一、單選題（本大題共10小題）
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．橢圓：的焦點坐標(biāo)為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．如果直線與直線垂直，那么的值為（ ）
A．B．C．D．2
4．對于圓：，下列說法正確的為（ ）
A．點圓的內(nèi)部B．圓的圓心為
C．圓的半徑為D．圓與直線相切
5．已知甲、乙兩名同學(xué)在高二的6次數(shù)學(xué)周測的成績統(tǒng)計如圖，則下列說法不正確的是（ ）
A．甲的中位數(shù)低于乙的中位數(shù)
B．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則
C．甲成績的極差小于乙成績的極差
D．甲成績比乙成績穩(wěn)定
6．已知直線：和直線：，則與間的距離最短值為（ ）
A．1B．C．D．2
7．已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（ ）
A．11B．12C．13D．14
8．已知直線：，曲線：，則“與相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
9．已知點，，圓：，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在棱長為1的正方體中，點是該正方體對角線上的動點，給出下列四個結(jié)論：
①； ②面積的最小值是；
③只存在唯一的點，使平面； ④當(dāng)時，平面平面．
其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．4B．3C．2D．1
二、填空題（本大題共5小題）
11．過點且與直線平行的直線方程為 ．
12．已知，兩組數(shù)據(jù)，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；組數(shù)據(jù)的方差為 ，若，兩組數(shù)據(jù)的方差相同，試寫出一個值 ．
13．橢圓的離心率 ，過右焦點作直線交橢圓于A、兩點，是橢圓的左焦點，則的周長為 ．
14．已知直線：與圓：交于A，兩點，當(dāng)最短時的值為 ．
15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線：就是其中之一．給出下列四個結(jié)論：
①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；
②曲線恰好經(jīng)過8個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；
③曲線上任意一點到原點的距離的最小值為2；
④曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題（本大題共6小題）
16．已知的頂點為，，，求：
(1)邊所在直線的方程；
(2)邊上的高所在直線的方程．
17．如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，．
(1)求直線與平面所成角的大?。?br>(2)求點到平面的距離．
18．圓（圓心為整數(shù)點）經(jīng)過，，且滿足_________
①與直線相切 ②經(jīng)過點C?2,0 ③圓心在直線上．
請從以上三個條件中選擇一個條件填到橫線上完成下列問題
(1)求圓的方程；
(2)過點的直線被圓截得的弦長為6，求直線的方程．
19．科技發(fā)展日新月異，電動汽車受到越來越多消費(fèi)者的青睞．以下是A，兩地區(qū)某年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，20年1月至12月A，兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：
月銷量比是指：該月A地區(qū)電動汽車市場的銷售量與地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）．
(1)地區(qū)根據(jù)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)和人口情況制定了月銷售評價表
在該年1月至12月的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個月，求該月銷售評價達(dá)到“優(yōu)秀”的概率；
(2)從該年1月至6月中隨機(jī)抽取2個月，求在這2個月中月銷量比均超過6.0的概率；
(3)記該年1月至12月A，兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，，試判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）
20．如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面，為中點．
(1)平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)線段上是否存在一點，使∥平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值．
21．已知圓：與直線相切．
(1)求出；
(2)設(shè)點為直線上一動點，若在圓上存在點，使得，求的取值范圍；
(3)若過點做兩條互相垂直的直線交圓于，兩點，判斷直線是否恒過定點，若存在定點，求出定點坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
答案
1．【正確答案】C
【詳解】由題意知：，即，則直線的斜率，
所以，又因為，所以.
故選：C.
2．【正確答案】B
先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得，判斷焦點位置，寫焦點坐標(biāo).
【詳解】因為橢圓：，
所以標(biāo)準(zhǔn)方程為，
解得，
因為焦點在y軸上，
所以焦點坐標(biāo)為，.
故選：B
本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.
3．【正確答案】D
【詳解】因為直線與直線垂直，
則，解得.
