備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學精品教案第二章函數(shù)第4講冪函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（Word版附解析）

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學生用書P029
1.冪函數(shù)
（1）冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)① y＝xα 叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).
（2）5種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
規(guī)律總結(jié)
（1）冪函數(shù)y＝xα在第一象限的圖象如圖所示，可根據(jù)函數(shù)的定義域以及奇偶性判斷冪函數(shù)在第二或第三象限的圖象.
（2）在（0，1）上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸；在（1，＋∞）上，冪函數(shù)的指數(shù)越小，函數(shù)圖象越接近x軸.
注意 冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限，若與坐標軸有交點，則交點一定是原點.
2.指數(shù)與指數(shù)運算
（1）根式
a.（na）n＝? a （n∈N*，且n＞1）.
b.nan＝a，n為奇數(shù)，｜a|,n為偶數(shù).
（2）分數(shù)指數(shù)冪
a.amn＝? nam （a＞0，m，n∈N*，且n＞1）.
b.a－mn＝1amn＝? 1nam （a＞0，m，n∈N*，且n＞1）.
注意 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.
（3）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
a.ar·as＝? ar＋s （a＞0，r，s∈R）；aras＝? ar－s （a＞0，r，s∈R）；
b.（ar）s＝? ars （a＞0，r，s∈R）；
c.（ab）r＝? arbr （a＞0，b＞0，r∈R）.
3.指數(shù)函數(shù)
（1）指數(shù)函數(shù)的概念
函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.
（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
注意 當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時，需分a＞1和0＜a＜1兩種情況進行討論.
規(guī)律總結(jié)
1.指數(shù)函數(shù)的圖象過點（0，1），（1，a），（－1，1a），依據(jù)這三點的坐標可得到指數(shù)函數(shù)的大致圖象.
2.函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對稱，y＝ax的圖象與y＝－ax的圖象關(guān)于x軸對稱，y＝ax的圖象與y＝－a－x的圖象關(guān)于坐標原點對稱.
3.如圖，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為0＜c＜d＜1＜a＜b.
1.[2024江蘇省南通市質(zhì)量監(jiān)測]化簡：（π－4）2＋3（π－3）3＝（ A ）
A.1B.－1C.7－2πD.2π－7
解析 （π－4）2＋3（π－3）3＝｜π－4｜＋π－3＝4－π＋π－3＝1.故選A.
2.[多選]已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過點（16，4），則下列說法正確的有（ BCD ）
A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x）是增函數(shù)
C.當x＞1時，f（x）＞1D.當0＜x1＜x2時，f（x1）＋f（x2）2＜f（x1＋x22）
解析 因為冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過點（16，4），所以16α＝4，α＝12，所以f（x）＝x12＝x，由其圖象可知，A錯誤，B正確；當x＞1時，f（x）＞f（1）＝1，故C正確；由f（x）＝x的圖象可知f（x1）＋f（x2）2＜f（x1＋x22），故D正確.故選BCD.
3.函數(shù)f（x）＝ax－1＋2（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點 （1，3） .
4.已知函數(shù)f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）的定義域和值域都是[－1，0]，則a＋b＝－32.
學生用書P031
命題點1 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
例1 （1）[2023山西省運城市景勝中學模擬]如圖所示的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象.已知n分別取±2，±12四個值，與曲線C1，C2，C3，C4對應(yīng)的n依次為（ A ）
A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12
C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2
解析 如圖所示，作直線x＝2分別與曲線C1，C2，C3，C4相交，因為函數(shù)y＝2x為增函數(shù)，所以22＞212＞2－12＞2－2，所以交點由上到下對應(yīng)的n值分別為2，12，－12，－2，由圖可知，曲線C1，C2，C3，C4對應(yīng)的n值分別為2，12，
－12，－2.故選A.
（2）[全國卷Ⅲ]已知a＝243，b＝425，c＝2513，則（ A ）
A.b＜a＜cB.a＜b＜c
C.b＜c＜aD.c＜a＜b
解析 因為a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且冪函數(shù)y＝x13在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)y＝16x在R上單調(diào)遞增，所以b＜a＜c.故選A.
方法技巧
1.對于冪函數(shù)的圖象識別問題，解題關(guān)鍵是把握冪函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性、奇偶性、圖象經(jīng)過的定點等.
2.比較冪值大小的方法
（1）同底不同指的冪值大小比較：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較.
（2）同指不同底的冪值大小比較：利用冪函數(shù)的單調(diào)性進行比較.
（3）既不同底又不同指的冪值大小比較：常找到一個中間值，通過比較冪值與中間值的大小來判斷.
訓練1 （1）[2024陜西省漢中市名校聯(lián)考]已知冪函數(shù)f（x）＝（m2＋m－1）xm的圖象與坐標軸沒有公共點，則f（2）＝（ A ）
A.12B.2C.2D.22
解析 因為f（x）為冪函數(shù)，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，又f（x）的圖象與坐標軸無公共點，故m＜0，所以m＝－2，故f（x）＝x－2，所以f（2）＝（2）-2＝12.故選A.
（2）若（2m＋1）12＞（m2＋m－1）12，則實數(shù)m的取值范圍是 [5－12，2） .
