專題03 函數(shù)的概念與性質(zhì)-【備戰(zhàn)學考】2025年高中數(shù)學學業(yè)水平合格性考試總復習（全國通用，春季高考適用）-試卷下載-教習網(wǎng)

1、體會集合語言和對應關系刻畫函數(shù)的概念；
2、了解構成函數(shù)要素，能求簡單的函數(shù)定義域；
3、會根據(jù)不同的需求選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，理解函數(shù)圖象的作用；
4、了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用；
5、會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性，最大值，最小值；
6、了解奇偶性的概念；
7、了解周期性的概念
基礎知識梳理
1、函數(shù)的概念
設、是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域
與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
2、同一（相等）函數(shù)
函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關系．
同一（相等）函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
3、函數(shù)的表示
函數(shù)的三種表示法
4、函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)性的定義
一般地，設函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，；
①當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
②當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
（2）單調(diào)性簡圖：

（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）
若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
5、函數(shù)的最值
（1）設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最大值
（2）設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足
①對于任意的，都有；
②存在，使得
則為最小值
6、函數(shù)的奇偶性
7、函數(shù)對稱性
（1）軸對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則
①；
②；
③
（2）點對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則
①
②
③
（2）點對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則
①
②
③
8、冪函數(shù)定義
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．
9、五種常見冪函數(shù)
10、常見幾類函數(shù)模型
考點精講講練
考點一：函數(shù)的概念
【典型例題】
例題1．（2024福建）函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】具體函數(shù)的定義域
【分析】求已知函數(shù)解析式的函數(shù)的定義域，只需讓函數(shù)解析式有意義即可.
【詳解】由題意可得：，∴
故選：A
例題2．（2024云南）已知函數(shù)，則（）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【知識點】求函數(shù)值
【分析】由函數(shù)解析式求解．
【詳解】因為，所以，
故選：A
例題3．（2024浙江）若，，則（）
A．55B．190C．210D．231
【答案】B
【知識點】求函數(shù)值
【分析】利用賦值法分析可得，，即可得結果.
【詳解】令，則，可得；
令，則，可得；
令，則，即，
則，
可得，
所以.
故選：B.
【即時演練】
1．下列各組函數(shù)中為同一函數(shù)的是（）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【知識點】判斷兩個函數(shù)是否相等
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對應關系、值域等知識來確定正確答案.
【詳解】A選項，，所以A選項錯誤.
B選項，，，
兩個函數(shù)定義域、對應關系、值域相同，所以是同一函數(shù)，B選項正確.
C選項，對于，，解得或，
所以的定義域是，
對于，，解得，
所以的定義域是，所以C選項錯誤.
D選項，的定義域是，
的定義域是，所以D選項錯誤.
故選：B
2．函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】具體函數(shù)的定義域
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求定義域即可.
【詳解】由題可得，解得且.
所以的定義域為.
故選：B.
3．已知函數(shù)滿足，則（）
A．-2B．1C．4D．7
【答案】C
【知識點】求函數(shù)值
【分析】根據(jù)給定條件，令，即取代入計算即得.
【詳解】函數(shù)滿足，當，即時，.
故選：C
考點二：函數(shù)的表示
【典型例題】
例題1．（2024安徽）已知函數(shù)，則（）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值
【分析】根據(jù)題意，結合分段函數(shù)的解析式，代入準確運算，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，則.
故選：D.
例題2．（2024浙江）已知函數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)），則 .
【答案】3
【知識點】函數(shù)新定義
【分析】根據(jù)定義直接求解即可.
【詳解】由題意.
故答案為：.
例題3．（2024江蘇）已知函數(shù)滿足，且，則．
【答案】或2021.
【知識點】求函數(shù)值、已知f（g（x））求解析式
【分析】，通過賦值法，求出t的值，進而得到，再求解即可.
【詳解】令，則，
令，則，解得或.
而，故.因此.
則，
即，
因此或
當時，，時，此時；
當時，.
故答案為：或2021.
【即時演練】
1．函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的值域或最值
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段求解，取并集即可.
