課例編號(hào)
2020QJ10SXRA014
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級(jí)
高一
學(xué)期
第一學(xué)期
課題
函數(shù)的概念
教科書(shū)
書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教學(xué)人員
姓名
單位
授課教師
喬梁
北京市第一六六中學(xué)
指導(dǎo)教師
李穎
北京市東城區(qū)教師研修中心
教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)目標(biāo)：
能用集合-對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述函數(shù)的概念，初步理解函數(shù)的抽象符號(hào)表示，了解函數(shù)的三要素；
在初中變量說(shuō)的基礎(chǔ)上，能歸納抽象出函數(shù)的概念，認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)；
經(jīng)歷函數(shù)概念的抽象過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
教學(xué)重點(diǎn)：在學(xué)生初中已有函數(shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)例歸納概括出函數(shù)的基本特征（要素），用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言建立函數(shù)的概念.
教學(xué)難點(diǎn)：從實(shí)例中抽象出本質(zhì)特征，并用抽象的符號(hào)去表達(dá).
教學(xué)過(guò)程
時(shí)間
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要師生活動(dòng)
1分鐘
一.溫故知新
引導(dǎo)語(yǔ)：在初中我們已經(jīng)接觸過(guò)函數(shù)的概念，知道函數(shù)是刻畫(huà)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具.
(1)正方形的周長(zhǎng)l與邊長(zhǎng)x的對(duì)應(yīng)關(guān)系是l=4x，而且對(duì)于每一個(gè)確定的x，都有唯一確定的l與之對(duì)應(yīng)，所以l是x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)與正比例函數(shù)y=4x相同嗎？為什么？
(2)你能用已有的函數(shù)知識(shí)判斷y=x與是否相同嗎？為什么？
要解決這些問(wèn)題，就需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念.
12分鐘
二．函數(shù)概念的抽象
今天從高中數(shù)學(xué)角度重新再認(rèn)識(shí)函數(shù)，首先我們看實(shí)際生活中的幾個(gè)問(wèn)題.
問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)如下情境回答問(wèn)題：
某“復(fù)興號(hào)”高速列車(chē)加速到350 km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).
（1）這段時(shí)間內(nèi)，列車(chē)行進(jìn)的路程S（單位：km）與運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系如何表示？這是一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？
（2）如果有人說(shuō)：“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車(chē)加速到350 km/h后，運(yùn)行1 h就前進(jìn)了350 km.”你認(rèn)為這個(gè)說(shuō)法正確嗎？
（3）你認(rèn)為如何表述S與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系才更精確？
師生活動(dòng)：教師給出問(wèn)題后讓學(xué)生先獨(dú)立思考并寫(xiě)出回答要點(diǎn)，再小組交流，并提醒學(xué)生先不要看教科書(shū)．
讓學(xué)生分組收集并歸納問(wèn)題的回答要點(diǎn)，并將要點(diǎn)反饋給老師（有條件的學(xué)?？梢岳眯畔⒓夹g(shù)平臺(tái)收集與呈現(xiàn)學(xué)生的回答要點(diǎn)），教師在全班交流的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)評(píng).
學(xué)生對(duì)問(wèn)題（3）可能會(huì)有困難，教師可以在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上給出精確表述的示范.
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}（1）是為了讓學(xué)生回顧初中所學(xué)函數(shù)概念，學(xué)生們對(duì)解析式S=350t并不陌生，并且容易說(shuō)明對(duì)確定時(shí)刻t有唯一的路程S與之對(duì)應(yīng). 用“是否滿(mǎn)足定義要求”來(lái)回答問(wèn)題（1）；但在初中，并不強(qiáng)調(diào)變量t和函數(shù)S的變化范圍. 因此安排了問(wèn)題（2），目的是要激發(fā)認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的不嚴(yán)謹(jǐn)；問(wèn)題（3）是為了讓學(xué)生關(guān)注到t的變化范圍，并嘗試用精確的語(yǔ)言表述.
問(wèn)題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過(guò)6天. 如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么
你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人每周的工資？
一個(gè)工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？
你能仿照問(wèn)題1中對(duì)S與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系的精確表示，給出這個(gè)問(wèn)題中w與d的對(duì)應(yīng)關(guān)系的精確表示嗎？
追問(wèn)：?jiǎn)栴}1和問(wèn)題2中的函數(shù)有相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？
師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目后，自主回答.
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}（1）是引導(dǎo)學(xué)生使用不同的表示方法，例如表格的形式：

解析式w=350d ；等等.
