一、單選題(每題5分，共40分)
1. 已知集合，，若集合且，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】首先求集合中的元素，再根據(jù)集合的元素個(gè)數(shù)，代入公式，即可求解.
【詳解】由條件可知，，，，，，，
所以集合，集合的子集的個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：C
2. 已知，，若集合，則的值為（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合相等求得，從而求得的值.
【詳解】由于，
所以，則，
所以，此時(shí)集合為，符合題意，
且.
故選：C
3. 已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定的不等式解集，確定與的關(guān)系，再代入解分式不等式即可.
【詳解】由不等式的解集為，
得，且是方程的兩根，
則，即，
不等式化為：，即，
于是，解得或
所以原不等式的解集為或.
故選：C
4. 已知集合，，，則的關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先將集合中元素化為統(tǒng)一形式，然后進(jìn)行判斷即可.
【詳解】，
,
，
故
故選：B.
5. 某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間（單位：年，）滿足，當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，當(dāng)和時(shí)分別求得最大值，即可求解.
【詳解】由題意，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，
故當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間.
故選：
6. 已知全集，集合，，，則陰影部分對(duì)應(yīng)集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次不等式及分式不等式的解法，求得集合和，結(jié)合圖形，利用集合的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由，得到，所以，
由，得到，所以，
又，得到或，
由圖可知陰影部分對(duì)應(yīng)的集合是集合，又，
所以.
故選：D.
7. 給出下列四個(gè)命題：
①的解集是全體實(shí)數(shù)R；
②，都有；
③若則
④已知，“”是命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】不等式的性質(zhì)，解不等式，基本不等式的性質(zhì)分別判斷每一個(gè)命題即可.
【詳解】，解得，故①為假命題；
當(dāng)時(shí)，，故②為假命題；
因?yàn)椋?，故③為真命題；
因?yàn)?，，所以，?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)?，顯然當(dāng)時(shí)，，
故最小值為，無(wú)最大值，
所以若命題“，”為真命題，則，故，
所以“”不是命題“，”為真命題的一個(gè)充分條件，故④為假命題.
故選：A
8. 設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（ ）
A. 9B. 1C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)，變形，利用基本不等式求最值，根據(jù)最值的條件，代入，再利用二次函數(shù)求最值.
【詳解】由題意可知，，
所以，
因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)取最大值為1，，
所以，
當(dāng)時(shí)，上式取得最大值4，所以的最大值為4.
故選：D
二、多選題（每題6分，共18分，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）.
A. 已知集合，則滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)為4
B. 若集合中只有一個(gè)元素，則
C. “”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件
D. 的一個(gè)充分條件是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)并集的結(jié)果可得，即可知A正確；易知方程只有一根，可得或，B錯(cuò)誤；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系可判斷C正確，易知可得的一個(gè)充分條件是，即D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)可知，即集合為集合的子集，
由中有2個(gè)元素，因此集合N的個(gè)數(shù)為個(gè)，即A正確；
對(duì)于B，若集合中只有一個(gè)元素，則方程只有一根，
若，方程為，滿足題意；
若，則可得，解得，滿足題意；
因此或，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由可得，
即一元二次方程有兩根，且兩根之積為，
所以兩根為一正一負(fù)，即充分性成立；
若一元二次方程有一正一負(fù)根則須滿足，
且兩根積為，即，可得必要性成立，即C正確；
對(duì)于D，由可得，易知可推出，所以可得的一個(gè)充分條件是，即D正確.
故選：ACD
10. 設(shè)集合為實(shí)數(shù)集的非空子集.若對(duì)任意，都有，則稱為封閉集.以下結(jié)論正確的序號(hào)有（ ）
①為封閉集；
②若為封閉集，則一定有；
③存在集合，A不為封閉集；
④若為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集.
