2024.11
本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.
第一部分（選擇題共40分）
一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量且，那么（ ）
A. B.6 C.9 D.18
3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)為（ ）
A. B. C. D.
4.設(shè)分別是空間中直線的方向向量，則直線所成角的大小為（ ）
A. B. C. D.
5.過和兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（ ）
A. B.1 C. D.
6.“”是“直線與平行”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
7.在平行六面體中，，點(diǎn)在上，且，則（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正方體的棱長為為的中點(diǎn)，則到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
9.在正方體中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值不可能是（ ）
A. B. C. D.
10.已知點(diǎn)，直線，若直線上至少存在三個(gè)，使得為直角三角形，直線傾斜角的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非選擇題共110分）
二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11.復(fù)數(shù)，則__________.
12.已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為__________.
13.若平面，平面的法向量為，平面的法向量為，寫出平面的一個(gè)法向量__________.
14.已知點(diǎn)，直線與線段無交點(diǎn)，則直線在軸上的截距為__________；的取值范圍是__________.
15.如圖：在直三棱柱中，，.記，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在，使得任意，都有；
②對于任意點(diǎn)，都不存在點(diǎn)，使得平面平面；
③的最小值為3；
④當(dāng)取最小時(shí)，過點(diǎn)作三棱柱的截面，則截面周長為.
其中，所有正確結(jié)論的序號是__________.
三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.（本小題13分）
已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；
（2）求邊上的中線所在直線的方程；
（3）求邊上的高所在直線的方程.
17.（本小題14分）
如圖，在三棱柱中，底面是的中點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）若，求平面與平面所成角的余弦值.
18.（本小題14分）
設(shè)的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，且.
（1）求角的大小；
（2）從下列三個(gè)條件中選擇一組作為已知，使存在且唯一，并求的面積.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇的條件使不存在或不唯一，第（2）問得0分.
19.（本小題14分）
已知函數(shù)，且的圖像過點(diǎn).
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上與直線有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值及此時(shí)的值.
20.（本小題15分）
如圖，已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，平面是正三角形，分別為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
21.（本小題15分）
給定正整數(shù)，設(shè)集合.對于集合中的任意元素和，記.設(shè)，且集合，對于中任意元素，若則稱具有性質(zhì).
（1）判斷集合是否具有性質(zhì)，集合是否具有性質(zhì)；（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）
（2）判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；
（3）若集合具有性質(zhì)，證明：.
延慶區(qū)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
2024.11
一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）
1.D 2.A 3.B 4.C 5.D
6.C 7.A 8.B 9.A 10.B
二?填空題（共5小題，每小題5分，共25分）
11. 12. 13.（不唯一，共線即可）
14.，（注：第一問3分，第二問2分）
15.①③④（注：對一個(gè)2分，兩個(gè)3分，有選錯(cuò)0分）
三?解答題（共6小題，共85分）
16.（共13分）
解：（1）直線的斜率
過點(diǎn)且與直線平行的直線的斜率為
過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為
（2）設(shè)邊的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
所以邊的中線所在直線方程為
（3）因?yàn)椋?br>所以邊的高線所在直線的斜率為，
因此邊的高線所在直線方程為.
17.（共14分）
（1）證明：連接，設(shè)，連接，
由為三棱柱，得.
又是的中點(diǎn)，所以是的中位線，
.
平面平面，
平面；
（2）解：底面，
以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
，
設(shè)平面的法向量為
由，得；
設(shè)直線與平面所成角為.
則.
直線與平面所成角的正弦值為.
（3）設(shè)平面與平面所成角為為銳角，
平面的法向量為，
，
平面與平面所成角余弦值為.
18.（共14分）
解：（1），由正弦定理
得，
在中，，
，
.
（2）若選①，
由余弦定理，得，
解得
.
若選③，
由正弦定理可得：
選擇②，面積公式2分；余弦定理2分.不超過4分.
19.（共14分）
解：（1）由題意，，
解得.
，
，
，
的最小正周期；
的單調(diào)減區(qū)間為
（2）函數(shù)在區(qū)間上與直線有交點(diǎn)
所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，
又因?yàn)?br>所以，解得.
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）
當(dāng)時(shí)，取最大值
當(dāng)時(shí)，取最小值
所以，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以，當(dāng)時(shí)，
20.（共15分）
（1）證明：因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，
所以.
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面，
所以面；
解：（2）因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪?以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，
設(shè)平面的法向量為，
由，得
，
點(diǎn)到平面的距離
（3）設(shè)
所以點(diǎn)到面的距離為定值
.
，
解得：或.
21.（共15分）
（1）集合具有性質(zhì)，
集合B不具有性質(zhì).
（2）當(dāng)時(shí)，集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.由題設(shè).
假設(shè)集合A具有性質(zhì)，則
①當(dāng)時(shí)，，矛盾.
②當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾.
③當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)楹椭炼嘁粋€(gè)在A中；和至多一個(gè)在A中；和至多一個(gè)在A中，故集合A中的元素個(gè)數(shù)小于4，矛盾.
④當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾.
⑤當(dāng)時(shí)，，矛盾.
綜上，不存在具有性質(zhì)的集合.
（3）記，則.
若，則，矛盾.若，則，矛盾.
故.
假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，即.
當(dāng)時(shí)，有或成立.
所以中分量為1的個(gè)數(shù)至多有.
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).
因?yàn)?，所以的各分量有個(gè)1，不妨設(shè).
由時(shí)，可知，中至多有1個(gè)1，
即的前個(gè)分量中，至多含有個(gè)1.
又，則的前個(gè)分量中，含有個(gè)1，矛盾.
所以.因?yàn)椋?br>所以.所以.

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