一、單選題
1．已知直線與平行，則系數(shù)（ ）
A．B．C．D．
2．經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．在三棱錐中，等于（ ）
A．B．C．D．
4．若過點，的直線的斜率等于1，則的值為（ ）
A．1B．4C．1或3D．1或4
5．已知橢圓的一個焦點的坐標(biāo)是，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
6．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，，，則直線與平面所成角的大小為（ ）
A．B．C．6D．
7．已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（ ）．
A．4B．5C．6D．7
8．“”是“直線與圓相切”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
9．在平面直角坐標(biāo)系中，若點在直線上，則當(dāng)，變化時，直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
10．某地居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形，近似由一個正方形和兩個等腰直角三角形組成.若，，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個電視轉(zhuǎn)播臺，理想方案是轉(zhuǎn)播臺距五邊形各頂點距離的平方和最小，圖中是的五等分點，則轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在（ ）
A．處B．處C．處D．處
二、填空題
11．直線與圓的位置關(guān)系是 ．
12．已知圓與圓內(nèi)切，則 .
13．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實數(shù))上任意一點關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上，則a＝ .
14．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為 .
15．定義：若對平面點集中的任意一點，總存在正實數(shù)，使得集合，則稱為一個“開集”．給出下列集合：
①；②；
③；④．
其中為“開集”的是 ．
三、解答題
16．已知直線：．
(1)當(dāng)時，一條光線從點射出，經(jīng)直線反射后過原點，求反射光線所在直線的方程；
(2)求證：直線恒過定點；
(3)當(dāng)原點到直線的距離最大時，寫出此時直線的方程（直接寫出結(jié)果）．
17．已知橢圓及直線．
(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)時，求直線與橢圓相交所得的弦長；
(3)求直線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程．
18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，AC交BD于點O，，．點E是棱PA的中點，連接OE，OP．
(1)求證：平面PCD；
(2)若平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求線段OP的長．
條件①：平面平面；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
19．已知圓和圓，直線與圓相切于點，圓的圓心在射線上，圓過原點，且被直線截得的弦長為．
（1）求直線的方程；
（2）求圓的方程．
20．橢圓的左頂點為，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知經(jīng)過點的直線交橢圓于兩點，是直線上一點.若四邊形為平行四邊形，求直線的方程.
21．已知有限集X，Y，定義集合，表示集合X中的元素個數(shù).
（1）若，求集合和，以及的值；
（2）給定正整數(shù)n，集合，對于實數(shù)集的非空有限子集A，B，定義集合
①求證：；
②求的最小值.
參考答案：
1．B
【分析】
由直線的平行關(guān)系可得，解之可得．
【詳解】
解：直線與直線平行，
，解得．
故選：．
2．A
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系確定斜率，結(jié)合圓心坐標(biāo)并應(yīng)用點斜式寫出直線方程.
【詳解】由直線與直線垂直，故所求直線斜率為1，
又經(jīng)過圓的圓心，故所求直線為，
所以所求直線方程為.
故選：A
3．C
【分析】應(yīng)用向量加減法法則化簡.
【詳解】由.
故選：C
4．A
【分析】根據(jù)斜率公式即可得到方程，解出即可.
【詳解】由題意得，解得.
故選：A.
5．C
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由條件可知，，，，
所以，得，
故選：C
6．A
【分析】根據(jù)線面角定義找到直線與平面所成角的平面角，結(jié)合已知求其大小.
【詳解】由題設(shè)知，直三棱柱底面為等腰直角三角形，且，，
若是中點，連接，則，且，
由面面，面，面面，
所以面，則直線與平面所成角為銳角，
且面，則，
由題意，在中，則，故.
故選：A
7．A
【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點的距離減去半徑1可得答案.
【詳解】設(shè)圓心，則，
化簡得，
所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取得等號，
故選：A.
【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.
8．A
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出a的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義解出.
【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為1，
設(shè)圓心到直線的距離為
則，解得：或.
由此可知，“”是“或”的充分不必要條件，
故選：A.
9．B
【分析】將點代入直線方程中得出點為圓上的動點，
結(jié)合圖像分析即可求出直線的斜率的取值范圍.
【詳解】因為點在直線上，
所以，
即，
則表示圓心為，半徑為1的圓上的點，
如圖：

由圖可知當(dāng)直線與圓相切時，直線的斜率得到最值，
設(shè)，
由圓與直線相切，故有圓心到直線的距離為半徑1，
即，
解得：，
由圖分析得：直線的斜率的取值范圍是.
故選：B.
10．A
【分析】以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)轉(zhuǎn)播臺建在處，可將表示為的形式，即，由此可確定當(dāng)且時距離平方和最小，由此可確定轉(zhuǎn)播臺位置.
【詳解】以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，.
設(shè)轉(zhuǎn)播臺建在處，
則，
當(dāng)且時，最小，
轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在處.
故選：A.
11．相離
【分析】確定圓心和半徑，應(yīng)用點線距離公式求圓心與直線距離，并與半徑比大小，即可得答案.
【詳解】由的圓心為，半徑為1，
圓心到的距離，
所以直線與圓相離.
故答案為：相離
12．
【分析】利用兩圓內(nèi)切的定義表達(dá)式即可求得.
【詳解】由圓知圓心為半徑為由圓知圓心為,半徑為
因兩圓內(nèi)切，故，即，解得：
故答案為：
13．-2
【詳解】經(jīng)分析知，直線經(jīng)過圓C的圓心，而圓C的圓心坐標(biāo)為，所以有．
14．
【詳解】點P到直線CC1的距離等于點P在平面ABCD上的射影到點C的距離，設(shè)點P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時，P′C的長度最小，此時P′C＝＝.