故選：D.
4．【正確答案】A
【詳解】對于A，將點代入圓C中，得，所以點圓C的內(nèi)部，故A正確；
對于B，C，由，得，所以圓的圓心為，半徑為，故B，C錯誤；
對于D，由圓心到直線的距離為，所以，即，所以圓與直線相離，故D錯誤.
故選：A.
5．【正確答案】A
【詳解】對于A：由折線圖可知，甲的中位數(shù)大于90，乙同學(xué)的中位數(shù)小于90，
所以甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)，故A錯誤；
對于B，由折線圖可知，甲同學(xué)的平均成績高于乙同學(xué)的平均成績，B正確；
對于C，由折線圖可知，甲成績的極差小于乙成績的極差，C正確；
對于D，由折線圖可知，甲成績波動性小于乙成績的波動性，
所以甲成績比乙成績穩(wěn)定，D正確.
故選：A.
6．【正確答案】C
【詳解】因為直線：即為，
可知直線與直線平行，
則與間的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以與間的距離最短值為.
故選：C.
7．【正確答案】B
【詳解】設(shè)圓心為，，則，
可知點的軌跡為以為圓心，半徑的圓，
且，即點O0,0在圓外，
所以圓心到原點的距離的最小值為.
故選：B.
8．【正確答案】D
【詳解】易知曲線：可化為，表示圓心為，半徑的上半圓；
易知直線可化為，
當(dāng)時，圓心到直線的距離為，
此時與下半圓相切，如下圖所示，不合題意，即必要性不成立；
若與相切，可知，解得或；
檢驗可知只有當(dāng)時，直線與相切，即可得，所以充分性不成立；
所以“與相切”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D
9．【正確答案】B
【詳解】因為，
可知點的軌跡是以為直徑的圓（除外），即圓心為，半徑的圓，
且圓：的圓心為，半徑，
由題意可知：圓與圓有公共點，
則，即，且m>0，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
10．【正確答案】B
【詳解】對于①：連接，

在正方體中，平面，平面，則，
又，平面，平面，
則平面，又平面，則，故①正確；
對于②：設(shè)交于，連接.由平面，得，
所以，
在中，當(dāng)時，最小，
又，，，，
此時，
因此面積的最小值為，故②錯誤；
對于③：連接，由①知，平面，又平面，
所以，同理，
因為，平面，平面，
因此平面，
當(dāng)點為直線與平面的交點時，平面，
由于過一點A有且只有一個平面垂直于已知直線，
于是過直線與直線垂直的平面有且只有一個，
所以存在唯一的點，使平面，故③正確；
對于④：當(dāng)時，
在中，，，
則，
即，則，
又，平面，平面，
所以平面，即平面，
由①同理可知，，
且平面， 平面，
因此平面，則平面平面，故④正確，
故選：B.
11．【正確答案】
【詳解】由直線方程，則可設(shè)其平行線的方程為，
由平行線過，則，解得b=4，所以方程為，
故答案為.
12．【正確答案】 2 10或15
【詳解】組的平均數(shù)，
組的平均數(shù)，
則組的方差為
，
則組的方差為
，
解得或15.
故2；10或15.
13．【正確答案】 16
【詳解】由橢圓方程可知：，
所以橢圓的離心率；
所以的周長.
故；16.
14．【正確答案】1
【詳解】因為直線：，即，可知直線過定點，
圓：的圓心為，半徑，
可知當(dāng)時，AB取到最短，此時.
故答案為.