【詳解】當時，，
當時，，
當時，，
所以時，的值域為，
故選：D
2．若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）

A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】求函數(shù)值、二次函數(shù)的圖象分析與判斷、函數(shù)圖象的應用
【分析】利用函數(shù)圖象求得函數(shù)定義域，利用函數(shù)值可得出其解析式，代入計算即求得函數(shù)值.
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知和不在函數(shù)的定義域內(nèi)，
因此和是方程的兩根，因此可得，
又易知，所以可得；
即，所以.
故選：D
3．已知函數(shù)，且，則（）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【知識點】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段討論得到方程（不等式）組，解得即可.
【詳解】因為，且，
則或，解得.
故選：C
考點三：函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?br>【典型例題】
例題1．（2023新疆）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍
【分析】先分析的對稱軸，然后根據(jù)在上的單調(diào)性得到關于的不等式，由此求解出結果.
【詳解】因為的對稱軸為，且在上是減函數(shù)，
所以，所以，
故選：A.
例題2．（2024北京）已知則；的最大值為．
【答案】 1 2
【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)的值域或最值
【分析】第一空直接代入即可，第二空分別計算兩段的最大值，比較即可求解.
【詳解】由解析式可知：，
當，易知，
當，，當時，取最大值2，
所以的最大值為2，
故答案為：1，2
例題3．（2023吉林）已知函數(shù)．
(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）任取，作差，分析每一個因式的正負，進而得到，可判斷單調(diào)性；
（2）根據(jù)第一問得到的函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可列式，解不等式即可得到答案.
【詳解】（1）任取，
則，
因為，則，，，
則，故在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）得，在上單調(diào)遞減，
所以，，解得，
所以，即所求范圍是.
【即時演練】
1．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍
【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.
【詳解】函數(shù)的圖象對稱軸為，
由函數(shù)在區(qū)間0,1上是單調(diào)函數(shù)，得或，解得或，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選：C
2．若在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性結合一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.
【詳解】由題意可得：，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
3．已知函數(shù)
(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
(2)當，求函數(shù)的值域.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域
【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即得；
（2）利用已證的函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.
【詳解】（1）任取，且，
由，
因，故，，故，
即函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
（2）由（1）已證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故在上也是增函數(shù)，
則，即，故函數(shù)的值域為.
考點四：函數(shù)的奇偶性
【典型例題】
例題1．（2024安徽）已知函數(shù)，若的圖象關于原點對稱，則實數(shù) .
【答案】
【知識點】函數(shù)對稱性的應用、由奇偶性求參數(shù)
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，令，即可得到答案.
【詳解】∵函數(shù)的圖象關于原點對稱,
∴fx為奇函數(shù),
∴，
∴a=-1，經(jīng)驗證滿足題設.
故答案為：
例題2．（2024福建）已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由
(2)當時，恒成立，求k的取值范圍.
【答案】(1)奇函數(shù)，理由見解析
(2)
【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷；
（2）由題意可得當時，恒成立，結合基本不等式求出的最小值，即可得答案.
【詳解】（1）的定義域為R，且滿足，
故為奇函數(shù)；
（2）當時，恒成立，即，
即恒成立，
又，當且僅當，即時取等號，
故.
例題3．（2024安徽）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且
(1)求的值；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明；
(3)若函數(shù)滿足不等式，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增，證明見解析
(3)
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)
【分析】（1）利用和可求得，檢驗可知滿足題意；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可;
（3）利用單調(diào)性及定義域列出不等式即可
【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，
則，解得，
所以函數(shù)，
檢驗：，故函數(shù)為奇函數(shù)，
所以；
（2）在上單調(diào)遞增．
證明如下：對于任意，且，
則，
由，得，
又，
所以，即，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（3）不等式，
是增函數(shù)，且，所以，解得，
所以t的取值范圍是
【即時演練】
1．已知為定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則（）
A．－2B．－1C．1D．1
【答案】C
【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再求出即可得解.
【詳解】因為為定義在R上的奇函數(shù)，
所以得，
所以，故，
則，
故選：C．
2．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù) ．
【答案】
【知識點】由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義求解即得.
【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，得，
當時，，，
而當時，，則，即，
當時，，，符合題意，
所以.
故答案為：3
3．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當時，.
(1)求函數(shù)的解析式，并畫出具體函數(shù)圖象；
(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)，圖象見解析；
(2).
