一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．）
1. 已知，，，若，則（）
A. 5B. 4C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可以先求出，再由它們平行可以得到比例關(guān)系從而求出參數(shù)，由此即可得解.
因?yàn)椋?，?br>所以，
因?yàn)?，所以，解得?br>所以.
故選：A.
2. 已知直線，．若，則實(shí)數(shù)（）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
利用兩條直線斜率之積為求解.
若，則，解得或.
故選：C.
【點(diǎn)睛】若直線和直線，當(dāng)直線時(shí)有，.
3. 直線繞其與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的斜率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩角和的正切公式可求得直線的斜率.
設(shè)直線的傾斜角為，則，
將直線繞其與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，
則直線的傾斜角為，
因此，直線的斜率為，
故選：D.
4. 已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用方程表示圓充要條件，列式求解即得.
方程表示一個(gè)圓，則，解得或，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：D
5. 與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出所求方程的橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)即可.
橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所求方程的橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，
所以所求方程為.
故選：A
6. 如圖，在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，則（）
A.
B.
C.
D
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.
在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，
則.
故答案為：A.
7. 正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，則（）
A. 平面B. 平面
C. 平面D. 平面
【答案】B
【解析】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則A0,0,0、、、、、
、、、、，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，，，
則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，，，
則，取，則，
對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，且平面，則平面，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，，D錯(cuò).
故選：B.
8. 若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)，可得出，且有，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.
由橢圓方程得，設(shè)，則，
為橢圓上一點(diǎn)，，可得，且有，
．
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最大值.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓中向量數(shù)量積最值的求解，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)在以下兩方面：
（1）的變化是由點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生，解題時(shí)可設(shè)，將利用點(diǎn)的坐標(biāo)加以表示；
（2）在求的最值時(shí)，充分利用橢圓的有界性結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解.
9. 在三棱錐中，平面，，，，則直線與平面所成角的大小為（）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用線面、面面垂直的判定及性質(zhì)確定線面角，進(jìn)而求出大小.
在三棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，
由，得，而平面，平面，則，
平面，則平面，又平面，
因此平面平面，在平面上的射影為直線，
即是直線與平面所成的角，
由，得，
在中，，.
故選：C
10. 在正方體中，若點(diǎn)P（異于點(diǎn)B）是棱上一點(diǎn)，則滿足與所成的角為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）
A. 0B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法建立點(diǎn)坐標(biāo)間的等式，再分類討論得解.
在正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令，則，設(shè)，
，，于是，
整理得，顯然點(diǎn)不能在坐標(biāo)軸上，否則，
當(dāng)時(shí)，，
而，無(wú)解，即點(diǎn)不能在棱上；
當(dāng)時(shí)，，
若，則；若，則無(wú)解；若，則，
于是點(diǎn)不能在棱上，可以在棱上；
當(dāng)時(shí)，，
若，則無(wú)解；若，則，于是點(diǎn)不能在棱上，可以在棱上，
所以可以在棱上，點(diǎn)P個(gè)數(shù)為3.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量結(jié)合線線角的求法建立等式，分類討論求解.
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）
11. 已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為________．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示及空間向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即得.
由，，得，，
由，得，即，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的值為2.
故答案為：2
12. 圓被直線截得的弦長(zhǎng)為________．
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即得.
圓的圓心，半徑，
點(diǎn)到直線的距離，
所以所求弦長(zhǎng)為.
故答案為：8
13. 在正方體中，異面直線與所成角的余弦值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成角，在直角中，即可求解.
如圖所示，連接，在正方體中，可得，
所以異面直線與所成角，即為直線與所成角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，可得
在直角中，可得，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
14. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為________．
【答案】
【解析】
【分析】利用橢圓的定義，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形，得最小值.
在橢圓中，，，則，即點(diǎn)、，
如圖，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，
又因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，
.
當(dāng)且僅當(dāng)、、、共線且、在、之間時(shí)等號(hào)成立．
所以的最小值為.
故答案為：.
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由到兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)的距離之積等于的所有點(diǎn)組成的．對(duì)于曲線，有下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線是軸對(duì)稱圖形；
②曲線中心對(duì)稱圖形；
③曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)只有個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；
④點(diǎn)Px,y是曲線上的點(diǎn)，則．
其中正確結(jié)論的編號(hào)為________．
【答案】①②
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出曲線方程，將代入方程可判斷①，將代入可判斷②，分析額可得，分別令、、，根據(jù)可判斷③，根據(jù)滿足方程可判斷④.
設(shè)曲線上的點(diǎn)為，則由題可得，
即曲線的方程為，
若在曲線上，則，
①將代入可得
，
滿足方程，即曲線關(guān)于軸對(duì)稱，曲線是軸對(duì)稱圖形，故①正確；
②將代入可得
，
滿足方程，即曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，故②正確；
③由x+12+y2?x-12+y2=2>y4，可得，
令，則，解得，
此時(shí)點(diǎn)、、1,0在曲線內(nèi)，
令，可得，可得，
若，則，即點(diǎn)-1,1、0,1、在曲線內(nèi)，
由對(duì)稱性可知，點(diǎn)、、也在曲線內(nèi)，
綜上所述，曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)只有個(gè)整點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
④因?yàn)闈M足方程，在曲線上，但此時(shí)，故④錯(cuò)誤.
