專題04 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)-【備戰(zhàn)學(xué)考】2025年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試總復(fù)習(xí)（全國通用，春季高考適用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；
2、了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念；
3、能用描點(diǎn)法畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；
4、理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)；
5、了解對數(shù)函數(shù)的概念；
6、能用描點(diǎn)法畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；；
7、指導(dǎo)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（且）
基礎(chǔ)知識(shí)梳理
1、根式的概念及性質(zhì)
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．
（2）性質(zhì)：
①(且)；
②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是(，，且)；
③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
3、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
①；
②；
③.
4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）指數(shù)函數(shù)的概念
函數(shù)(，且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是．
（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
5、對數(shù)的概念
（1）對數(shù)：一般地，如果，那么數(shù) 叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).
（2）牢記兩個(gè)重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù).
（3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.
6、對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式
（1）對數(shù)的性質(zhì)
根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)具有以下性質(zhì)：
①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，即；
②1的對數(shù)等于0，即；
③底數(shù)的對數(shù)等于1，即；
④對數(shù)恒等式.
（2）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）對數(shù)的換底公式
對數(shù)的換底公式：.
換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以為底的自然對數(shù).
換底公式的變形及推廣：
①；
②；
7、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）對數(shù)函數(shù)的定義
形如(，且)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是．
（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
8、函數(shù)的零點(diǎn)
對于一般函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．注
意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).
9、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系
函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．
10、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.
注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).
11、常見函數(shù)模型
（1）指數(shù)函數(shù)模型（且，）
（2）對數(shù)函數(shù)模型（且，）
12、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
考點(diǎn)精講講練
考點(diǎn)一：指數(shù)
【典型例題】
例題1．（2022天津）已知，，則的值為（）
A．B．2C．8D．15
例題2．（多選）（2024浙江）下列各式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
例題3．（2023山西）．
【即時(shí)演練】
1．已知，，化簡：．
2．若代數(shù)式有意義，則．
3．計(jì)算：
(1)；
(2)（，）.
考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念
【典型例題】
例題1．（2024安徽）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（）
A．B．
C．或D．，且
例題2．（2023新疆）設(shè)函數(shù)（且），滿足.
(1)求的值；
(2)若，求使不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立的的取值范圍．
例題3．（2022江蘇）已知定義在上的奇函數(shù)f（x）滿足：時(shí)，.
(1)求的表達(dá)式；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.
【即時(shí)演練】
1．已知函數(shù)（且）是奇函數(shù)，則（）
A．2B．3C．D．4
2．已知指數(shù)函數(shù)，則的值為 .
3．已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)判斷并證明的單調(diào)性；
(3)若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求的取值范圍．
考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
【典型例題】
例題1．（2024北京）在區(qū)間上，的最大值是其最小值的倍，則實(shí)數(shù)（）
A．B．C．D．
例題2．（2024云南）函數(shù)的最小值為（）
A．0B．1C．2D．3
例題3．（2024浙江）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對任意，，均有恒成立，則下列情形可能成立的是（）
A．B．C．D．
例題4．（2023海南）已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
(3)若對于任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍
例題5．（2020貴州）已知定義在上的函數(shù).
（1）寫出的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知，對所有，恒成立，求的取值范圍.
【即時(shí)演練】
1．已知，則的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
2．函數(shù)的大致圖象是（）
A．B．
C．D．
3．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為 .
4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；
(3)若對任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
5．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域．
考點(diǎn)四：對數(shù)
【典型例題】
例題1．（2024云南）已知.若，則（）
A．0B．1C．2D．3
例題2．（2024福建）若，，則等于（）
A．B．C．D．
例題3．（2024湖北）已知，則 .
例題4．（2021江蘇）計(jì)算
【即時(shí)演練】
1．計(jì)算：（）
A．8B．C．D．
2．計(jì)算： .
3．計(jì)算： .
4．計(jì)算：．
考點(diǎn)五：對數(shù)函數(shù)的概念
【典型例題】
例題1．（2024北京）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
例題2．（多選）（2024浙江）若函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．定義域?yàn)锽．值域?yàn)?br>C．圖象過定點(diǎn)D．在定義域上單調(diào)遞增
例題3．（2023云南）函數(shù)的定義域是（用區(qū)間表示）
【即時(shí)演練】
1．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．若是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
3．函數(shù)的定義域?yàn)? ．
考點(diǎn)六：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
【典型例題】
例題1．（2024北京）在下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024湖北）如圖，是函數(shù)的圖象，是由經(jīng)軸對稱變換得到的函數(shù)圖象，則對應(yīng)的函數(shù)解析式分別是（）
A．
B．
C．
D．
例題3．（2023吉林）已知，，，則（）
A．B．
C．D．
例題4．（2023遼寧）已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．求：
(1)時(shí)，的解析式；
(2)不等式的解集．
例題5．（2024湖北）已知函數(shù)，且.
