學(xué)生用書(shū)P024
1.函數(shù)的奇偶性
注意 （1）只有函數(shù)在x＝0處有定義時(shí)，f（0）＝0才是f（x）為奇函數(shù)的必要不充分條件；
（2）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f（x）＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.
規(guī)律總結(jié)
1.常見(jiàn)的奇（偶）函數(shù)
（1）函數(shù)f（x）＝ax＋a－x為偶函數(shù)，函數(shù)g（x）＝ax－a－x為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x+1為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）＝lgab－xb＋x為奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）＝lga（x＋x2+1）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）＝lga（x2+1－x）也為奇函數(shù).
2.函數(shù)奇偶性的拓展結(jié)論
（1）若函數(shù)y＝f（x＋a）是偶函數(shù)，則f（x＋a）＝f（－x＋a），函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
（2）若函數(shù)y＝f（x＋b）是奇函數(shù)，則f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱.
2.函數(shù)的周期性
（1）周期函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且⑨ f（x＋T）＝f（x） ，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做
f（x）的⑩ 最小 正周期.
注意 并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如f（x）＝5.
常用結(jié)論
函數(shù)周期性的常用結(jié)論
設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.
（1）若f（x＋a）＝－f（x），則2a是函數(shù)f（x）的周期；
（2）若f（x＋a）＝±1f（x），則2a是函數(shù)f（x）的周期；
（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），則｜a－b｜是函數(shù)f（x）的周期.
3.函數(shù)圖象的對(duì)稱性
已知函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，
（1）若f（a＋x）＝f（b－x） 恒成立，則y＝f（x） 的圖象關(guān)于直線? x＝a＋b2 對(duì)稱.
（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，則y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)? （a＋b2，c2） 對(duì)稱.
注意 （1）奇、偶函數(shù)的圖象平移之后對(duì)應(yīng)的函數(shù)不一定有奇偶性，但其圖象一定有對(duì)稱性.（2）注意區(qū)分抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的表示，周期性的表示中，括號(hào)內(nèi)x的符號(hào)相同，對(duì)稱性的表示中，括號(hào)內(nèi)x的符號(hào)相反.
常用結(jié)論
函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱性與周期的關(guān)系
（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a與直線x＝b對(duì)稱，則函數(shù)f（x）的周期為2｜b－a｜；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，則函數(shù)f（x）的周期為2｜b－a｜；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，則函數(shù)f（x）的周期為4｜b－a｜.
1.已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2＋1x，則f（－1）＝（ A ）
A.－2B.0C.1D.2
2.函數(shù)f（x）＝x+1x圖象的對(duì)稱中心為（ B ）
A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）
解析 由題知f（x）＝x+1x＝1＋1x，其圖象可由y＝1x的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，又y＝1x的圖象關(guān)于（0，0）對(duì)稱，所以f（x）＝1＋1x的圖象關(guān)于（0，1）對(duì)稱.
3.[多選]以下函數(shù)為偶函數(shù)的是（ AC ）
A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x3
C.f（x）＝x2＋cs xD.f（x）＝1x＋｜x｜
4.已知函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x（x－1），則當(dāng)x＞0時(shí)，
f（x）＝ x（x＋1） .
5.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（x－2），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）＝x2－4x，則當(dāng)x∈[4，6）時(shí)，f（x）＝ x2－12x＋32 .
解析 設(shè)x∈[4，6），則x－4∈[0，2），則f（x－4）＝（x－4）2－4（x－4）＝x2－12x＋32.又f（x）＝f（x－2），所以函數(shù)f（x）的周期為2，所以f（x－4）＝f（x），所以當(dāng)x∈[4，6）時(shí)，f（x）＝x2－12x＋32.
6.[2024北京市海淀區(qū)中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬]若f（x）＝x＋a，x0是奇函數(shù)，則a＝ 1 ，b＝ 1 .
解析 由f（x）為奇函數(shù)，知f（－x）＝－f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，可得－x＋a＝－bx＋1，所以b＝1，a＝1.
學(xué)生用書(shū)P026
命題點(diǎn)1 函數(shù)的奇偶性
角度1 判斷函數(shù)的奇偶性
例1 （1）[全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且 f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ B ）
A. f（x）g（x）是偶函數(shù)B. f（x）｜g（x）｜是奇函數(shù)
C.｜f（x）｜g（x）是奇函數(shù)D.｜f（x）g（x）｜是奇函數(shù)
解析 因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，所以f（x）g（x）為奇函數(shù)，f（x）·
｜g（x）｜為奇函數(shù)，｜f（x）｜g（x）為偶函數(shù)，｜f（x）g（x）｜為偶函數(shù)，故選B.
