高二數(shù)學(xué)第三次月考卷（滬教版2020上海專用，必修第三冊(cè)+空間向量及應(yīng)用）2024+2025學(xué)年高中上學(xué)期第三次月考.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測(cè)試范圍：滬教版2020必修第三冊(cè)+空間向量及應(yīng)用。
5．難度系數(shù)：0.63。
一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）
1．若，且，（填一符號(hào)）．
【答案】
【解析】，且，.故答案為：.
2．已知向量，,則向量在向量方向上投影向量的坐標(biāo)為．
【答案】
【解析】向量在向量方向上投影向量為，
故答案為：
3．在正方體中，異面直線與所成角的大小是．
【答案】
【解析】如圖，

在正方體中，
因?yàn)椋詾楫惷嬷本€為與所成角，
又因?yàn)槭且詾橹苯堑牡妊苯侨切?，所以?br>即異面直線與所成角為．
故答案為：．
4．從某中學(xué)抽取12名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?8，83，84，85，87，87，90，91，92，96，98，99，則這12名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的第70百分位數(shù)是．
【答案】92
【解析】，故數(shù)據(jù)從小到大排列，選擇第9個(gè)數(shù)作為第70百分位數(shù)，即92.
故答案為：92.
5．在平行六面體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，記，，，則等于（用，，表示）．
【答案】
【解析】連接，，
故答案為：
6．已知一個(gè)圓柱的軸截面為正方形，且它的側(cè)面積為，則該圓柱的體積為．
【答案】
【解析】解：設(shè)圓柱底面的半徑為，高為，
則，解得，
所以圓柱的體積.
故選：.
7．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，，則該平面圖形的面積為．