(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；
(2)對給定的非零常數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【即時(shí)演練】
1．已知，，，則（）
A．B．C．D．
2．函數(shù)的大致圖象是（）
A．B．
C．D．
3．已知且，若函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo) ．
4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．
5．已知（，且），且．
(1)求a的值及的定義域；
(2)求在上的最小值．
考點(diǎn)七：不同函數(shù)增長差異
【典型例題】
例題1．（多選）已知函數(shù)，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（）
A．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于
B．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于
C．當(dāng)時(shí)，增長速度一直快于
D．當(dāng)時(shí)，增長速度有時(shí)快于
例題2．已知實(shí)數(shù)滿足.則下列關(guān)系式中可能成立的是 .（填序號(hào)）
① ② ③ ④ ⑤
【即時(shí)演練】
1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”，如圖給出了紅豆生長時(shí)間t（月）與枝數(shù)y（枝）的散點(diǎn)圖，那么最適合擬合紅豆的枝數(shù)與生長時(shí)間的關(guān)系的函數(shù)是（）

A．指數(shù)函數(shù)B．對數(shù)函數(shù)y=lg2t
C．冪函數(shù)y=t3D．二次函數(shù)y=2t2
2．（1）（2）（3）分別是與在不同范圍內(nèi)的圖象，估算出使的的取值范圍是 .（參考數(shù)據(jù)：，）

考點(diǎn)八：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解
【典型例題】
例題1．（2022河北）已知函數(shù)，若，且，則（）
A．B．C．D．或
例題2．（2024福建）已知x=1是函數(shù)的零點(diǎn)，則m為（）
A．1B．2C．3D．4
例題3．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求f1的值；
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)．
例題4．（2024福建）已知函數(shù)且．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【即時(shí)演練】
1．若為函數(shù)的零點(diǎn)，則所在區(qū)間為（）
A．B．C．D．
2．已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下部分對應(yīng)值表：
判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
3．已知函數(shù)
(1)若a=2，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
考點(diǎn)九：函數(shù)模型的應(yīng)用
【典型例題】
例題1．（2024湖北）復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息與本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息.按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為10000元，每期利率為，本利和為（單位：元），存期數(shù)為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為（）
A．B．
C．D．
例題2．（2024浙江）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表，則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是（）
A．B．
C．D．
例題3．（2023甘肅）心理學(xué)家有時(shí)間用函數(shù)測定在時(shí)間（單位：min）內(nèi)能夠記憶的量，其中表示需要記憶的量，表示記憶率.假設(shè)一個(gè)學(xué)生需要記憶的量為200個(gè)單詞，此時(shí)表示在時(shí)間內(nèi)該生能夠記憶的單詞個(gè)數(shù).已知該生在5min內(nèi)能夠記憶20個(gè)單詞，則的值約為（，）（）
A．0.021B．0.221C．0.461D．0.661
例題4．（2024廣東）某城市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用電采用階梯電價(jià)的收費(fèi)方式，即每戶用電量不超過的部分按0.6元收費(fèi)，超過的部分，按1.2元收費(fèi).設(shè)某用戶的用電量為，對應(yīng)電費(fèi)為元.
(1)請寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)某居民本月的用電量為，求此用戶本月應(yīng)繳納的電費(fèi).
【即時(shí)演練】
1．你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩，已知某種煙花距地面的高度h（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花爆裂的高度是（）
A．56.6米B．57.6米
C．58.6米D．59.6米
2．下列函數(shù)中，當(dāng)x充分大時(shí)，增長速度最快的是（）
A．B．C．D．
3．已知甲地下停車庫的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：（1）停車不超過1小時(shí)免費(fèi)；（2）超過1小時(shí)且不超過3小時(shí)，收費(fèi)5元；（3）超過3小時(shí)且不超過6小時(shí)，收費(fèi)10元；（4）超過6小時(shí)且不超過9小時(shí)，收費(fèi)15元；（5）超過9小時(shí)且不超過12小時(shí)，收費(fèi)18元；（6）超過12小時(shí)且不超過24小時(shí)，收費(fèi)24元．小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，若他在當(dāng)天18：30將車開出車庫，則他需交的停車費(fèi)為．乙地下停車庫的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每小時(shí)2元，不到1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)費(fèi)．若小林將車停入乙車庫（停車時(shí)長不超過24小時(shí)），要使得車停在乙車庫比甲車庫更優(yōu)惠，則小林停車時(shí)長的最大值為．
4．學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的研究調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽課時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)時(shí)，圖象是二次函數(shù)的一部分，頂點(diǎn)為，聽課時(shí)間為12分鐘與聽課時(shí)間為8分鐘的的注意力指數(shù)都為78，聽課時(shí)間為4分鐘的注意力指數(shù)為62；當(dāng)時(shí)，圖象是線段，其中．