15．【正確答案】①②④
【詳解】對于①，將點代入可得，，依舊滿足該方程，故曲線E關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，即①正確；
對于②，由可得，令，有，解得；
令，有，解得；
令，有，此時方程無整數(shù)解；
令，有，解得；
即曲線恰好經(jīng)過，共8個整點，即②正確；
對于③，由②可知在曲線上，該點到原點的距離為，即③錯誤；
對于④，將點代入可得，，
可知曲線關(guān)于軸對稱，
令點在曲線上，且該點在第一象限，
則，即，故，
令，則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即，整理可得，
因式分解可得，
由可知，即必有，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故除了點在直線上以外，點都恒在直線的上方；
直線與坐標(biāo)軸的交點為，
則直線與坐標(biāo)軸圍成的面積為，
可知曲線在第一象限部分與坐標(biāo)軸圍成的面積大于，
再由曲線關(guān)于原點對稱且關(guān)于軸對稱，故可知曲線所圍成的區(qū)域的面積大于．
可知④正確.
故①②④
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，，
所以邊所在直線的方程為，即.
（2）由（1）可知：直線的斜率，
則高的斜率，
所以高所在直線的方程，即.
17．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）以點為原點，以向量為軸的方向向量，建立空間直角坐標(biāo)系，
A0,0,0，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z，
則，即，可取法向量
設(shè)直線與平面所成角為，
所以,則，
所以直線與平面所成角的大小為；
（2）因為，則，
由（2）可知，直線與平面所成角的大小為，
所以點到平面的距離為.
18．【正確答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）因為，的中點為，且，
則線段的中垂線方程為，即，
可設(shè)圓心，則.
若選①：因為圓與直線相切，
注意到位于直線的同側(cè)，
則，解得，
則，
整理可得，解得或（舍去），
即圓心，半徑，
所以圓的方程為；
若選②：因為圓經(jīng)過點，
則，解得，
即圓心，半徑，
所以圓的方程為；
若選③：因為圓心在直線上，
則，解得，
即圓心，半徑，
所以圓的方程為.
（2）因為直線l被圓C截得的弦長為6，
則圓心到所求直線的距離為.
當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l方程為，滿足題意；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l為：，即，
則，解得，此時直線l的方程為.
綜上，直線l的方程為或.
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）設(shè)事件C為“該月銷售評價達(dá)到“優(yōu)秀””，
B地區(qū)達(dá)到“優(yōu)秀”的月份為5月、6月、7月、8月、9月、10月、12月，共7個月，
所以.
（2）該年1月至6月中隨機(jī)抽取2個月，
則樣本空間為
，
可得，
設(shè)事件D為“這2個月中月銷量比均超過6.0的”，
則，可得，
所以.
（3）A地區(qū)銷售量最低有29.4萬輛，最高有89.2萬輛，數(shù)據(jù)波動較大；
相比之下B地區(qū)銷售量最低有7.8萬輛，最高有10.4萬輛，數(shù)據(jù)波動幅度較小，變化較為平穩(wěn)；
故.
20．【正確答案】(1)證明見詳解
(2)
(3)存在，
【詳解】（1）因為，為中點，則，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
（2）以為坐標(biāo)原點，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得
由題意可知：平面的法向量，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（3）線段上是否存在一點，使平面.
設(shè)，則，
若平面，則，
可得，解得，
即，可知，
所以存在點，使平面，此時.
21．【正確答案】(1)
(2)
(3)過定點，定點為
【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑為，
因為圓心與直線相切，所以.
（2）因為圓心與直線的距離，
可知圓與直線相離，
由題意可知：當(dāng)與圓相切（為切點）時，取到最大值，
此時，且，
則，可得，則，
因為點為直線上，則，
可得，整理可得，解得，
所以的取值范圍為.
（3）因為均在圓O上，且，
可知當(dāng)且僅當(dāng)是圓O的直徑時，上述條件成立，
所以直線過定點O0,0.
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
地區(qū)（單位：萬輛）
29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
77.1
89.2
地區(qū)（單位：萬輛）
7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10.1
9.7
9.9
10.4
9.4
8.9
10.1
月銷量比
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8
月銷售量（萬輛）
評價
不合格
合格
良好
優(yōu)秀
特優(yōu)

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