故答案為：①②.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究曲線的性質(zhì)，主要是通過(guò)研究相應(yīng)的方程所滿足的性質(zhì)來(lái)研究曲線性質(zhì).
三、解答題（本大題共6小題，共85分．）
16. 已知圓C經(jīng)過(guò)，，且圓心C在直線上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出線段的中垂線方程，求出圓心坐標(biāo)及半徑即可.
（2）按切線斜率存在與否，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出切線方程.
【小問(wèn)1】
線段的中點(diǎn)，直線的斜率，
則線段的中垂線方程為，即，
由，解得，因此圓C的圓心，半徑，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2】
點(diǎn)到直線的距離為2，即直線與圓C相切；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，
由，解得，因此方程為，
所以圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程為或.
17. 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出橢圓C焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）求的面積．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的橢圓方程直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率.
（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即得.
【小問(wèn)1】
橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，則半焦距，
所以，離心率.
【小問(wèn)2】
由（1）知，直線的方程為，
由消去得：，解得，
所以的面積.
18. 如圖，平面，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得出，利用三線合一的性質(zhì)可得出，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.
【小問(wèn)1】
證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)?，、平面，所以，平?
【小問(wèn)2】
解：因?yàn)槠矫?，?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則A0,0,0、、、、，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，，
則，取，可得，
由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，
則，
由圖可知，二面角的平面角為銳角，
故二面角的余弦值為.
19. 如圖，六面體中，四邊形為菱形，、、、都垂直于平面．若，．
（1）求證：；
（2）在棱（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）連接，推導(dǎo)出平面，四邊形為平行四邊形，可得出，可得出平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出三棱錐的體積，利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離，可求出的面積，設(shè)，根據(jù)的面積可得出關(guān)于的等式，解之即可得出結(jié)論.
【小問(wèn)1】
證明：連接，如下圖所示：
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，
因?yàn)槠矫妫矫?，則，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>又因?yàn)?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，?br>所以，平面，因?yàn)槠矫?，則.
【小問(wèn)2】
解：設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，
因?yàn)椋瑒t是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
則，
因?yàn)槠矫?，且?br>則，
又因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、，
因?yàn)椋矫?，平面?br>則平面，
同理可證平面，
因?yàn)?，、平面?br>所以平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以，，
同理，，故四邊形為平行四邊形，
線段的中點(diǎn)為，且線段的中點(diǎn)也為，可得，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，則，
，
所以，點(diǎn)到平面的距離為，
，則，
因?yàn)椋?br>設(shè)，則，其中，
，
故在棱上不存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積等于三棱錐的體積.
20. 已知橢圓（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)F作斜率為k（）的直線l，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得解.
（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出弦長(zhǎng)，及線段的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求解.
【小問(wèn)1】
依題意，，由離心率，得橢圓半焦距，因此，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
【小問(wèn)2】
由（1）知，直線的方程為，
由消去得，設(shè)，
則，線段的中點(diǎn)，
線段的垂直平分線方程為，令，得，
，而，
所以.
21. 設(shè)n為大于等于2的正整數(shù)，n個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組（）稱為上的n維向量．n維向量通常用希臘字母，，等表示．
對(duì)于n維向量，，設(shè)，，定義內(nèi)積=．
（1）已知，，，求，和；
（2）求證：四個(gè)二維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù)，五個(gè)三維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù)；
（3）若m個(gè)n（）維向量?jī)蓛蓛?nèi)積均為負(fù)數(shù)，求證：．
【答案】（1），，.
（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題干中對(duì)內(nèi)積的定義計(jì)算即可；
（2）先由抽屜原理證明二維向量的情形，然后三維的情形可以化歸為二維的情形；
（3）證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，往往可以考慮數(shù)學(xué)歸納法，本題通過(guò)對(duì)第一個(gè)坐標(biāo)分量的討論，借助數(shù)學(xué)歸納法達(dá)到“降維”效果.
【小問(wèn)1】
，，.
【小問(wèn)2】
先證命題：四個(gè)二維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù).
不妨設(shè)，，，，
若存在，則有，那么命題得證，
若任意，，由抽屜原理知中必存在兩個(gè)數(shù)同號(hào)，
不妨設(shè)，則又因?yàn)?，所?命題得證.
再證命題：五個(gè)三維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù).
不妨設(shè)，，，
若存在，則，命題得證，
若任意，，考慮4個(gè)二維向量，
由4個(gè)二維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù)，
不妨設(shè)，又，則，命題得證.
【小問(wèn)3】
我們對(duì)歸納證明：個(gè)維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù).
①當(dāng)時(shí)，由第（2）問(wèn)知命題成立；
②設(shè)當(dāng)且時(shí)命題成立，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
即第一個(gè)坐標(biāo)分量為1，其他坐標(biāo)分量均為0，設(shè)，，
若存在使得，則，命題得證，
若任意，，
則由時(shí)的歸納假設(shè)知這個(gè)維向量中必存在兩個(gè)向量?jī)?nèi)積非負(fù)，
不妨設(shè)，則又因?yàn)椋?br>所以
即時(shí)命題亦成立.
所以個(gè)維向量中必有兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為非負(fù)數(shù)，
從而若個(gè)維向量?jī)蓛蓛?nèi)積均為負(fù)數(shù)，則.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用抽屜原理進(jìn)行證明，第三問(wèn)的關(guān)鍵是采用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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北京市一零一中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月統(tǒng)練一 數(shù)學(xué)試題（含解析）

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