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】ABC
【解析】
【分析】①設(shè)，，其中，驗(yàn)證是否屬于M即可判斷；②取x＝y(tǒng)即可判斷；③取集合即可判斷；④取，即可判斷．
【詳解】①設(shè)，，其中．
則，
∵，，∴；
，
∵，，∴；
，
∵，，∴，
綜上，為封閉集.①正確；
②若為封閉集，則，取，得，故②正確；
③取，
∵，∴A不為封閉集，故③正確；
④取，滿足條件，但，
∴不是封閉集，故④錯(cuò)誤．
故選：ABC
11. 已知為正實(shí)數(shù)，，則（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值
C. 的最小值為2D. 的最小值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】運(yùn)用可判斷A項(xiàng)；由結(jié)合基本不等式可判斷B項(xiàng)；運(yùn)用可判斷C項(xiàng)；由，結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值可判斷D.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故A正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故B正確；
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故C正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC
三、填空題（每題5分，共15分）
12. 若關(guān)于的不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】不等式化為，討論與的大小解出不等式，依題意判斷的取值范圍即可得出.
【詳解】關(guān)于的不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，解得，要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則，得；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，解得，要使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則，得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
13. 已知不等式的解集為或，若，并且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的解集可得，利用基本不等式可得的最小值為3，故，從而可得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，則，
且關(guān)于x的方程的兩根分別為1、3，
由韋達(dá)定理可得，可得，由，可得，
，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為3，
因?yàn)楹愠闪?，則，即，解得．
因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．
故答案為：
14. 已知關(guān)于x的方程（其中p，q均為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根，.若，滿足，則p的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及判別式建立不等式求解.
【詳解】由題意，，即，且，
因?yàn)椋?br>所以，則，
由可得，即，
解得或，
故答案為：
四、解答題
15. 已知集合，或，.
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合，得到或，結(jié)合并集運(yùn)算，即可求額吉；或.
（2）由（1）知，分和，兩種情況討論，結(jié)合集合的運(yùn)算法則，列出不等式組，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由集合，或，
可得或，則或.
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，，或，
所以或，可得，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)滿足；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要使得，
則滿足或，解得或，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 從下列三組式子中選擇一組比較大小：
（1）設(shè)，，，比較，的大??；
（2）設(shè)，均為正實(shí)數(shù)，，，比較，的大小；
（3）設(shè)，，，比較，的大?。?
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)可得，，再通過(guò)比較分母的大小即可得解；
（2）借助作差法作差后因式分解即可得；
（3）借助作差法比較即可得.
【小問(wèn)1詳解】
，
，
由，，
故，即有；
【小問(wèn)2詳解】
，
由，均為正實(shí)數(shù)，故，即；
【小問(wèn)3詳解】
，
由，故，，，，
即，故.
17. 已知：，，：關(guān)于的方程的兩根均大于1．
（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若和中一個(gè)為真命題一個(gè)為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）分、，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出實(shí)數(shù)的取值范圍，再取并集即可；
（2）求出當(dāng)命題為值時(shí)，結(jié)合（1），分真假及假真求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)?，，?br>當(dāng)，即時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，則有，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍；
【小問(wèn)2詳解】
解：對(duì)于命題：設(shè)方程的兩根均分別為，
則有，
由題可得，即，
解得；
又因?yàn)槿艉椭幸粋€(gè)為真命題一個(gè)為假命題，
所以或，
解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
18. 對(duì)于二次函數(shù)，若存在，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
（1）求二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)、，且、，求的最小值.
【答案】（1）和
（2）8
【解析】
【分析】（1）根據(jù)方程，即可求解不動(dòng)點(diǎn)；
（2）根據(jù)，利用韋達(dá)定理表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，再利用基本不等式求最小值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知：，
解得，，所以不動(dòng)點(diǎn)為和．
【小問(wèn)2詳解】
依題意，有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
所以，解得
所以

因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．
19 已知不等式．
（1）若，使不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）若，使不等式能成立，求的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)恒成立．若存在，求出取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）討論和兩類情況即可；
（2）將不等式化為，通過(guò)換元，借助基本不等式即可求解；
（3）將不等式化為，借助一次函數(shù)單調(diào)性即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，不等式為，可得，不符合題意；
將不等式化為：，由于，不等式恒成立，
所以解得：，
所以的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，使不等式能成立?br>也即，使得成立，
令，則，
則，
當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以
【小問(wèn)3詳解】
可化為，
若不等式對(duì)恒成立，因?yàn)椋?br>所以也即，無(wú)解
故不存.

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