【答案】
【解析】因?yàn)?，，所以?br>由直觀圖可得如下平面圖形，則，，

所以.故答案為：.
8．現(xiàn)從甲乙口袋各摸出一個(gè)球，如果從甲口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，則摸出的兩個(gè)球至少有1個(gè)紅球的概率為 (請(qǐng)用分?jǐn)?shù)表示) ．
【答案】23
【解析】至少有1個(gè)紅球的對(duì)立事件是兩個(gè)都不是紅球，那么求出兩個(gè)都不是紅球的概率即可；
兩個(gè)都不是紅球的概率為，至少有1個(gè)紅球的概率.
故答案為：.
9．某校高二年級(jí)為選拔參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生組織了一次考試，最后選出13名男生和7名女生，這20名學(xué)生的考試成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示（單位：分），學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于130分的人到A班培訓(xùn)，低于130分的人到B班培訓(xùn)，如果用分層抽樣的方法從到A班的人和到B班的人中共選取5人，則5人中到A班的有
人．
【答案】2
【解析】由題意結(jié)合莖葉圖的數(shù)據(jù)可知，這20名學(xué)生有8人到A班培訓(xùn)，12人到B班培訓(xùn)，
根據(jù)分層抽樣的定義知：5人中到A班的有人.
故答案為：2.
10．某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡(jiǎn)易遮陽(yáng)篷ABC，遮陽(yáng)篷是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為8的等腰直角三角形，斜邊AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽(yáng)光線與地面成30°角，則當(dāng)遮陽(yáng)篷ABC與地面所成的角大小為時(shí)，所遮陰影面ABC＇面積達(dá)到最大
【答案】
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作交AB于D，連接，由題知，
因此就是遮陽(yáng)篷ABC與地面所成的角，
因?yàn)?，則求遮陰影面面積最大，即是求最大，
又，，
設(shè)，，由正弦定理，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)所遮陰影面面積最大，
故答案為：.
11．已知、、三點(diǎn)位于平面內(nèi)，，是平面的斜線，若，則與平面所成的角的大小為．
【答案】
【解析】交于，于，與，連接，，
，，故，，，
平面，故平面，平面，故，
同理可得：，
設(shè)，故，可知，故，
與平面所成的角為，
故答案為：.
12．空間給定不共面的A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個(gè)點(diǎn)到的距離相同，另一個(gè)點(diǎn)到的距離是前三個(gè)點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個(gè)數(shù)是個(gè)．
【答案】32
【解析】首先取3個(gè)點(diǎn)相等，不相等的那個(gè)點(diǎn)由4種取法；
然后分3分個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，有以下兩種可能性：
（1）全同側(cè)，這樣的平面有2個(gè)；
（2）不同側(cè)，必然2個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，另一個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，
1個(gè)點(diǎn)的取法有3種，并且平面過(guò)三角形兩個(gè)點(diǎn)邊上的中位線，
考慮不相等的點(diǎn)與單側(cè)點(diǎn)是否同側(cè)有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個(gè)平面，
故共有6個(gè)，
所有這兩種情況共有8個(gè)，綜上滿足條件的這樣的平面共有個(gè)，
故答案為：32.
二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))
13．若，是兩個(gè)不同平面，，是兩條不同直線，則下列命題中不正確的是（）
A．，，則
B．，，則
C．，，則
D．，與，所成的角相等，則
【答案】D
【解析】解：對(duì)于A.由，，則由直線與平面垂直的判定定理得，故A正確；
對(duì)于B.由，，則由直線與平面垂直的判定定理得，故B正確；
對(duì)于C.由，，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確；
對(duì)于D.由，與，所成的角相等，則與相交、平行或異面，故D不正確.
故選：D.
14．下列四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形的個(gè)數(shù)有（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圖①可知因?yàn)镸,N分別為其所在棱的中點(diǎn),
如圖，連接AC,
故,平面ABC，
平面ABC，故平面 ,同理平面,又,
故ABC∥平面MNP,故AB∥平面MNP,圖①符合題意；
圖④,如圖,由中位線有,又四邊形ABCD為平行四邊形,故
,故AB∥PN,又平面MNP，平面MNP，故AB∥平面MNP,圖④符合題意；
至于圖②,取下底面中心O,則NO//AB,NO∩平面MNP=N,∴AB與平面MNP不平行，故②不成立.
對(duì)于圖③，如圖，過(guò)M作ME//AB,E是中點(diǎn)，ME與平面PMN相交，∴AB與平面PMN相交，∴AB與平面MNP不平行，故③不成立；
,
故選：B.
15．現(xiàn)有4個(gè)禮品盒，前三個(gè)禮品盒中分別裝了一支鋼筆，一本書以及一個(gè)筆袋，第4個(gè)禮品盒中三樣均有.現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)禮盒，事件A為抽中的盒子里面有鋼筆，事件B為抽中的盒子里面有書，事件C為抽中的盒子里面有筆袋，則下面選項(xiàng)正確的是（）
A．A與B互斥B．A與B相互獨(dú)立
C．A與互斥D．A與相互獨(dú)立
【答案】B
【解析】由題意可知：事件A為取到第1或4個(gè)禮品盒，事件B為取到第2或4個(gè)禮品盒，事件C為取到第3或4個(gè)禮品盒，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槭录槿〉降?個(gè)禮品盒，所以A與B不互斥，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>可知，所以A與B相互獨(dú)立，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭录槿〉降?或3或4個(gè)禮品盒，
則事件為取到第4個(gè)禮品盒，所以A與不互斥，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槭录槿〉降?個(gè)禮品盒，則，
且事件為取到第4個(gè)禮品盒，則，
可知，所以A與不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)M，N，設(shè)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①四邊形一定為菱形；②若四邊形的面積為，，則有最大值；③若四棱錐的體積為，，則為常值函數(shù).其中正確結(jié)論有多少個(gè)?（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
對(duì)于①，如圖1，連接.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面?br>所以，.
同理可得，.
所以，四邊形為平行四邊形.
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，平面，
又平面，所以.
因?yàn)槠矫?，平面，?br>所以，平面.
又平面，所以.
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，
所以，，
所以，，所以四邊形為菱形，故①正確；
對(duì)于②，由①知，四邊形為菱形，
所以，四邊形的面積為.
因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)最大時(shí)，面積最大.
由圖可知，當(dāng)或，即點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，有最大值，
此時(shí)或.
所以，當(dāng)，沒(méi)有最大值，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，如圖2，連接，則四棱錐被分割為三棱錐與三棱錐.
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，平面，
又平面，所以.
因?yàn)槠矫?，平面，?br>所以，平面，
所以，點(diǎn)到平面，即平面的距離等于.
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面.
又，所以點(diǎn)到平面的距離即等于點(diǎn)到平面的距離.
同理可得，點(diǎn)到平面的距離也等于.
所以，到平面的距離之和為常數(shù).
又的面積為一個(gè)常數(shù)，
所以，三棱錐與三棱錐的體積均為常數(shù)，
即四棱錐的體積一個(gè)常數(shù)，故③正確.
故選：C.
三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)
17．如圖，圓錐的底面半徑OA＝2，高PO＝6，點(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn).
(1)求圓錐的側(cè)面積和體積；
(2)求異面直線CD與AB所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）
【解析】（1）∵圓錐的底面半徑，高，
∴母線長(zhǎng)， (2分)
則圓錐的側(cè)面積，
體積； (6分)
（2）連接CO，∵C為底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，∴CO⊥AB，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，， (8分)
∴，，
∴.
∴異面直線CD與AB所成角的大小為. (14分)
18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，M為PC中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的大?。?br>【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，連接. (1分)
因?yàn)?，分別是的中點(diǎn)，
所以，. (3分)
因?yàn)?，平面，平面?br>所以，平面. (6分)
（2）

