考生須知：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1. 直線：在軸上截距是（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】將直線的一般式方程化為斜截式方程可得結(jié)果.
【詳解】將變形為，
所以在軸上的截距是，
故選：A.
2. 圓與圓的位置關(guān)系是（）
A相離B. 相交C. 內(nèi)切D. 外切
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的方程確定出兩圓的圓心距和半徑的關(guān)系，由此確定出兩圓的位置關(guān)系.
【詳解】因為，兩圓的半徑分別為，
所以，所以相交，
故選：B.
3. 若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量共面的結(jié)論，對各選項逐一判斷即可得解.
【詳解】對于A，，所以共面，故A錯誤；
對于B，，所以共面，故B錯誤；
對于C，假設共面，
則存在，使得，
則共面，這與可構(gòu)成空間的一個基底矛盾，
所以不共面，故C正確；
對于D，，所以共面，故D錯誤.
故選：C.
4. 正方體分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.
【詳解】設正方體棱長為2，以的原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，，
，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：B
5. 直線：在橢圓上截得的弦長是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達定理以及弦長公式可求解出結(jié)果.
【詳解】設與橢圓交于，
聯(lián)立可得，
且，，
所以，
故選：D.
6. 點是圓上的動點，直線是動直線，則點到直線的距離的最大值是（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先求解出直線所過的定點坐標，然后將問題轉(zhuǎn)化為圓上點到圓外定點距離的最大值，最后根據(jù)圓心到定點的距離結(jié)合圓的半徑求解出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
令，所以，所以過定點，
又因為，所以在圓外，
因為點到直線的距離的最大值即為到的距離，
又因為點是圓上的動點，
所以，
所以點到直線的距離的最大值為，
故選：C.
7. 已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】分析：設，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.
詳解：在中，
設，則，
又由橢圓定義可知
則離心率，
故選D.
點睛：橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的?？贾R點，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.
8. 已知是圓的一條弦，且，是的中點，當弦在圓上運動時，直線上存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得點的軌跡方程為，結(jié)合得到為直徑的圓要包含圓，利用點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由圓，可得，
所以圓的圓心為，半徑為，
因為，且是的中點，所以，
所以點的軌跡方程為,
可其圓心為，半徑為，
若直線上存在兩點，使得恒成立，
則以為直徑的圓要包含圓，
又由圓心到直線的距離為，
所以的長度的最小值為.
故選：C.
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）
9. 已知直線的方向向量是，兩個平面的法向量分別是，則下列說法中正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C若，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】利用空間向量判斷直線、平面間的位置關(guān)系.
【詳解】若，則，故A正確；
若，則或在內(nèi)，故B錯；
若，則，故C錯；
若，則，故D正確.
故選：AD.
10. 已知點橢圓上一點，橢圓的焦點是，則下列說法中正確的是（）
A. 橢圓的長軸長是9B. 橢圓焦距是
C. 存在使得D. 三角形的面積的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)逐個判斷即可.
【詳解】，
所以，
對于A：因為，所以長軸為，A錯誤；
對于B：因為，所以焦距為，B正確；
對于C：當取到上頂點時此時取到最大值，
此時，，
所以，所以此時為鈍角，
所以存在使得，C正確；
對于D：當取到上頂點時此時三角形的面積取到最大值，
此時，D正確，
故選：BCD
11. 已知兩點，點是直線：上的動點，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 存在使最小B. 存在使最小
C. 存在使最小D. 存在使最小
【答案】ABD
【解析】
【分析】A：先求關(guān)于的對稱點，根據(jù)與的交點坐標即可判斷；
B：設出點坐標，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出取最小值時點坐標；
C：結(jié)合圖示進行分析判斷；
D：根據(jù)絕對值的特點先判斷出取最小值時點的位置，然后聯(lián)立對應直線方程求解出點坐標.
【詳解】對于A：設點關(guān)于直線的對稱點為，所以，所以，所以，
所以，當且僅當為與交點時滿足題意，
又因為，即，
所以，所以，所以，故A正確；
對于B：設，所以，
所以，當且僅當時有最小值，
此時，所以，故B正確；
對于C：如下圖，根據(jù)與的位置關(guān)系可判斷出有最大值，無最小值，故C錯誤；
對于D：因為，取等號時，即為垂直平分線與的交點，
因為垂直平分線方程為，即，
所以，所以，所以，故D正確；
故選：ABD.