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳，要使學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，教師安排核心內(nèi)容應(yīng)在什么時(shí)間段？
實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練
一、單選題
1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
2．設(shè)，下列計(jì)算中正確的是（）
A．B．
C．D．
3．已知，則.（）
A．B．
C．D．
4．已知函數(shù)，則的值為（）
A．B．0C．1D．2
5．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）
A．B．
C．D．
6．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
8．某工程需要向一個(gè)容器內(nèi)源源不斷地注入某種液體，有三種方案可以選擇，這三種方案的注入量隨時(shí)間變化如下圖所示：

橫軸為時(shí)間（單位：小時(shí)），縱軸為注入量，根據(jù)以上信息，若使注入量最多，下列說法中錯(cuò)誤的是（）
A．注入時(shí)間在小時(shí)以內(nèi)（含小時(shí)），采用方案一
B．注入時(shí)間恰為小時(shí)，不采用方案三
C．注入時(shí)間恰為小時(shí)，采用方案二
D．注入時(shí)間恰為10小時(shí)，采用方案二
二、多選題
9．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：
在下列區(qū)間中，函數(shù)必有零點(diǎn)的區(qū)間為（）
A．B．C．D．
10．下列運(yùn)算正確的有（）
A．B．
C．D．
三、填空題
11．函數(shù)的零點(diǎn)是．
12．李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元.現(xiàn)計(jì)劃在“五一”期間對商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬件）與廣告費(fèi)用（單位：萬元）符合函數(shù)模型.若要使這次促銷活動(dòng)獲利最多，則廣告費(fèi)用應(yīng)投萬元，獲得總利潤為萬元.
四、解答題
13．已知，
(1)求的值；
(2)用a，b表示.
14．計(jì)算下列各式的值：
(1)
(2)
15．已知函數(shù)（其中）
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)討論關(guān)于的不等式的解集.
16．某企業(yè)在現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本y（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式：，近年來各部門都非常重視大氣污染防治工作，為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備，每噸產(chǎn)品的除塵費(fèi)用為k萬元，引進(jìn)除塵設(shè)備后，當(dāng)日產(chǎn)量時(shí)，總成本為142萬元.
(1)求：k的值；
(2)若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為48萬元，求：引進(jìn)除塵設(shè)備后日產(chǎn)量為多少時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤最大
17．已知函數(shù)，且.
(1)求實(shí)數(shù)的值，在圖中作出的圖象（可直接作圖，不用書寫過程），并求函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26934" 明晰學(xué)考要求 PAGEREF _Tc26934 \h 1
\l "_Tc7852" 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 PAGEREF _Tc7852 \h 1
\l "_Tc6171" 考點(diǎn)精講講練 PAGEREF _Tc6171 \h 5
\l "_Tc14474" 考點(diǎn)一：指數(shù) PAGEREF _Tc14474 \h 5
\l "_Tc25204" 考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念 PAGEREF _Tc25204 \h 6
\l "_Tc28354" 考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) PAGEREF _Tc28354 \h 7
\l "_Tc26794" 考點(diǎn)四：對數(shù) PAGEREF _Tc26794 \h 9
\l "_Tc10160" 考點(diǎn)五：對數(shù)函數(shù)的概念 PAGEREF _Tc10160 \h 10
\l "_Tc2258" 考點(diǎn)六：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) PAGEREF _Tc2258 \h 10
\l "_Tc23933" 考點(diǎn)七：不同函數(shù)增長差異 PAGEREF _Tc23933 \h 12
\l "_Tc16184" 考點(diǎn)八：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解 PAGEREF _Tc16184 \h 14
\l "_Tc25347" 考點(diǎn)九：函數(shù)模型的應(yīng)用 PAGEREF _Tc25347 \h 15
\l "_Tc9247" 實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 PAGEREF _Tc9247 \h 17
底數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域?yàn)?，值域?yàn)?br>圖象過定點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，恒有；
當(dāng)時(shí)，恒有
當(dāng)時(shí)，恒有；
當(dāng)時(shí)，恒有
在定義域上為增函數(shù)
在定義域上為減函數(shù)
注意
指數(shù)函數(shù)(，且)的圖象和性質(zhì)與的取值有關(guān)，應(yīng)分與來研究
圖象
性質(zhì)
定義域：
值域：
過點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，
在上是單調(diào)增函數(shù)
在上是單調(diào)減函數(shù)
函數(shù)
性質(zhì)
在(0，＋∞)上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
先慢后快，指數(shù)爆炸
先快后慢，增長平緩
介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大，圖象與軸接近平行
隨x的增大，圖象與軸接近平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有
1
2
3
4
5
6
136.1
15.6
10.9
2
3
4
5
6
1.40
2.56
5.31
11
21.30

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