2025年高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)第19題新定義壓軸題講義專題06 高等解析幾何背景新定義（七大題型）（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：特殊空間幾何體新定義
題型二：空間斜坐標(biāo)系新定義
題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義
題型四：空間直線方程
題型五：空間平面方程
題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義
題型七：解析幾何概念新定義
【方法技巧與總結(jié)】
空間立體幾何與解析幾何新定義試題呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)通常為“給出圖形的新定義—探索圖形的新性質(zhì)—運(yùn)用圖形的新性質(zhì)解決問題”，設(shè)問的層次通常為從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般．理解概念重要的不僅是概念如何定義，而且是概念能夠引出哪些性質(zhì)(具有哪些表征)；研究圖形重要的不僅是發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論，而且是采用了怎樣的思想方法．這正是數(shù)學(xué)課程性質(zhì)中的抽象結(jié)構(gòu)思想和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中的核心素養(yǎng)導(dǎo)向的體現(xiàn)．
【典型例題】
題型一：特殊幾何體新定義
【典例1-1】(2024·高三·河北·階段練習(xí))已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定義一種運(yùn)算： SKIPIF 1 < 0 ，在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)證明：平行六面體 SKIPIF 1 < 0 是直四棱柱；
(2)計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 ，并求該平行六面體的體積，說明 SKIPIF 1 < 0 的值與平行六面體 SKIPIF 1 < 0 體積的關(guān)系.
【典例1-2】(2024·高二·上海徐匯·期中)設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ，2，…，k， SKIPIF 1 < 0 )為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 ，…，平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD為菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；
(2)若直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 在點(diǎn)A處的離散曲率為x，直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 體積為 SKIPIF 1 < 0 ，求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的解析式及單調(diào)區(qū)間．
【變式1-1】(2024·遼寧沈陽·二模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再分別以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為軸將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別向上翻轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)重合為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所圍成的曲頂多面體(下底面開口)，如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于 SKIPIF 1 < 0 減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和(多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示).例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是 SKIPIF 1 < 0 ，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；
(2)若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，設(shè) SKIPIF 1 < 0
(i)用 SKIPIF 1 < 0 表示蜂房(圖2右側(cè)多面體)的表面積 SKIPIF 1 < 0 ；
(ii)當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的曲率的余弦值.
題型二：斜坐標(biāo)系新定義
【典例2-1】(2024·高二·湖北·階段練習(xí))空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為 SKIPIF 1 < 0 ，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)系”下向量的斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)： SKIPIF 1 < 0 分別為“斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸( SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸， SKIPIF 1 < 0 軸)正方向上的單位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 一一對(duì)應(yīng)，稱向量 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，記作 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)；
(2)在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，建立“空間斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)系”如下圖所示．

①若 SKIPIF 1 < 0 ，求向量 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2-2】(2024·高二·四川綿陽·階段練習(xí))空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)： SKIPIF 1 < 0 分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸( SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸? SKIPIF 1 < 0 軸)正方向的單位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 相對(duì)應(yīng)，稱向量 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，記作 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，N為線段D1C1的中點(diǎn)．如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．
①求 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐標(biāo)；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值．
【變式2-1】(2024·高二·山東濰坊·期中)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為 SKIPIF 1 < 0 ，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)系”下向量的斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)： SKIPIF 1 < 0 分別為“斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸( SKIPIF 1 < 0 軸? SKIPIF 1 < 0 軸? SKIPIF 1 < 0 軸)正方向的單位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 < 0 相對(duì)應(yīng)，稱向量 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，記作 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)；
(2)在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0
【變式2-2】(2024·高二·江蘇常州·期中)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)： SKIPIF 1 < 0 分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸(x軸?y軸?z軸)正方向的單位向量，若向量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)相對(duì)應(yīng)，稱向量 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，AB=AD=2，AA1=3， SKIPIF 1 < 0 ，如圖，以 SKIPIF 1 < 0 為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求向量 SKIPIF 1 < 0 的斜 SKIPIF 1 < 0 坐標(biāo)；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義
【典例3-1】(2024·高二·北京·期中)“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段 SKIPIF 1 < 0 是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用 SKIPIF 1 < 0 表示，又稱“曼哈頓距離”，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
(1)①點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
(2)已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 ，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；
(3)設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．
【典例3-2】(2024·高三·上海青浦·開學(xué)考試)我們稱點(diǎn)P到圖形C上任意一點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)P到圖形C的距離，記作 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到拋物線 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 是長(zhǎng)為2的線段，求點(diǎn)集 SKIPIF 1 < 0 所表示圖形的面積.