12. 已知曲線，則（）
A. 曲線上兩點間距離的最大值為
B. 若點在曲線內(nèi)部（不含邊界），則
C. 若曲線與直線有公共點，則
D. 若曲線與圓有公共點，則
【答案】BC
【解析】
【分析】A：作出的圖象，結(jié)合圖象分析任意兩點距離的最大值；
B：根據(jù)直線與交點坐標進行判斷；
C：根據(jù)直線與相切時的取值進行判斷；
D：分析臨界情況：經(jīng)過與坐標軸的交點、與在四個象限相切，由此求解出的范圍.
【詳解】當時，，圓心；
當時，，圓心；
當時，，圓心；
當時，，圓心；
當時，；當時，
作出在平面直角坐標系下的圖象如下圖：
對于A：上任意兩點距離的最大值為，故A錯誤；
對于B：因為在直線上，所以，所以或，
若點在曲線內(nèi)部（不含邊界），則有，故B正確；
對于C：當直線與相切時，如下圖所示：
若與在第二象限相切時，則到的距離等于圓的半徑，
所以，所以或（舍），
若與在第四象限相切時，則到的距離等于圓的半徑，
所以，所以或（舍），
結(jié)合圖象可知曲線與直線有公共點時有，故C正確；
對于D：如下圖所示：
因為與坐標軸的交點坐標為，
所以當剛好經(jīng)過與坐標軸的交點時，此時，
當剛好與在四個象限都相切時，，
所以曲線與圓有公共點時，故D錯誤；
故選：BC.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的綜合運用，難度較大.數(shù)形結(jié)合是處理本題的高效方法，通過在圖象上對臨界位置的分析，得到直線與相切以及圓與相切時參數(shù)的取值.
選擇題部分
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 直線：的傾斜角是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出斜率，根據(jù)斜率可求得傾斜角.
【詳解】因為直線：，斜率，
故傾斜角為.
故答案為：.
14. 如圖，圓和圓的圓心分別為，，半徑都為，寫出一條與圓和圓都相切的直線的方程：__________.
【答案】（或或，答案不唯一，寫出一個即可）.
【解析】
【分析】由圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系求解即可.
【詳解】由已知，圓和圓的半徑，
圓心距為，
∴圓和圓相外切.
如圖易知與圓和圓都相切的直線斜率存在，設其方程為，即，
則到直線的距離，①
到直線的距離，②
由①、②得，即或即，
∴解得或或，
∴與圓和圓都相切的直線的方程為或或.
故答案為：（或或，答案不唯一，寫出一個即可）.
15. 正四面體的所有棱長都是2，分別是，的中點，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】以向量為空間向量的基底，求出，再利用空間向量的數(shù)量積運算即得.
【詳解】正四面體的所有棱長都是2，分別是，的中點，
則，
，
因此
.
故答案為：
16. 如圖，三角形中，，，為中點，為上的動點，將沿翻折到位置，使點在平面上的射影落在線段上，則當變化時，二面角的余弦值的最小值是______.
【答案】##.
【解析】
【分析】作出圖示，根據(jù)位置關(guān)系分析出二面角的平面角為，然后根據(jù)三點共線將問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺讼抵械淖鴺藛栴}，通過計算對應縱坐標的比值結(jié)合基本不等式求解出二面余弦值的最小值.
【詳解】過點作交于點，連接，如下圖所示：
因為在平面內(nèi)的射影為點，所以平面，所以，
又因為，，所以平面，所以，
所以二面角的平面角為，且，
又因為，所以，易知三點共線，且，則，
在平面中建立平面直角坐標系如下圖所示：
設，因為在平面內(nèi)的射影為點，所以可知，
又，所以，，
所以，，所以，
所以，
設，所以，
當且僅當，即，即時取等號，
所以，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用幾何法求解二面角的余弦值，解答問題的關(guān)鍵在于將空間中線段長度比值轉(zhuǎn)化為平面中坐標的比值，通過利用基本不等式求解出對應最值，難度較大.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 已知直線和直線的交點為.