【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、畫出具體函數(shù)圖象、由函數(shù)奇偶性解不等式
【分析】（1）根據(jù)題意結合偶函數(shù)的定義，求出時，函數(shù)的解析式，結合二次函數(shù)及偶函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象以及奇偶性分析函數(shù)的單調(diào)性，結合單調(diào)性和對稱性可得，運算求解即可.
【詳解】（1）當時，則，
由題意可得：，
因為函數(shù)是上的偶函數(shù),所以f-x=fx，
所以，
所以函數(shù)的解析式為，
結合二次函數(shù)知識易畫出圖象如圖所示：
（2）結合該函數(shù)的圖象可知：在上單調(diào)遞減,在0,+∞上單調(diào)遞增.
又因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，
所以，
整理可得: ，解得：.
故實數(shù)m的取值范圍為0,2.
考點五：冪函數(shù)
【典型例題】
例題1．（2024湖南）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（）
A．2B．C．D．
【答案】A
【知識點】求冪函數(shù)的解析式
【分析】將點的坐標代入函數(shù)解析式即可求得.
【詳解】將代入得：，解得：.
故選：A
例題2．（2023江蘇）已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為（）
A．B．C．3D．1
【答案】A
【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，求得或，結合冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，可得，
即，解得或，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意.
故選：A.
例題3．（2023寧夏）已知冪函數(shù)的圖象過點，則
【答案】2
【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值
【分析】將點代入函數(shù)，即可求解.
【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過點，
所以，解得.
故答案為：2.
【即時演練】
1．已知冪函數(shù)的圖象關于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)的取值范圍為（）
A．0,2B．C．D．
【答案】C
【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的知識求得，由此化簡不等式并求得不等式的解，從而求得的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或.
當時，是偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，與已知矛盾；
當時，是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，于是得，
不等式化為，
即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：C
2．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為 .
【答案】
【知識點】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】先根據(jù)冪函數(shù)定義確定的可取值，再根據(jù)單調(diào)性確定出的值.
【詳解】因為為冪函數(shù)，所以，所以，
當時，，在上單調(diào)遞增，不符合；
當時，，在上單調(diào)遞減，符合；
故答案為：.
3．已知冪函數(shù)圖象經(jīng)過點，若，則實數(shù)的取值范圍是；若，則
【答案】
【知識點】求冪函數(shù)的解析式、基本（均值）不等式的應用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】由條件先求，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式求，根據(jù)基本不等式判斷與的大小.
【詳解】因為函數(shù)圖象經(jīng)過點，
所以，
所以，故，
函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以可化為，
所以，即的取值范圍是；
因為，，
所以
所以，
所以，
即.
故答案為：，.
考點六：函數(shù)的應用（一）
【典型例題】
例題1．（2024浙江）有一支隊伍長，以的速度前行，傳令員傳令需要從排尾跑到排頭，再立即返回排尾，速度為，若傳令員回到排尾時，隊伍正好前進了，則（）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【知識點】分式型函數(shù)模型的應用
【分析】計算隊伍前進的總時間，傳令兵從排頭到排尾的時間及從排尾到排頭的時間，根據(jù)傳令兵往返總時間與隊伍前進時間相等即可求解.
【詳解】設總時間為，傳令員從排頭到排尾所用時間為，從排尾到排頭所用時間為，
所以，所以，
解得，即，
所以.
故選：C.
例題2．（2022浙江）某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元．設為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和，那么使達到最小值的隔熱層的厚度h＝厘米．
【答案】
【知識點】基本不等式求和的最小值
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)，利用基本不等式求解.
【詳解】由題意及，可得，即，
∴．
隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和（萬元），
當且僅當，即（厘米）時達到最小值．
故答案為: .
例題3．（2023安徽）如圖，某小區(qū)要在一個直角邊長為的等腰直角三角形空地上修建一個矩形花園．記空地為，花園為矩形．根據(jù)規(guī)劃需要，花園的頂點在三角形的斜邊上，邊在三角形的直角邊上，頂點到點的距離是頂點到點的距離的2倍．
(1)設花園的面積為（單位：），的長為（單位：），寫出關于的函數(shù)解析式；
(2)當?shù)拈L為多少時，花園的面積最大？并求出這個最大面積．
【答案】(1)
(2)當?shù)拈L為5m時，花園的面積最大，最大面積為150.