【變式3-1】(2024·江蘇南通·二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ： SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，直線l與Γ相切，與圓O： SKIPIF 1 < 0 相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l垂直于x軸時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求Γ的方程；
(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
(ⅰ)若M，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的面積最大時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均存在，記兩者中的較大者為 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均存在，證明： SKIPIF 1 < 0 .
【變式3-2】(2024·高二·山東青島·期中)中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對(duì)稱精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國(guó)人喜愛. 它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結(jié)”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的伯努利雙紐線. 在 SKIPIF 1 < 0 平面上，我們把與定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 距離之積等于 SKIPIF 1 < 0 的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為該曲線的兩個(gè)焦點(diǎn). 數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究. 已知曲線 SKIPIF 1 < 0 是一條伯努利雙紐線.
(1)求曲線C的焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
(2)試判斷曲線C上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，使得以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O.如果存在，求出A，B坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式3-3】(2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，對(duì)于直線 SKIPIF 1 < 0 和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 被直線l分離，若曲線c與直線l沒有公共點(diǎn)，且曲線c上存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 被直線l分隔，則稱直線l為曲線c的一條分隔線．
(1)求證：點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 被直線 SKIPIF 1 < 0 分隔；
(2)若直線 SKIPIF 1 < 0 是曲線 SKIPIF 1 < 0 的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(3)動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，求證：通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．
題型四：空間直線方程
【典例4-1】(2024·高二·寧夏銀川·期中)在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積
(2)用求軌跡方程的思想方法，試求在空間直角坐標(biāo)系中，以 SKIPIF 1 < 0 為方向向量，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線方程
【典例4-2】(2024·高二·浙江臺(tái)州·期末)我們知道，在平面中，給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線．如點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線l上， SKIPIF 1 < 0 為直線l的一個(gè)方向向量，則直線l上任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足： SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)可得 SKIPIF 1 < 0 ，即為直線l的方程．類似地，在空間中，給定一點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量可以唯一確定一個(gè)平面．
(1)若在空間直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)利用平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量求出平面 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)試寫出平面 SKIPIF 1 < 0 (A，B，C不同時(shí)為0)的一個(gè)法向量(無需證明)，并證明點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ．
題型五：空間平面方程
【典例5-1】(2024·高二·上海楊浦·期中)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們知道ax＋by＋c＝0(a、b不全為0)是直線的一般式方程．而在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們稱ax＋by＋cz＋d＝0(a、b、c不全為0)為平面的一般式方程．
(1)求由點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 確定的平面的一般式方程；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 為平面ax＋by＋cz＋d＝0(a、b、c不全為0)的一個(gè)法向量；
(3)若平面 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程為ax＋by＋cz＋d＝0(a、b、c不全為0)， SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 外一點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離．
【典例5-2】(2024·高二·湖南·課時(shí)練習(xí))閱讀“多知道一點(diǎn)：平面方程”，并解答下列問題：
(1)建立空間直角坐標(biāo)系，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)，而 SKIPIF 1 < 0 是空間任意一點(diǎn)，求A，B，C，P四點(diǎn)共面的充要條件．
(2)試求過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平面ABC的方程，其中a，b，c都不等于0．
(3)已知平面 SKIPIF 1 < 0 有法向量 SKIPIF 1 < 0 ，并且經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(4)已知平面 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量．
(5)①求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離；
②求證：點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，并將這個(gè)公式與“平面解析幾何初步”中介紹的點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行比較．
題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義
【典例6-1】(2024·高三·浙江寧波·期末)已知橢圓C： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )的左、右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在x軸上方)， SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為8．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面(平面 SKIPIF 1 < 0 )與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面(平面 SKIPIF 1 < 0 )互相垂直．
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積，
②若 SKIPIF 1 < 0 ，異面直線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
③是否存在 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，使得 SKIPIF 1 < 0 折疊后的周長(zhǎng)為與折疊前的周長(zhǎng)之比為 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【典例6-2】(2024·高二·山東青島·階段練習(xí))學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描的重要一步.如圖所示，這是一個(gè)用來練習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描的石膏幾何體，它是由一個(gè)圓柱 SKIPIF 1 < 0 和一個(gè)正三棱錐 SKIPIF 1 < 0 穿插而成的對(duì)稱組合體.棱 SKIPIF 1 < 0 和面 SKIPIF 1 < 0 與圓柱側(cè)而相切，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 與圓柱側(cè)而的切點(diǎn).直線 SKIPIF 1 < 0 分別與面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，圓柱 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 上分別截得橢圓 SKIPIF 1 < 0 .在平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 中，橢圓 SKIPIF 1 < 0 上分別有兩組不重合的兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 (圖中未畫出).且滿足關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 .已知三棱錐 SKIPIF 1 < 0 的外接球表面積為 SKIPIF 1 < 0 ，圓柱的底面直徑為 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)問平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 上是否分別存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得對(duì)于滿足 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 分別恒過定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .若存在，試求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 夾角的余弦值：若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式6-1】(2024·高三·浙江杭州·階段練習(xí))如圖， SKIPIF 1 < 0 為圓柱 SKIPIF 1 < 0 的一條母線，且 SKIPIF 1 < 0 .過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且不與圓柱底面平行的平面 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，軸 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 截圓柱的側(cè)面得到一條閉合截線，截線與平面 SKIPIF 1 < 0 的另一交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 .已知該截線為一橢圓，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分別為其長(zhǎng)軸和短軸， SKIPIF 1 < 0 為其中心. SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 在上底面內(nèi)的射影.記橢圓的離心率為 SKIPIF 1 < 0 .