（1）求過點且與直線平行的直線的方程；
（2）求線段（為原點）的垂直平分線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解出交點的坐標，然后設出，代入點的坐標求解出參數(shù)，則結(jié)果可知；
（2）先確定出以及中點坐標，則的垂直平分線方程可求.
【小問1詳解】
因為，所以，所以，
設，代入，
所以，所以，
所以.
【小問2詳解】
因為且中點坐標為，
所以的垂直平分線方程為，
即為.
18. 已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點.
（1）求圓的方程；
（2）直線：與圓交于兩點，且，求實數(shù)的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓心坐標，再求出圓的半徑即得.
（2）由給定弦長，結(jié)合圓的弦長公式求出弦心距，再利用點到直線距離公式計算即得.
【小問1詳解】
圓過點，，則點在線段的中垂線上，
由，得點，圓的半徑，
所以圓的方程為.
【小問2詳解】
直線被圓所截弦長，則點到直線的距離，
因此，解得
所以實數(shù)的值為.
19. 如圖，已知四棱錐中，平面，，，，為中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位線和平行四邊形的性質(zhì)得到，然后利用線面平行的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)得到直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，根據(jù)線面角的定義得到為直線與平面所成角，然后求正弦值即可.
【小問1詳解】
取中點，連接，
因為分別為的中點，所以，，
因為，，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，，
因為平面，平面，所以∥平面.
【小問2詳解】
過點作于點，連接，
因為，所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面，
所以為直線與平面所成角，
，，，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
20. 為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的正東方向設立了觀測站，在平臺的正北方向設立了觀測站，它們到平臺的距離分別為6海里和海里，記海平面上到觀測站和平臺的距離之比為2的點的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域為安全預警區(qū)（如圖）.
（1）以為坐標原點，1海里為單位長度，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，求曲線的方程；
（2）海平面上有漁船從出發(fā)，沿方向直線行駛，為使?jié)O船不進入預警區(qū)，求取值范圍.
【答案】（1）曲線的方程為：
（2）的取值范圍為
【解析】
【分析】利用已知條件結(jié)合兩點間距離公式列出方程并化簡求得曲線方程.，利用直線與圓相切確定取值范圍.
【小問1詳解】
根據(jù)已知條件設且，，
由，有，
，
，
，
整理有，
是以為圓心，為半徑的圓.，
所以曲線的方程為：.
【小問2詳解】
，過的直線不過坐標原點且不與坐標軸垂直，
所以直線截距式方程為，
化為一般式方程為，
根據(jù)題意，臨界情況下直線與圓相切，圓心到直線距離為圓的半徑4，
且，解得，
所以綜上可知的取值范圍為.
21. 如圖，三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，，，點分別是線段，的中點，二面角為直二面角.
（1）求證：平面；
（2）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位線和菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)二面角為直二面角和得到，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）利用空間向量的方法求二面角余弦值的范圍即可.
【小問1詳解】
連接，
因為分別為中點，三角形為等邊三角形，
所以，，
因為為三棱柱，，
所以四邊形為菱形，，則，
因為二面角為直二面角，平面，
所以平面，
因為平面，
所以，
因為，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
連接，
因為四邊形為菱形，，
所以為等邊三角形，
因為為中點，所以，
因為平面，所以，
所以兩兩垂直，
以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，
，，，，，，，，，，
設，，則，
設平面的法向量為，
則，令，則，，
所以，
因為平面，所以可以作為平面的一個法向量，
設銳二面角為，
則，
因為，所以，，，
所以銳二面角的余弦值得范圍為.
22. 如圖，已知橢圓的焦點為，，離心率為，橢圓的上、下頂點分別為，右頂點為，直線過點且垂直于軸，點在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點，直線與軸交于點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）判定（為坐標原點）與的面積之和是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）
（2）面積和為定值，定值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求即可得到橢圓方程；
（2）設，分別求出點，坐標，然后求三角形面積即可.
【小問1詳解】
設橢圓方程為，焦距為，則，，
所以，，
所以橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
由題意得，，直線：，
設點，，，則①，
直線：，令，則，
所以，
直線：，令，則，
所以，
，
由①得，所以.

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