【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應用、基本不等式求積的最大值
【分析】（1）根據(jù)矩形面積即可求解，
（2）根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】（1）則，，
所以
（2），
當且僅當，即時等號成立，
故當?shù)拈L為5m時，花園的面積最大，最大面積為150.
【即時演練】
1．近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國落地生根，并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)濟，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒年（為正整數(shù)）所用的各種費用總計為萬元.
(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？
(2)該公司第幾年年平均利潤最大，最大是多少？
【答案】(1)第3年
(2)第7年平均利潤最大，為12萬元
【知識點】基本（均值）不等式的應用、利用二次函數(shù)模型解決實際問題
【分析】（1）先求得利潤的表達式，由此列不等式來求得正確答案.
（2）先求得平均利潤的表達式，然后利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】（1）設利潤為，則，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第3年首次盈利.
（2）首先，
由（1）得平均利潤萬元，
當且僅當，萬元時等號成立，
綜上，第7年，平均利潤最大，為12萬元.
2．遼陽大果榛子外形美觀、果大皮薄，深受消費者歡迎.某遼陽大果榛子網(wǎng)店為回饋新老顧客，提供兩種購買大果榛子的優(yōu)惠方案：第一種方案，每斤的售價為24元，顧客買x（）斤，每斤的售價降低x元；第二種方案，顧客買x（）斤，每斤的售價為元．已知每位顧客限購9斤大果榛子.設一名顧客按照第一種方案購買大果榛子的付款額為fx元，按照第二種方案購買大果榛子的付款額為元．
(1)分別求函數(shù)fx，的解析式；
(2)已知顧客甲、乙在這家網(wǎng)店均選擇了更經(jīng)濟實惠的方案購買大果榛子，甲、乙的付款總額為135元，且甲購買了5斤大果榛子，試問乙購買了多少斤大果榛子？
【答案】(1)，；，.
(2)乙購買了2斤大果榛子
【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題
【分析】（1）根據(jù)題意，寫出函數(shù)fx,gx的解析式；
（2）先求出，確定甲選擇方案二購買，花費91元，得到乙花費44元，再分別討論按照方案一和方案二乙可以購買的大果榛子斤數(shù)，得到答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意，，，
，.
（2）由（1），，，所以，則甲選擇方案二購買，花費91元，
則乙花費元，
若乙按照方案一購買，則，解得或，又，
，即乙可以購買2斤大果榛子，
若乙按照方案二購買，則，解得，
所以乙應該按照方案一購買，乙購買2斤大果榛子.
3．學習機是一種電子教學類產(chǎn)品，也統(tǒng)指對學習有輔助作用的所有電子教育器材．學習機較其他移動終端更注重學習資源和教學策略的應用，課堂同步輔導?全科輔學功能?多國語言學習?標準專業(yè)詞典以及內(nèi)存自由擴充等功能成為學習機的主流競爭手段，越來越多的學習機產(chǎn)品全面兼容網(wǎng)絡學習?情境學習?隨身學習機外教?單詞聯(lián)想記憶?同步教材講解?互動全真題庫?權威詞典?在線圖書館等多種模式，以及大內(nèi)存和SD/MMC卡內(nèi)存自由擴充功能根據(jù)市場調(diào)查．某學習機公司生產(chǎn)學習機的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元．設該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元；當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元．
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；
(2)當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款學習機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
【答案】(1)
(2)當時，取得最大值為3680萬元
【知識點】分段函數(shù)模型的應用、基本（均值）不等式的應用、求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)的值域或最值
【分析】（1）根據(jù)題意求出，分別求出當時和當時的年利潤，即可求解；
（2）分類討論，當時根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，當時，根據(jù)基本不等式求出最大值，綜合分析即可求解．
【詳解】（1）因為當生產(chǎn)該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元，
所以，解得，
當該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元，
所以，解得，
當時，，
當時，，
綜上．
（2）①當時，單調(diào)遞增，所以；
②當時，，
由于，
當且僅當，即時取等號，
所以此時的最大值為，
綜合①②知，當時，取得最大值為3680萬元．
戰(zhàn)能力訓練
一、單選題
1．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】具體函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的定義域
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)與具體函數(shù)定義域的求法列式計算即可.