解析 因為函數(shù)y＝x12的定義域為[0，＋∞），且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以2m+1≥0，m2＋m－1≥0，2m+1>m2＋m－1，解得5－12≤m＜2，所以實數(shù)m的取值范圍為[5－12，2）.
命題點2 指數(shù)冪的運算
例2 計算：
（1）（－338）－23＋（0.002）－12－10×（5－2）－1＋（2－3）0＝ －1679 ；
解析 原式＝（－1）－23×（338）－23＋（1500）－12－105－2＋1＝（278）－23＋50012－10×（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.
（2）若x12＋x－12＝3，則 x32＋x－32－3x2＋x－2－2＝ 13 .
解析 由x12＋x－12＝3，兩邊平方，得x＋x－1＝7，
∴x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45.
由（x12＋x－12）3＝33，得x32＋3x12＋3x－12＋x－32＝27.
∴x32＋x－32＝18，∴x32＋x－32－3＝15.
∴x32＋x－32－3x2＋x－2－2＝13.
方法技巧
指數(shù)冪的運算技巧
訓練2 （1）[2024重慶八中模擬]已知10α＝2－12，10β＝3213，則1034β＋12α＝ 2 .
解析 1034β＋12α＝（10β）34×（10α）12＝（3213）34×（2－12）12＝25×13×34＋（－12）×12＝2.
（2）a3b23ab2（a14b12）4a－13b13＝ ab （a＞0，b＞0）.
解析 原式＝（a3b2a13b23）12ab2a－13b13＝a32＋16－1+13·b1+13－2－13＝ab.
命題點3 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例3 （1）已知函數(shù)y＝kx＋a的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝ax＋k的圖象可能是（ B ）
AB C D
解析 由函數(shù)y＝kx＋a的圖象可得k＜0，0＜a＜1.函數(shù)y＝ax＋k的圖象可以看作是把y＝ax的圖象向右平移－k個單位長度得到的，且函數(shù)y＝ax＋k是減函數(shù)，故此函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標大于1，結(jié)合所給的選項，可知選B.
（2）[2024上海奉賢致遠高級中學模擬]已知a∈R，若關(guān)于x的方程｜3x－1｜－2a＝0有兩個不相等的實根，則a的取值范圍是 （0，12） .
解析 關(guān)于x的方程｜3x－1｜－2a＝0有兩個不相等的實根，即曲線y＝
｜3x－1｜與直線y＝2a的圖象有兩個交點，作出y＝｜3x－1｜與y＝2a的圖象，如圖，易得a的取值范圍是（0，12）.
命題拓展
已知a∈R，若關(guān)于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有兩個不等的實根，則a的取值范圍是 （0，12） .
解析 關(guān)于x的方程｜ax－1｜－2a＝0有兩個不等的實根，即曲線y＝｜ax－1｜與直線y＝2a的圖象有兩個交點，y＝｜ax－1｜的圖象是由y＝ax的圖象先向下平移1個單位長度，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的.當a＞1時，如圖1，兩圖象只有一個交點，不合題意；當0＜a＜1時，如圖2，要使兩個函數(shù)圖象有兩個公共點，則0＜2a＜1，得0＜a＜12.
圖1圖2
綜上可知，a的取值范圍是（0，12）.
方法技巧
與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題的求解策略
注意 在指數(shù)函數(shù)圖象變換時，注意特殊點（如定點）、特殊線（如漸近線）的變化.
訓練3 [2024重慶市巴蜀中學適應(yīng)性考試]已知函數(shù)f（x）＝ax－1－2（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點M（m，n），則函數(shù)g（x）＝m＋xn的圖象不經(jīng)過（ D ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
解析 ∵a0＝1，∴f（x）＝ax－1－2的圖象恒過定點（1，－1），∴m＝1，n＝－1，
∴g（x）＝1＋1x，其圖象不經(jīng)過第四象限，故選D.
命題點4 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
角度1 比較大小
例4 （1）[2023天津高考]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為（ D ）
A.c＞a＞bB.c＞b＞a
C.a＞b＞cD.b＞a＞c
解析 因為函數(shù)f（x）＝1.01x是增函數(shù)，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因為函數(shù)g（x）＝0.6x是減函數(shù)，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.綜上，b＞a＞c.故選D.
（2）[2023全國卷甲]已知函數(shù)f（x）＝e－（x－1）2.記a＝f（22），b＝f（32），c＝
f（62），則（ A ）
A.b＞c＞aB.b＞a＞c
C.c＞b＞aD.c＞a＞b
解析 f（x）＝e－（x－1）2是由函數(shù)y＝eu和u＝－（x－1）2復合而成的函數(shù)，y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）在（－∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.易知
f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以c＝f（62）＝f（2－62），又22＜2－62＜32＜1，所以f（22）＜f（2－62）＜f（32），所以b＞c＞a，故選A.
方法技巧
比較指數(shù)冪大小的常用方法
角度2 解簡單的指數(shù)方程或不等式
例5 [2024北京市十一學校模擬]若不等式3ax－1＜（13）ax2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ B ）
A.（－4，0）B.（－4，0]
C.（0，4）D.[0，4）
解析 因為不等式3ax－1＜（13）ax2恒成立，即3ax－1＜3－ax2恒成立，所以ax－1＜－ax2恒成立，即ax2＋ax－1＜0恒成立，
當a＝0時，－1＜0恒成立，符合題意；
當a≠0時，則a