時間：120分鐘 2024.11
本試卷共2頁，150分。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1.若直線與直線平行，則系數(shù)a為（ ）
A.-3B.-6C.D.
2.經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A.B.
C.D.
3.在三棱錐中，等于（ ）
A.B.C.D.
4.過點，的直線的斜率等于1，則m的值為（ ）
A.1或3B.1或4C.1D.4
5.已知橢圓的一個焦點的坐標(biāo)是（-2，0），則實數(shù)m的值為（ ）
A.1B.C.2D.4
6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，，，則直線與平面所成角的大小為（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°
7.已知半徑為1的圓經(jīng)過點（3，4），則其圓心到原點的距離的最小值為（ ）
A.7B.6C.5D.4
8.“”是“直線與圓相切”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
9.在平面直角坐標(biāo)系中，若點在直線上，則當(dāng)a，b變化時，直線的斜率的取值范圍是（ ）
A.B.
C.D.
10.某地居民的居住區(qū)域大致呈如圖的五邊形，近似由一個正方形和兩個等腰直角三角形組成.已知，.現(xiàn)準(zhǔn)備修建一個電視轉(zhuǎn)播臺，理想方案是轉(zhuǎn)播臺距五邊形各頂點的距離的平方和最小，圖中，，，是的五等分點，則轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在（ ）
A.處B.處C.處D.處
二、填空題（每小題5分，共25分）
11.直線與圓的位置關(guān)系是________.
12.已知圓：與圓：內(nèi)切，則實數(shù)a的值為________.
13.已知圓C：（a為實數(shù)）上任意一點關(guān)于直線：的對稱點都在圓上，則________.
14.如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，點P在線段上，則點P到直線的距離的最小值為________.
15.定義：若對平面點集中的任意一點，總存在正實數(shù)r，使得集合，則稱為一個“開集”。給出下列集合：
①；②；
③；④.
其中為“開集”的是__________.
三、解答題（共85分）
16.已知直線：.
（I）當(dāng)時，一條光線從點射出，經(jīng)直線反射后過原點，求反射光線所在直線的方程；
（Ⅱ）求證：直線恒過定點；
（Ⅲ）當(dāng)原點到直線的距離最大時，寫出此時直線的方程（直接寫出結(jié)果）.
17.已知橢圓及直線.
（I）當(dāng)直線與橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時，求直線與橢圓相交所得的弦長；
（Ⅲ）求直線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程.
18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，交于點O，，，點E是棱的中點，連接，.
（I）求證：平面；
（Ⅱ）若平面與平面的夾角的余弦值為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求線段的長.
條件①：平面平面；條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
19.已知圓：和圓，直線與圓相切于點（1，1），圓的圓心在射線（）上，圓過原點，且被直線截得的弦長為.
（I）求直線的方程；
（Ⅱ）求圓的方程.
20.橢圓：的左頂點為，離心率為.
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知經(jīng)過點的直線交橢圓于B，C兩點，D是直線上一點.若四邊形為平行四邊形，求直線的方程.
21.已知有限集X，Y，定義集合，表示集合X中的元素個數(shù).
（I）若，，求集合和，以及的值；
（Ⅱ）給定正整數(shù)，集合.對于實數(shù)集的非空有限子集A，B，定義集合.
①求證：；
②求的最小值.

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