(1)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求直線 SKIPIF 1 < 0 與平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值.
【變式6-2】(2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè))已知頂點(diǎn)為S的圓錐面(以下簡(jiǎn)稱圓錐S)與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角(圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b， SKIPIF 1 < 0 關(guān)系式；
(2)求證：曲線C是拋物線．
題型七：解析幾何概念新定義
【典例7-1】(2024·新疆烏魯木齊·二模)在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，重新定義兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 之間的“距離”為 SKIPIF 1 < 0 ，我們把到兩定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的“距離”之和為常數(shù) SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．
(1)求“橢圓”的方程；
(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說明理由；
(3)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為 SKIPIF 1 < 0 的左頂點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作直線交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的外心為 SKIPIF 1 < 0 ，求證：直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積為定值．
【典例7-2】(2024·湖南·二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如 SKIPIF 1 < 0 表示過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓 SKIPIF 1 < 0 是直線族 SKIPIF 1 < 0 的包絡(luò)曲線，求 SKIPIF 1 < 0 滿足的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 不在直線族： SKIPIF 1 < 0 的任意一條直線上，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍和直線族 SKIPIF 1 < 0 的包絡(luò)曲線 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)在(2)的條件下，過曲線 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)作曲線 SKIPIF 1 < 0 的切線 SKIPIF 1 < 0 ，其交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 .已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)不共線，探究 SKIPIF 1 < 0 是否成立？請(qǐng)說明理由.
【過關(guān)測(cè)試】
1．(2024·高三·江蘇·開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，若在曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 (λ為非零的正實(shí)數(shù))代替 SKIPIF 1 < 0 得到曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，則稱曲線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換 SKIPIF 1 < 0 稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比.
(1)已知曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，伸縮比 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后所得曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)射線l的方程 SKIPIF 1 < 0 ，如果橢圓 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，若射線l與橢圓 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別交于兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)對(duì)拋物線 SKIPIF 1 < 0 ，作變換 SKIPIF 1 < 0 ，得拋物線 SKIPIF 1 < 0 ；對(duì) SKIPIF 1 < 0 作變換 SKIPIF 1 < 0 ，得拋物線 SKIPIF 1 < 0 ；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線 SKIPIF 1 < 0 作變換 SKIPIF 1 < 0 ，得拋物線 SKIPIF 1 < 0 ，…．若 SKIPIF 1 < 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 < 0 .
2．(2024·高二·貴州貴陽·期末)閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 的距離和它到定直線 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )的距離之比是常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)可得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則得到方程 SKIPIF 1 < 0 ，所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡是一個(gè)橢圓，這是從另一個(gè)角度給出了橢圓的定義.這里定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 稱為相應(yīng)于焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的準(zhǔn)線；定點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，直線 SKIPIF 1 < 0 稱為相應(yīng)于焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的準(zhǔn)線.
根據(jù)橢圓的這個(gè)定義，我們可以把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到準(zhǔn)線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，我們把這個(gè)公式稱為橢圓的焦半徑公式.
結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：
已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是該橢圓上第一象限的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 軸，若直線 SKIPIF 1 < 0 是橢圓右準(zhǔn)線方程，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為8.
