直線BD的方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,8)＝1，,y＝kx＋m，)) 得(8－k2)x2－2kmx－m2－8＝0.
當(dāng) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8－k2≠0，,Δ＞0)) 時(shí)，x1＋x2＝ eq \f(2km,8－k2) ，x1x2＝－ eq \f(m2＋8,8－k2) .(9分)
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB⊥AD，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，(11分)
所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，
所以－ eq \f(（k2＋1）（m2＋8）,8－k2) ＋ eq \f(2km（km－1）,8－k2) ＋ eq \f(（8－k2）（m2＋1）,8－k2) ＝0，
所以7m2－2km－9k2＝0，(13分)
所以(m＋k)(7m－9k)＝0，即m＝－k或m＝ eq \f(9,7) k.
當(dāng)m＝－k時(shí)，直線BD的方程為y＝kx－k＝k(x－1)，恒過定點(diǎn)A(1，0)，不合題意，舍去．
當(dāng)m＝ eq \f(9,7) k時(shí)，直線BD的方程為y＝kx＋ eq \f(9,7) k＝k(x＋ eq \f(9,7) )，恒過定點(diǎn)(－ eq \f(9,7) ，0).
綜上，直線BD恒過定點(diǎn)(－ eq \f(9,7) ，0).(15分)
18. 解：(1) 當(dāng)k＝4時(shí)，f(x)＝ax＋4a－x≥2 eq \r(ax·4a－x) ＝4(當(dāng)且僅當(dāng)ax＝4a－x，即x＝lga2時(shí)取等號(hào))，所以當(dāng)x＝lga2時(shí)，f(x)取最小值4.(4分)
(2) 設(shè)點(diǎn)P(m，n)為函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心，則f(x)＋f(2m－x)＝2n，
所以ax＋ka－x＋a2m－x＋ka－2m＋x＝2n，即ax(1＋ka－2m)＋a－x(k＋a2m)＝2n，(6分)
所以a2x(1＋ka－2m)－2nax＋(k＋a2m)＝0，
所以1＋ka－2m＝0，k＋a2m＝0，2n＝0，
即a2m＝－k，n＝0.(7分)
所以當(dāng)k≥0時(shí)，m無解，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象沒有對(duì)稱中心；(8分)
當(dāng)k＜0時(shí)，m＝ eq \f(1,2) lga(－k)，此時(shí)函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為P( eq \f(1,2) lga(－k)，0).(9分)
(3) 當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)＝ax，所以ax≤ eq \f(1,1－2x) 在(－∞， eq \f(1,2) )上恒成立，即x ln a＋ln (1－2x)≤0.
令φ(x)＝x ln a＋ln (1－2x)，則φ(0)＝0，
所以φ′(x)＝ln a－ eq \f(2,1－2x) ，φ″(x)＝－ eq \f(4,（1－2x）2) ＜0，
所以φ′(x)在(－∞， eq \f(1,2) )上單調(diào)遞減．(11分)
① 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，φ′(x)＜0，則φ(x)在(－∞， eq \f(1,2) )上單調(diào)遞減，
此時(shí)當(dāng)x＜0時(shí)，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去．(13分)
② 當(dāng)a＞1時(shí)，令φ′(x)＝ln a－ eq \f(2,1－2x) ＝0，解得x＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ＜ eq \f(1,2) .
1°當(dāng)a＝e2時(shí)， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ＝0，
所以當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，φ′(x)＞0，φ(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(0， eq \f(1,2) )時(shí)，φ′(x)＜0，φ(x)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝0時(shí)，φ(x)取極大值，則φ(x)≤φ(0)＝0，
所以a＝e2滿足題意．(15分)
2°當(dāng)1＜a＜e2時(shí)， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ＜0，
所以當(dāng)x∈( eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ， eq \f(1,2) )時(shí)，φ′(x)＜0，φ(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈( eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ，0)時(shí)，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去．
3°當(dāng)a＞e2時(shí)， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ＞0，
所以當(dāng)x∈(－∞， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) )時(shí)，φ′(x)＞0，φ(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈(0， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) )時(shí)，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{e2}．(17分)
19. 解：(1) {e2n}是融積數(shù)列，證明如下．
設(shè)bn＝e2n，當(dāng)n≥3時(shí)，取i＝1＜j＝n－1＜n，則bibj＝e2ie2j＝e2e2n－2＝e2n＝bn，
即存在i，j∈N*，i≠j，i＜n，j＜n，使得bn＝bibj，
則{e2n}是融積數(shù)列．(3分)
(2) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
又{an}是融積數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*(n≥3)，總存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，則a3＝a1a2.(4分)
考察a4，有下列三種情況：
① 若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝a1a2，,a4＝a1a2，)) 則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝0；))
② 若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝a1a2，,a4＝a1a3，)) 則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝0；))
③ 若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝a1a2，,a4＝a2a3，)) 則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝\f(2,3)，,d＝－\f(1,6)；))
由①②③，得an＝0或an＝1或an＝－ eq \f(1,6) n＋ eq \f(5,6) .(7分)
對(duì)于an＝0，取i＝1＜j＝n－1＜n(n≥3)，則an＝0＝0×0＝aiaj，所以{an}是融積數(shù)列．
對(duì)于an＝1，同上，可得{an}也是融積數(shù)列．
對(duì)于an＝－ eq \f(1,6) n＋ eq \f(5,6) ，則a5＝0，當(dāng)i＜5，j＜5時(shí)都有ai≠0，aj≠0，
故不存在i，j∈N*，使得a5＝aiaj，故{an}不是融積數(shù)列．
綜上，an＝0或an＝1.(9分)
(3) 因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增的融積數(shù)列，a1＝2，a2＝8，所以an＋2≤an＋1an，
所以a3＝a1a2＝24，a4≤a2a3＝27，a5≤a3a4≤211，a6≤a4a5≤218，
a7≤a5a6≤229，a8≤a6a7≤247，a9≤a7a8≤276，a10≤a8a9≤2123，
所以an＝2123≥a10.
又{an}單調(diào)遞增，所以n≥10，
當(dāng)以上各式等號(hào)同時(shí)成立時(shí)，a10＝2123，故nmin＝10.(13分)
因?yàn)閧an}是融積數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N*(n≥3)，總存在i，j∈N*，使得an＝aiaj.
而a1＝2，a2＝8＝23，所以對(duì)任意的n∈N*必存在k∈N*，使得an＝2k.
又{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1≥2an，則 eq \f(an,an－1) · eq \f(an－1,an－2) ·…· eq \f(a3,a2) ≥2n－2(n≥3)，
則an≥2n＋1，由an＝2123≥2n＋1，得n≤122，
當(dāng)an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n＋1，n≥2)) 時(shí)取等號(hào)，故nmax＝122.
綜上，nmin＝10，nmax＝122.(17分)

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這是一份江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題，文件包含8月六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題-參考答案pdf、8月六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共9頁(yè)， 歡迎下載使用。

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