【詳解】根據(jù)題意得解得且.
故選：.
2．下列選項中與是同一函數(shù)的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知識點】具體函數(shù)的定義域、判斷兩個函數(shù)是否相等
【分析】根據(jù)同一函數(shù)的概念，即可判斷.
【詳解】對于A，因為的定義域為，而的定義域為，二者定義域不同，所以與不是同一函數(shù).
對于B，因為的定義域為，而的定義域為，二者定義域不同，所以與不是同一函數(shù).
對于C，因為與的定義域相同，對應關系也相同，所以與是同一函數(shù).
對于D，因為與的定義域相同，但是對應關系不相同，，所以與不是同一函數(shù).
故選：C.
3．已知，則（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【知識點】求函數(shù)值
【分析】結合換元思想，令即可代入求解.
【詳解】令，則.
故選：A
4．已知點在冪函數(shù)的圖象上，則（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【知識點】求冪函數(shù)的解析式、根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值
【分析】直接由冪函數(shù)的定義列方程組即可求解.
【詳解】由題意.
故選：C.
5．函數(shù)的圖象是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】函數(shù)圖像的識別
【分析】將函數(shù)分段表示出，再直接判斷即可.
【詳解】依題意，，因此函數(shù)的圖象為選項D.
故選：D
6．函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸列不等式即可得解.
【詳解】由二次函數(shù)性質(zhì)可知，要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，
只需，解得，即的取值范圍為.
故選：B
7．若函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，f3=0，則不等式的解集為（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用特殊函數(shù)法判斷即可．
【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且f3=0，
所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞減．
由此畫出滿足條件的一個函數(shù)的圖象，如圖所示，

由圖可知，的解集是，
故選：B．
8．已知函數(shù)滿足對任意的，恒成立，則函數(shù)的值域是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】常見（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)值域、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)單調(diào)性定義易知在定義域上遞增，進而列不等式求參數(shù)范圍，最后由的區(qū)間單調(diào)性求值域.
【詳解】由題設在定義域上遞增，所以，
而在上遞增，故其值域是.
故選：A
二、多選題
9．如圖是函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）
A．在上單調(diào)遞減
B．在上單調(diào)遞增
C．在區(qū)間上的最大值為3，最小值為
D．在上有最大值3，有最小值
【答案】BD
【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)圖象的應用
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結果．
【詳解】對于A，B選項，由函數(shù)圖象可得，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤，B正確；
對于C選項，由圖象可得，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，無最小值，故C錯誤；
對于D選項，由圖象可得，函數(shù)在上有最大值，有最小值，故D正確；
故選：BD．
10．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性
【分析】通過判斷具體函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.
【詳解】A.（），則，
因為，故函數(shù)不是奇函數(shù)，錯誤；
B. （），，函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，錯誤；
C. （），函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)為減函數(shù)，正確；
D. ，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，
又，如圖：
根據(jù)圖象函數(shù)為減函數(shù)，正確.
故選：CD
三、填空題
11．已知函數(shù)的定義域為，且自變量與函數(shù)值的關系對應如表：
（1）；（2）不等式的解集為．
【答案】 2
【知識點】求函數(shù)值、列表法表示函數(shù)
【分析】利用給定的對應數(shù)據(jù)，求出及不等式的解集.
【詳解】（1）依題意，；
（2）依題意，，而，
所以不等式的解集為.
故答案為：2；
12．若函數(shù)，，若的最小值為2，則
【答案】2
【知識點】根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)最小值求出a.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則的最小值為.
故答案為：2
四、解答題
13．已知關于x的不等式的解集為或.
(1)求a、b的值；
(2)若函數(shù)，求值域.
【答案】(1)，；
(2).
【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、由一元二次不等式的解確定參數(shù)
【分析】（1）由不等式的解集知的兩個根，根據(jù)方程根的定義或韋達定理便可得到a、b的值.
