1．如圖，E，F(xiàn)分別是長方體的棱AB，CD的中點，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
3．已知圓錐的母線長為5，底面圓的半徑為3，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
4．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為，則（ ）
A．B．C．D．4
5．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，l//m，則
C．若，，則D．若，α//β，則
6．已知向量，，，若，，共面，則等于（ ）
A．B．C．5D．9
7．在正方體中，直線與直線所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
8．已知平面，，直線，如果，且，，，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
9．如圖，在正方體中，點P為棱的中點，點Q為面內(nèi)一點，，則（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖，水平地面上有一正六邊形地塊，設計師規(guī)劃在正六邊形的頂點處矗立六根與地面垂直的柱子，用以固定一塊平板式太陽能電池板.若其中三根柱子，，的高度依次為，則另外三根柱子的高度之和為（ ）
A．47mB．48mC．49mD．50m
二、填空題（本大題共5小題）
11．已知，，則 ．
12．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則 ．
13．如圖，在三棱錐中，D是的中點，若，，，則等于 .
14．已知是直線l上一點，且是直線l的一個法向量，則直線l的方程為 ．
15．已知正方體的棱長為2，為的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足平面平面．給出下列四個結論：
①的面積的最大值為；
②滿足使的面積為2的點有且只有4個；
③點可以是的中點；
④線段的最大值為3．
其中所有正確結論的序號是 ．
三、解答題（本大題共6小題）
16．已知的頂點坐標分別是，，，為邊的中點.
(1)求直線的斜率；
(2)求中線的方程.
17．如圖，在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點.求證：
(1)∥平面；
(2)平面.
18．如圖，在四棱錐中，平面，，底面是邊長為的正方形，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點．

(1)求證：平面ADE⊥平面PCD；
(2)求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．
19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，，點是的中點，直線交平面于點.

(1)求證：點是的中點；
(2)求二面角的大小
(3)求點到平面的距離.
20．在三棱錐中，平面平面，為等腰直角三角形，，，，為的中點.
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在線段上是否存在點使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
21．個有次序的實數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個維向量，其中稱為該向量的第個分量．特別地，對一個維向量，若，稱為維信號向量．設，則和的內(nèi)積定義為，且．
(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量．
(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．
(3)已知個兩兩垂直的2024維信號向量滿足它們的前個分量都是相同的，求證：．
答案
1．【正確答案】D
【詳解】解：=，所以D正確，A，B，C錯誤.
故選：D
2．【正確答案】D
【詳解】直線可化為.
斜率為-1，所以傾斜角為.
故選:D.
3．【正確答案】A
【詳解】設圓錐的高為,母線長為,底面半徑為
畫出立體圖像,如圖:
根據(jù)立體圖形可得:
根據(jù)圓錐的體積計算公式:
故選:A.
4．【正確答案】A
【詳解】因為點關于軸的對稱點,
所以，
故選：A.
5．【正確答案】D
【詳解】對于A:若,則可能，A錯誤；
對于B:若,則可能,B錯誤；
對于C:若則可能不垂直，C錯誤；
對于D:若,則,D正確.
故選：D.
6．【正確答案】D
【詳解】由于共面，所以存在，使得，即
，
所以，解得：，所以.
故選：D.
7．【正確答案】C
【分析】作出輔助線，得到或其補角為直線與直線所成角，根據(jù)為等邊三角形，故，得到答案.
【詳解】連接，因為，，
所以四邊形為平行四邊形，
則，故或其補角為直線與直線所成角，
連接，則，
即為等邊三角形，故，
直線與直線所成角大小為.
故選C.
8．【正確答案】B
【詳解】如圖，若，且，，，可得，但，
若，且，，，由線面垂直的性質定理可得，
所以是的必要不充分條件.
故選：B.
9．【正確答案】A
【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，
不妨設正方體的棱長為，
則，設，
故，
因為，
所以，即，
所以，
則點到直線的距離為，
點到直線的距離為，
所以，
故，，
所以.
故選：A.
10．【正確答案】A
【詳解】依題意可知六點共面，
設正六邊形的中心為，連接，
平面且平面，
依題意可知相交于，
連接交于，連接交于，
根據(jù)正六邊形的性質可知四邊形是菱形，所以相互平分，
則相互平分，根據(jù)梯形中位線有，
即，
在梯形中，是的中點，則是的中點，
所以，
同理可得，
所以.
故選：A
11．【正確答案】
【詳解】因為，，
所以.
故答案為.
12．【正確答案】
【詳解】因為，
所以兩平面的法向量共線，
所以存在唯一實數(shù)，使得，
所以，解得，
所以.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】由圖可得.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】因為是直線的法向量，
所以直線的斜率，
又點是直線上點，所以直線的方程為，
整理得.
故答案為.
15．【正確答案】①④
【詳解】取的中點為，連接，
因為為的中點，所以，，，
所以，所以，又，
所以，所以，
又平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以平面平面，又平面平面，
所以的軌跡為線段，
對于①，由圖可知，當在上時，此時三角形面積最大，
因為，所以面積的最大值為，故①正確；
對于②，由圖可知，當或時，的面積為2，
所以滿足使的面積為2的點有且只有2個，故②錯誤；
對于③，由圖易知，點不可能在線段上，所以點不可能是的中點，故③錯誤；
對于④, 由圖易知，當與重合時，此時長度最大，最大值為，故④正確.
故①④.
16．【正確答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）直線的斜率.
（2）依題意，邊的中點M1,1，則直線的斜率，
所以直線的方程是，即.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為E，F(xiàn)分別為，的中點，，，
則且，可知四邊形為平行四邊形，則，
且平面，平面，
所以∥平面.
（2）因為四邊形為正方形，則，
且，則，
又因為平面，平面，則.
且，則，
且，平面，所以平面.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）平面，且平面，，
在正方形中，易知，
，且平面，平面，
平面，平面平面.
（2）以點為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖：

則，，，，，
由分別為的中點，則，，
取直線的方向向量為，
在平面內(nèi)，取向量，，
設平面的法向量，
則，，令，則，
故平面的一個法向量，
設直線與平面的夾角為，
則.
19．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）因為，平面，平面，
所以平面.
因為直線交平面于點.
所以平面平面，平面，
所以，所以.
因為點是的中點，所以點是的中點.
（2）因為平面，平面,
所以，.
因為，
所以，，兩兩相互垂直.
如圖，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系.

則，，，，，
所以，.
所以，.
設平面的法向量為，
則，即
令，于是，，所以.
又因為平面的法向量為.
所以.
由題知，二面角是鈍角，
所以二面角的大小為.
（3）設點到平面的距離為d，
因為，則.
20．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【詳解】（1）若為中點，連接、，又M為AB的中點.
∴，由，則，
又△為等腰直角三角形，，易知：，
由，則面，
∵面，
∴.
（2）由（1）可構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，
∴，則，，，
若為面的一個法向量，則，令，即，
若為面的一個法向量，則，令，即，
∴，
由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為.
（3）若存在N使得平面平面，且，，
由（2）知：，，則，，
若是面的一個法向量，則，令，則，
∴，可得.
∴存在N使得平面平面，此時.
21．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，結合維向量的定義，
則兩兩垂直的4維信號向量可以為：．
（2）解：假設存在14個兩兩垂直的14維信號向量，
因為將這14個向量的某個分量同時變號或將某兩個位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內(nèi)積不變，
所以，不妨設，
因為，所以有7個分量為，
設的前7個分量中有個，則后7個分量中有個，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14個兩兩垂直的14維信號向量．
（3）解：任取，計算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到，
則，
設的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為的貢獻為
所以，
令所以，所以．

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