(1)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 也在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 的重心為 SKIPIF 1 < 0 ，判斷 SKIPIF 1 < 0 是否能構(gòu)成等差數(shù)列？如果能，求出該等差數(shù)列的公差，如果不能，說明理由.
3．(2024·高三·上海黃浦·開學(xué)考試)定義：若橢圓 SKIPIF 1 < 0 上的兩個(gè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則稱 SKIPIF 1 < 0 為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作 SKIPIF 1 < 0 .已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，且橢圓 SKIPIF 1 < 0 過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 .
(1)求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求“共軛點(diǎn)對(duì)” SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所在直線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)設(shè) SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，(2)中的直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上逆時(shí)針排列.證明：四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積小于 SKIPIF 1 < 0 .
4．(2024·高三·貴州·開學(xué)考試)定義：若橢圓 SKIPIF 1 < 0 上的兩個(gè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則稱A，B為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作 SKIPIF 1 < 0 ．已知橢圓C： SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求“共軛點(diǎn)對(duì)” SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)B所在直線l的方程．
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，(1)中的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
①求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)；
②設(shè)四點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，P， SKIPIF 1 < 0 ，Q在橢圓C上逆時(shí)針排列，證明：四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積小于 SKIPIF 1 < 0 ．
5．(2024·高二·湖南·階段練習(xí))已知曲線 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 變化時(shí)得到一系列的橢圓，我們把它稱為“ SKIPIF 1 < 0 橢圓群”．
(1)求“2-1橢圓群”中橢圓的離心率；
(2)若“ SKIPIF 1 < 0 橢圓群”中的兩個(gè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng)的t分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則稱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為“和諧橢圓對(duì)”．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為“和諧橢圓對(duì)”，P是 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 的切線交 SKIPIF 1 < 0 于A、B兩點(diǎn)，Q為 SKIPIF 1 < 0 上異于A、B的任意一點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，問： SKIPIF 1 < 0 是否為定值？若為定值，求出該定值；否則，說明理由．
6．(2024·高三·上海虹口·階段練習(xí))已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.
(1)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的焦距為2，l過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求l的方程；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，l與 SKIPIF 1 < 0 交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為 SKIPIF 1 < 0 的上頂點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值；
(3)設(shè) SKIPIF 1 < 0 是l的一個(gè)法向量，M是l上一點(diǎn)，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)N，定義 SKIPIF 1 < 0 .用a、b、k、m表示 SKIPIF 1 < 0 ，并利用 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大小關(guān)系，提出一個(gè)關(guān)于l與 SKIPIF 1 < 0 位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.
7．(2024·高二·上海青浦·期末)在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，對(duì)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、直線 SKIPIF 1 < 0 ，我們稱 SKIPIF 1 < 0 為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的方向距離.
(1)設(shè)雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向距離分別為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、到直線 SKIPIF 1 < 0 的方向距離分別為 SKIPIF 1 < 0 ，試問是否存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立？說明理由；
(3)已知直線 SKIPIF 1 < 0 和橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)橢圓 SKIPIF 1 < 0 的兩個(gè)焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的方向距離分別為 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸的交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 、與 SKIPIF 1 < 0 軸的交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，試比較 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)與 SKIPIF 1 < 0 的大小.
8．(2024·高二·北京·期中)已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，定義 SKIPIF 1 < 0 上兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 .
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，以下命題正確的有__________(不需證明)：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
②在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
③在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，證明 SKIPIF 1 < 0 中任意三點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .求滿足 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，并證明從這 SKIPIF 1 < 0 個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于 SKIPIF 1 < 0 .
9．(2024·高二·廣東東莞·期中)(1)在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是平面內(nèi) SKIPIF 1 < 0 任意一點(diǎn).求證： SKIPIF 1 < 0 .
(2)我們稱(1)中結(jié)論 SKIPIF 1 < 0 為平面 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn)法式方程，若平面 SKIPIF 1 < 0 過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 的點(diǎn)法式方程.
10．(2024·高一·福建泉州·期末)球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角?邊?面積等問題，其在航海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱為球的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對(duì)于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過任意兩點(diǎn)的大圓上的劣弧 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所組成的圖形稱為球面 SKIPIF 1 < 0 ，記其面積為 SKIPIF 1 < 0 .易知：球的任意兩個(gè)大圓均可交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，如圖1的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；若球面上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對(duì)徑點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則球面 SKIPIF 1 < 0 與球面 SKIPIF 1 < 0 全等.如圖2，已知球 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面交成的銳二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，圓弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面?圓弧 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所在平面交成的銳二面角的大小分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .記 SKIPIF 1 < 0 .