（2）[2021全國(guó)卷乙]設(shè)函數(shù)f（x）＝1－x1+x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ B ）
A.f（x－1）－1B.f（x－1）＋1
C.f（x＋1）－1D.f（x＋1）＋1
解析 解法一 因?yàn)閒（x）＝1－x1+x，所以f（x－1）＝1－（x－1）1+（x－1）＝2－xx，f（x＋1）＝1－（x+1）1+（x+1）＝－xx+2.
對(duì)于A，F(xiàn)（x）＝f（x－1）－1＝2－xx－1＝2－2xx，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不滿足F（x）＝－F（－x）；
對(duì)于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝2－xx＋1＝2x，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足G（x）＝
－G（－x）；
對(duì)于C，f（x＋1）－1＝－xx+2－1，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
對(duì)于D，f（x＋1）＋1＝－xx+2＋1，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
故選B.
解法二 f（x）＝1－x1+x＝2－（x+1）1+x＝21+x－1，為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝
f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f（x－1）＋1，故選B.
方法技巧
1.（1）函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)有奇偶性的前提條件；（2）若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則判斷f（x）與f（－x）是否具有等量關(guān)系，具體運(yùn)算中，可轉(zhuǎn)化為判斷f（x）＋
f（－x）＝0（奇函數(shù)）或f（x）－f（－x）＝0（偶函數(shù)）是否成立.
2.在公共定義域內(nèi)有：奇函數(shù)±奇函數(shù)＝奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)＝偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)＝偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)＝奇函數(shù).
注意 對(duì)于分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分段判斷f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）是否成立，只有當(dāng)所有區(qū)間都滿足相同關(guān)系時(shí)，才能判斷該分段函數(shù)的奇偶性.
角度2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]若f（x）＝（x＋a）·ln2x－12x+1為偶函數(shù)，則a＝（ B ）
A.－1B.0C.12D.1
解析 解法一 設(shè)g（x）＝ln 2x－12x+1，易知g（x）的定義域?yàn)椋ǎ?，?2）∪（12，
＋∞），且g（－x）＝ln －2x－1－2x+1＝ln 2x+12x－1＝－ln 2x－12x+1＝－g（x），所以g（x）為奇函數(shù).若
f（x）＝（x＋a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，則y＝x＋a應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0，故選B.
解法二 因?yàn)閒（x）＝（x＋a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln 13＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故選B.
（2）[2024江蘇南通模擬]已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f（x）＋g（x）＝x2－2x，則f（2）＋g（1）＝ －3 .
解析 由f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∵f（x）＋g（x）＝x2－2x，∴f（－x）＋g（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，即
－f（x）＋g（x）＝x2＋2x，則有f（x）＝－2x，g（x）＝x2，則f（2）＋g（1）＝－4＋1＝－3.
方法技巧
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略
（1）求函數(shù)解析式或函數(shù)值：借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)解析式或函數(shù)值，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f（x）的方程（組）求解析式.
（2）求參數(shù)值：利用定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或f（x）±f（－x）＝0列方程（組）求解，對(duì)于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f（x），可考慮列等式f（0）＝0求解.
注意 利用特殊值法求參數(shù)時(shí)要檢驗(yàn).
訓(xùn)練1 （1）[2024遼寧鞍山一中模擬]下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（ C ）
A.f（x）＝xln x
B.f（x）＝ln（－x＋x2+1）
C.f（x）＝ex＋e－x
D.f（x）＝ex－e－x
解析 對(duì)于A，因?yàn)閒（x）＝xln x的定義域?yàn)椋?，＋∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）＝xln x不是偶函數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)閒（x）＝ln（－x＋x2+1）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）＋f（－x）＝ln（－x＋x2+1）＋ln（x＋x2+1）＝ln 1＝0，所以f（x）＝ln（－x＋x2+1）是奇函數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)閒（x）＝ex＋e－x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（－x）＝e－x＋ex＝f（x），所以
f（x）＝ex＋e－x是偶函數(shù).f '（x）＝ex－e－x，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，有ex＞e0=1>e－x，則f '（x）＝ex－e－x＞0，所以f（x）＝ex＋e－x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D，因?yàn)閒（x）＝ex－e－x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但f（－x）＝e－x－ex＝－（ex－e－x）＝－f（x），所以f（x）＝ex－e－x是奇函數(shù)，故D選項(xiàng)不符合題意.故選C.
（2）[2024江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬]定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x－a·3－x，當(dāng)x＜0時(shí)， f（x）＝ 3x－2－x .
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，所以f（0）＝20－a×30＝0，解得a＝1.若x＜0，則－x＞0，所以f（－x）＝2－x－3x，又f（x）為奇函數(shù)，所以當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝－f（－x）＝3x－2－x，即當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝3x－2－x.
命題點(diǎn)2 函數(shù)的周期性
例3 （1）已知f（x＋1）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1）時(shí)，f（x）＝－2x2+4,－1≤x

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