問(wèn)題（3）是讓學(xué)生模仿問(wèn)題1的方法給出描述，既讓他們熟悉表述方法，又訓(xùn)練抽象概括能力.
通過(guò)追問(wèn)，使學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注到定義域、值域問(wèn)題.
問(wèn)題3：圖3.1-1是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡(jiǎn)稱(chēng)AQI）變化圖.
（1）如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時(shí)刻t h的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值I？
（2）你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？如果是，你能仿照前面的方法描述I與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？
師生活動(dòng)：給學(xué)生適當(dāng)時(shí)間閱讀思考. 有些學(xué)生可能認(rèn)為I不是時(shí)間t的函數(shù)，對(duì)此可進(jìn)行如下追問(wèn).
追問(wèn)：（1）你能根據(jù)圖3.1-1找到中午12時(shí)的AQI的值嗎？這個(gè)值是否唯一存在？
（2）對(duì)于數(shù)集中的任意一個(gè)值t，你會(huì)用什么方法尋找此時(shí)對(duì)應(yīng)的I值？
在追問(wèn)的基礎(chǔ)上，教師闡釋?zhuān)阂驗(yàn)閷?duì)于數(shù)集中的任意一個(gè)值t，都有唯一確定的AQI的值與之對(duì)應(yīng)，所以我們可以根據(jù)初中所學(xué)的函數(shù)定義，得出I是t的函數(shù)，而且還可以斷定I的取值范圍也是確定的，不過(guò)從圖中我們不能確定這個(gè)范圍. 如果我們?cè)O(shè)I的取值范圍為C，那么從圖中可以確定，.這樣我們可以把I與t的對(duì)應(yīng)關(guān)系描述為：
對(duì)于數(shù)集中的任一時(shí)刻t，按照?qǐng)D3.1-1中曲線所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有唯一確定的AQI的值I與之對(duì)應(yīng)，因此I是t的函數(shù).
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)圖象描述對(duì)應(yīng)關(guān)系有困難，特別是在值域不能完全確定時(shí)，通過(guò)引入一個(gè)較大范圍的集合，使函數(shù)值“落入其中”，這是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中不具備的. 實(shí)際上，如果用映射的觀點(diǎn)看，這時(shí)的映射就是非滿(mǎn)射. 為此，在問(wèn)題（1）之后，先讓學(xué)生認(rèn)可圖象表示一個(gè)函數(shù)，然后再通過(guò)教師講解，給出對(duì)應(yīng)關(guān)系的描述方法，從而化解難點(diǎn). 這里，只要學(xué)生能夠理解I是t的函數(shù)，并能夠接受這種描述方式就可以了.
問(wèn)題4：國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)r反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高. 表3.1-1是我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來(lái)越高.
表3.1-1 我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況
你認(rèn)為按表3.1-1給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？
如果是，你能仿照前面的方法給出精確的刻畫(huà)嗎？
如果我們引入，將對(duì)應(yīng)關(guān)系表述為“對(duì)于任意一個(gè)年份y，都有中唯一確定的r與之對(duì)應(yīng)”，你認(rèn)為有道理嗎？
師生活動(dòng)：先讓學(xué)生思考，然后通過(guò)舉手表決的方式對(duì)“恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎”進(jìn)行“是”與“不是”的選擇性投票，教師根據(jù)投票情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，從而解決問(wèn)題（1）.
讓學(xué)生不看教科書(shū)，分組練習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)，并讓學(xué)生代表發(fā)言，教師給予點(diǎn)評(píng)，從而解決問(wèn)題（2）.
學(xué)生給出的函數(shù)值取值范圍可能是表中r的10個(gè)值，教師在肯定的基礎(chǔ)上進(jìn)行引導(dǎo)：根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義，r的取值范圍是，以為年份與所對(duì)應(yīng)的r的值所在的集合更具有一般性.
設(shè)計(jì)意圖：與問(wèn)題3的情況類(lèi)似，學(xué)生對(duì)用表格表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系的判斷存在疑惑，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，教師再作適當(dāng)講解，從而使學(xué)生接受. 另外，對(duì)于函數(shù)值所在的集合的合理性，以教師從恩格爾系數(shù)的定義的角度進(jìn)行解釋即可.
問(wèn)題5：上述問(wèn)題1~問(wèn)題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)的本質(zhì)特征嗎？
師生活動(dòng)：給學(xué)生充分的思考時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生重新回顧用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的過(guò)程. 如果學(xué)生歸納、概括有困難，可以給出如下的表格幫助學(xué)生思考.