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，， (8分)
所以，，.
因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一個(gè)法向量. (10分)
設(shè)直線與平面所成角為，
因?yàn)?，?br>所以，，. (14分)
19．黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國(guó)最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一. 為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對(duì)景區(qū)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分100分），根據(jù)這100名游客的評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值；
(2)估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿意度評(píng)分的眾數(shù)、平均數(shù)（結(jié)果均精確到0.1）；
(3)景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在、的兩組中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人的概率.
【解析】（1）由頻率分布直方圖知：，可得. (2分)
（2）根據(jù)頻率分布直方圖中矩形最高組的組中值即為眾數(shù)可知，眾數(shù)為，
平均數(shù)為. (6分)
（3）因?yàn)樵u(píng)分在的頻率分別為，
則在中抽取人，設(shè)為；
在中抽取人，設(shè)為； (8分)
從這6人中隨機(jī)抽取2人，則有：
，
，共有15個(gè)基本事件，
設(shè)選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人為事件，
則有，共有8個(gè)基本事件，
所以. (14分)
20．在直角梯形中，，，，如圖1把沿翻折，使得平面平面（如圖2）．
(1)；
(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成的角為?若存在，求出點(diǎn)的具體位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由已知可得BD=2,CD=2,CD⊥BD，，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，
∴CD⊥AB； (4分)
（2）以為原點(diǎn)，BD所在的直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由已知得，
， (6分)
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得
點(diǎn)到平面的距離.
(10分)
（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成的角為，
設(shè)，
則，
，
，
整理得，該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
故在線段上不存在點(diǎn)，使得與平面所成的角為. (18分)
21．如圖1，由射線構(gòu)成的三面角，二面角的大小為，類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：.
(1)如圖2，在三棱錐中，為等腰直角三角形，為等邊三角形，，求二面角平面角的正弦值；
(2)如圖3，在三棱錐中，平面，連接，，求三棱錐體積的最大值；
(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1的基礎(chǔ)上，試證明三面角余弦定理.
【解析】（1）法1：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，
則，于是是二面角的平面角，
(1分)
設(shè)，則，
由余弦定理得，
故 (4分)
法2：利用三面角余弦定理，設(shè)二面角的平面角為，則有，
計(jì)算得，故
（2）二面角的平面角的大小為，利用三面角余弦定理得
，計(jì)算得，
于是.
由于，則. (6分)
，
即當(dāng)時(shí)，三棱錐體積的最大值為 (10分)
（3）如圖過(guò)射線上一點(diǎn)在面作交于點(diǎn)，
在面內(nèi)作交于點(diǎn)，連接，
則是二面角的平面角， (11分)
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
兩式相減得：，
則，
兩邊同除以，得：
，
從而得證. (18分)

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