(1)請(qǐng)寫出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，并猜測(cè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 (用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示).
11．(2024·高一·四川成都·期末)類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 構(gòu)成的三面角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，證明以上三面角余弦定理；
(2)如圖2，平行六面體 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①求 SKIPIF 1 < 0 的余弦值；
②在直線 SKIPIF 1 < 0 上是否存在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，說明理由．
12．(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再分別以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為軸將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別向上翻轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)重合為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 所圍成的曲頂多面體(下底面開口)，如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于 SKIPIF 1 < 0 減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和(多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示)．
(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；
(2)若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的曲率的余弦值．
13．(2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí))設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為 SKIPIF 1 < 0 ，其中Qi(i＝1，2，…，k，k≥3)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．
(1)如圖1，已知長(zhǎng)方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求四棱錐P﹣ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值；
(2)圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，然后用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格．區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是哪個(gè)區(qū)域？(確定“區(qū)域α”還是“區(qū)域β”)
14．(2024·高二·上海浦東新·期末)(1)如圖，對(duì)于任一給定的四面體 SKIPIF 1 < 0 ，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；
(2)給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體 SKIPIF 1 < 0 的四個(gè)頂點(diǎn)滿足： SKIPIF 1 < 0 ，求該正四面體 SKIPIF 1 < 0 的體積．
15．(2024·高三·上海徐匯·期末)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定義一種運(yùn)算： SKIPIF 1 < 0 ，已知四棱錐 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是一個(gè)平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)試計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 的絕對(duì)值的值，并求證 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的體積，說明 SKIPIF 1 < 0 的絕對(duì)值的值與四棱錐 SKIPIF 1 < 0 體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算 SKIPIF 1 < 0 的絕對(duì)值的幾何意義.
16．(2024·高二·上?！て谀?類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面(含平面) SKIPIF 1 < 0 的方程，若曲面 SKIPIF 1 < 0 和三元方程 SKIPIF 1 < 0 之間滿足：①曲面 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程 SKIPIF 1 < 0 的解；②以三元方程 SKIPIF 1 < 0 的任意解 SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面 SKIPIF 1 < 0 上，則稱曲面 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 的曲面為 SKIPIF 1 < 0 ．已知曲面 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)寫出坐標(biāo)平面 SKIPIF 1 < 0 的方程(無需說明理由)，指出 SKIPIF 1 < 0 平面截曲面 SKIPIF 1 < 0 所得交線是什么曲線，說明理由；
(2)已知直線 SKIPIF 1 < 0 過曲面 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為方向量，求證：直線 SKIPIF 1 < 0 在曲面 SKIPIF 1 < 0 上(即 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)均在曲面 SKIPIF 1 < 0 上)；
(3)已知曲面 SKIPIF 1 < 0 可視為平面 SKIPIF 1 < 0 中某雙曲線的一支繞 SKIPIF 1 < 0 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時(shí)，過曲面 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面 SKIPIF 1 < 0 上．設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 在曲面 SKIPIF 1 < 0 上，且過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求異面直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
17．(2024·高二·湖北黃石·期中)(1)寫出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 不全為零)的距離公式;
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 不在直線l上，證明 SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 距離公式.
(3)在空間解析幾何中，若平面 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 不全為零)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，試寫出點(diǎn)P到面 SKIPIF 1 < 0 的距離公式(不要求證明)
18．(2024·山東日照·一模)已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在x軸上方)，且 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為8．將平面 SKIPIF 1 < 0 沿x軸向上折疊，使二面角 SKIPIF 1 < 0 為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得折疊后 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
19．(2024·高二·廣東廣州·階段練習(xí))如圖，空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐 SKIPIF 1 < 0 的底面是邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 的正方形，底面OABC在xOy平面內(nèi)，且拋物線Q： SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．點(diǎn)B在y軸正半軸上， SKIPIF 1 < 0 平面OABC，側(cè)棱OP與底面所成角為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求m的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是拋物線Q上的動(dòng)點(diǎn)，M是棱OP上的一個(gè)定點(diǎn)，它到平面OABC的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，寫出M、N兩點(diǎn)之間的距離 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取得最小值時(shí)，異面直線MN與OB互相垂直？請(qǐng)說明理由．

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