教師引導(dǎo)學(xué)生得出它們的共同特征：
（1）都包含兩個(gè)非空數(shù)集，用A，B來(lái)表示；
（2）都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；
（3）盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng).
在上述歸納的基礎(chǔ)上，教師先講解：事實(shí)上，除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法，為了表示方便，我們引進(jìn)符號(hào)f 統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后給出函數(shù)的一般概念，并解釋函數(shù)的記號(hào)y = f (x)，xA.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)歸納四個(gè)實(shí)例中函數(shù)的共同特征，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，概括出用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)的一般性函數(shù)概念. 在此過(guò)程中，要突破“從實(shí)例中抽象出本質(zhì)特征，并用抽象的符號(hào)去表達(dá)”這一教學(xué)難點(diǎn)，突出“在學(xué)生初中已有函數(shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)例歸納概括出函數(shù)的基本特征（要素），用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言建立函數(shù)的概念”這一教學(xué)重點(diǎn).
3分鐘
三.函數(shù)概念的理解
問(wèn)題6：如果讓你用函數(shù)的定義重新認(rèn)識(shí)一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)，那么你會(huì)怎樣表述這些函數(shù)？
師生活動(dòng)：在學(xué)生思考后，教室用一次函數(shù)與二次函數(shù)進(jìn)行示范，學(xué)生用反比例函數(shù)進(jìn)行練習(xí). 學(xué)生完成教科書(shū)中練習(xí)的第3題，教師對(duì)學(xué)生的共同出現(xiàn)的問(wèn)題之處進(jìn)行點(diǎn)評(píng).
設(shè)計(jì)意圖：用函數(shù)定義重新認(rèn)識(shí)已學(xué)函數(shù)，加深對(duì)函數(shù)定義的理解，進(jìn)一步體會(huì)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域是函數(shù)的三個(gè)要素.
5分鐘
四.函數(shù)概念的鞏固應(yīng)用
問(wèn)題7：例1.函數(shù)的解析式是舍棄問(wèn)題的實(shí)際背景而抽象出來(lái)的，它所反應(yīng)的兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫(huà)一類(lèi)事物中的變量關(guān)系和規(guī)律.例如，正比例函數(shù)y = kx（k≠0）可以用來(lái)刻畫(huà)勻速運(yùn)動(dòng)中路程與時(shí)間的關(guān)系，一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)系、圓的周長(zhǎng)與半徑的關(guān)系等.
試構(gòu)建一個(gè)問(wèn)題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng) = x（10-x）來(lái)描述.
師生活動(dòng)：在學(xué)生思考后，教師以例1進(jìn)行示范．若學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)好，則讓他們完成教科書(shū)例1后“探究”欄目的問(wèn)題；若學(xué)生基礎(chǔ)一般，則要求他們完成教科書(shū)練習(xí)第4題.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在完成例1的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)模型應(yīng)用的廣泛性，加深對(duì)函數(shù)概念的理解.
4分鐘
五．課堂小結(jié)、布置作業(yè)
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生回答下列問(wèn)題：
什么是函數(shù)？其三要素是什么？
對(duì)于對(duì)應(yīng)關(guān)系f，你有哪些認(rèn)識(shí)？
與初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)概念相比，你對(duì)函數(shù)又有什么新的認(rèn)識(shí)？
本節(jié)課我們是怎樣得到函數(shù)概念的？結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)又有什么體會(huì)？
師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題后，先由學(xué)生思考后再進(jìn)行全班交流，最后老師再
進(jìn)行總結(jié). 要強(qiáng)調(diào)如下幾點(diǎn)：
函數(shù)的定義是判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)；
要通過(guò)具體例子理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f的特征，特別是對(duì)于“A中任意一個(gè)數(shù)”、“B中都有唯一確定的數(shù)”等關(guān)鍵詞的含義要認(rèn)真體會(huì).
對(duì)應(yīng)關(guān)系f的表示形式可以是解析式、圖象、表格等多種形式，但它們的實(shí)質(zhì)相同，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中要注意積累用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎竞瘮?shù)的經(jīng)驗(yàn)；等等.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)概念的內(nèi)涵、要素的歸納過(guò)程，關(guān)鍵詞的理解等角度進(jìn)行小結(jié)，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的理解.
布置作業(yè)：教科書(shū)習(xí)題3.1第1,11,14,18題.

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