15．②④
【分析】根據(jù)開集的定義逐個驗證選項，即可得到答案.
【詳解】①表示以原點為圓心，1為半徑的圓，
則在該圓上任意取點，以任意正實數(shù)為半徑的圓面，
均不滿足故①不是開集；
②，在平面點集中的任取一點，
設(shè)該點到直線的距離為，取，
則滿足，故該集合是開集；
③，在曲線任意取點，以任意正實數(shù)為半徑的圓面，
均不滿足，故該集合不是開集；
④，表示以點為圓心，為半徑除去圓心和圓周的圓面，
在該平面點集中的任一點，則該點到圓周上的點的最短距離為，取，
則滿足，故該集合是開集．
故答案為：②④.
【點睛】本題屬于集合的新定義型問題，考查學(xué)生即時掌握信息、解決問題的能力，正確理解開集的定義是解決本題的關(guān)鍵．
16．(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）令是關(guān)于的對稱點，利用垂直和中點在直線上求點坐標(biāo)，進(jìn)而寫出直線方程；
（2）將直線寫成，可求定點，即可證；
（3）由題設(shè)易知，利用垂直及點斜式寫出直線方程.
【詳解】（1）由題設(shè)，令是關(guān)于的對稱點，
則，可得，故，
由題意，反射光線過和原點，
所以反射光線所在直線方程為.
（2）由直線可改寫為，聯(lián)立，可得，
將點代入原直線方程，顯然成立，故直線恒過定點，得證.
（3）當(dāng)原點到直線的距離最大，即點到點的距離，此時，
由，則，故，整理得.
17．(1)；
(2)；
(3)且.
【分析】（1）聯(lián)立橢圓與直線得一元二次方程，利用求參數(shù)范圍；
（2）根據(jù)題設(shè)條件求交點坐標(biāo)，利用兩點式求弦長；
（3）應(yīng)用韋達(dá)定理求中點坐標(biāo)，即可得軌跡方程.
【詳解】（1）聯(lián)立直線與橢圓，可得，
整理得，
由直線與橢圓有公共點，故，可得.
（2）由題設(shè)及（1），聯(lián)立直線與橢圓得，則或，
而直線為，當(dāng)有，當(dāng)有，
所以弦長為.
（3）由（1）有，令直線與橢圓交點為，
所以，則，故中點坐標(biāo)為，
由，則，
所以弦的中點的軌跡方程為，即且.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明；
(2)利用空間向量的坐標(biāo)運算表示出平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值，即可求解.
【詳解】（1）因為底面是菱形，所以是中點，
因為E是棱PA的中點，所以，
又因為平面PCD, 平面PCD,
所以平面PCD.
（2）選擇條件①:
因為，是的中點，所以,
因為平面平面,平面平面,
平面，
所以平面，因為平面，所以，
又，所以兩兩垂直，
以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,
因為菱形的邊長為2，
所以,
所以設(shè)
所以，
設(shè)為平面的一個法向量，
由得所以
取，所以，
因為平面，所以平面的一個法向量為,
平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為,
所以，所以
所以，所以，因為，所以，所以.
所以線段OP的長為.
選擇條件②:
因為.在菱形中，，
因為平面平面,
所以平面,
因為平面，所以，因為,
所以兩兩垂直，
以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,
因為菱形的邊長為2，
所以,
所以設(shè)
所以，
設(shè)為平面的一個法向量，
由得所以
取，所以，
因為平面，所以平面的一個法向量為,
平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為,
所以，所以
所以，所以，因為，所以，所以.
所以線段OP的長為.
19．（1）；（2）
【分析】（1）由題可求得切線的斜率，利用點斜式求直線方程即可；
(2)設(shè)出圓心坐標(biāo)，求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，得出圓的方程.
【詳解】（1）由題意知：直線過點，且斜率為 -1，
故直線的方程為
（2）根據(jù)題意設(shè)：的圓心坐標(biāo)為
圓的半徑， 圓心到直線的距離為
，
解得：（舍）或 ．
圓的半徑 圓心
圓的方程為
20．(1)；
(2)或
【分析】（1）直接由頂點和離心率求出橢圓方程即可；
（2）設(shè)，由表示出直線的斜率，進(jìn)而寫出直線的方程，聯(lián)立橢圓求出弦長，由求出，即可求得直線的方程.
【詳解】（1）由題意知：，則，故橢圓的方程為；
（2）
設(shè)，又，故，又直線經(jīng)過點，故的方程為，
聯(lián)立橢圓方程可得，顯然，，
則，
又，由，可得，
解得或，
故直線的方程為或.
21．（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①見解析；②
【分析】（1）直接根據(jù)定義求解即可；
（2）①分若A∪B中含有一個不在S中的元素和，且，兩種情況討論即可，當(dāng)，且時，可通過得證；
②結(jié)合①知，討論若，或，得，若，且，設(shè)，，可證得的最小值是
【詳解】（1）根據(jù)定義直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3.
（2）①顯然.
若A∪B中含有一個不在S中的元素，則，即
.
若，且，則
此時A中最小的元素，B中最小的元素，
所以C中最小的元素.
所以.
因為，
所以，即.
綜上，.
②由①知.
所以
若，或，則
若，且，設(shè)，
且，，
則，
若，
因為，
所以這個數(shù)一定在
集中C中，且均不等于1.
所以
所以
當(dāng)，時，
所以的最小值是
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的第三問較難，解題的關(guān)鍵是由①得，進(jìn)而進(jìn)行分情況討論可得解.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
A
C
A
A
A
B
A

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