（2）先將函數(shù)化為頂點式，確定拋物線的開口方向和對稱軸，再根據(jù)給定區(qū)間找出函數(shù)的最大值和最小值，從而確定值域.
【詳解】（1）∵的解集為或，
∴的根為，，
，
∴，.
（2）由（1）知，，
拋物線開口向上，對稱軸為.
∵，∴；
又，∴.
∴函數(shù)的值域為.
14．已知，．
(1)求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域
【分析】（1）用單調(diào)性的定義證明即可.
（2）由在區(qū)間上的單調(diào)性易得值域.
【詳解】（1）令，則
，
又，，，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.
15．已知

(1)將寫出分段函數(shù)的形式；
(2)畫出的圖象，寫出的單調(diào)增區(qū)間；
【答案】(1)
(2)圖象見解析，單調(diào)增區(qū)間為和
【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、畫出具體函數(shù)圖象
【分析】（1）根據(jù)絕對值函數(shù)去掉絕對值即可得分段函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象作圖即得分段函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象寫出單調(diào)增區(qū)間即可.
【詳解】（1）由，當時，，
當時，，
故；
（2）函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.

16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；
(3)解不等式.
【答案】(1)，.
(2)函數(shù)在上為減函數(shù)；證明見解析
(3).
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，即可求得解析式；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）由前兩問可得函數(shù)的單調(diào)性，結合已知條件的奇偶性，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式.
【詳解】（1））函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，
解得：，
∴，而，解得，
∴，.
（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：
任意且，
則，
因為，所以，，
所以，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).
（3）由題意，不等式可化為，
所以，解得，所以該不等式的解集為.
17．最近南京某地登革熱病例快速增長，登革熱是一種由登革病毒引起的急性蟲媒傳染病，主要通過埃及伊蚊和白紋伊蚊傳播，為了阻斷傳染源，南京衛(wèi)建委在全市范圍內(nèi)組織了蚊蟲消殺工作．某工廠針對市場需求開始生產(chǎn)蚊蟲消殺工具，經(jīng)過研究判斷生產(chǎn)該工具的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)萬件，需另外投入成本（萬元），，每件工具售價為50元，經(jīng)過市場調(diào)研該廠年內(nèi)生產(chǎn)的工具能全部銷售完．
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；
(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠在這一工具的生產(chǎn)中所獲利潤最大？
【答案】(1)
(2)90萬件
【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)模型的應用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應用
【分析】（1）分和兩種情況，由題意得到函數(shù)解析式；
（2）分和兩種情況，由函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求出最大值，比較后得到答案.
【詳解】（1）當時，
，
當時，
，
故
（2）時，，
當時，取得最大值，
當時，，
當且僅當即時取到等號，
，
時，取得最大值，
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10979" 明晰學考要求 PAGEREF _Tc10979 \h 1
\l "_Tc16030" 基礎知識梳理 PAGEREF _Tc16030 \h 1
\l "_Tc31673" 考點精講講練 PAGEREF _Tc31673 \h 4
\l "_Tc27697" 考點一：函數(shù)的概念 PAGEREF _Tc27697 \h 4
\l "_Tc12633" 考點二：函數(shù)的表示 PAGEREF _Tc12633 \h 7
\l "_Tc13410" 考點三：函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?PAGEREF _Tc13410 \h 9
\l "_Tc12599" 考點四：函數(shù)的奇偶性 PAGEREF _Tc12599 \h 12
\l "_Tc28830" 考點五：冪函數(shù) PAGEREF _Tc28830 \h 16
\l "_Tc31145" 考點六：函數(shù)的應用（一） PAGEREF _Tc31145 \h 19
實 \l "_Tc3577" 戰(zhàn)能力訓練 PAGEREF _Tc3577 \h 23
解析法（最常用）
圖象法（解題助手）
列表法
就是把變量，之間的關系用一個關系式來表示，通過關系式可以由的值求出的值.
就是把，之間的關系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應的變量，的值.
就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關系.
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)
圖象關于軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
圖象關于原點對稱
函數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
(，為常數(shù)，)
二次函數(shù)模型
(，，為常數(shù)，)
分段函數(shù)模型
冪函數(shù)模型
(，，為常數(shù)，)
1
2
3
4
3
2
1
2

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