湖南省株洲市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列舉法表示集合A，再利用并集的定義求解即得．
【詳解】依題意，集合，而，所以．
故選：D
2. “”是“”的（）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由等價(jià)，再結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可判斷．
【詳解】由可得，
因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：A.
3. 已知的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】應(yīng)用抽象函數(shù)定義域求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，在中，由，得?br>所以的定義域?yàn)?
故選：A
4. 已知，則的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及中間量“1”即可比較大小.
【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即，
又因?yàn)椋瑒t.
故選：D
5. 已知，，且，則的最小值為（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用均值不等式結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算即可求得答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為6，
故選：C.
6. 放射性核素鍶89會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)初始質(zhì)量為，質(zhì)量與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），若鍶89的半衰期（質(zhì)量衰減一半所用時(shí)間）約為50天，那么質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過(guò)30天衰減后質(zhì)量約變?yōu)椋? ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)時(shí)，代入函數(shù)關(guān)系式中，可得的值，進(jìn)而代入求解即可．
【詳解】由題意，鍶89半衰期（質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間）所用時(shí)間為50天，
即，則，
所以質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過(guò)30天衰減后，
質(zhì)量大約為；
故選：B．
7. 設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）
A 1B. 2C. 0D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，即，可證為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可求得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)椋?br>設(shè)，，且，
可知為奇函數(shù)，可得，
又因?yàn)椋瑒t，，
所以，即．
故選：B．
8. 已知定義在R上的函數(shù)滿足：，都有，且對(duì)任意，，都有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到，可得圖象關(guān)于對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，據(jù)此可得答案．
【詳解】令，則，因，
則，則圖象關(guān)于對(duì)稱；
又對(duì)任意，，都有，
則在上單調(diào)遞減，又圖象關(guān)于對(duì)稱，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
，故和2的距離大于等于和2的距離，
即，
解得.
故選：A
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．
9. 下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）
A. ，
B. 命題“，”的否定是“，”
C. “”是“”的充分不必要條件
D. “”的充要條件是“”
【答案】ABD
【解析】
【分析】A項(xiàng)由二元方程有解可得；B項(xiàng)由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可得；CD項(xiàng)通過(guò)分析推出關(guān)系是否成立可判斷.
詳解】對(duì)于A，由，
解得，，
即，，，故A正確；
對(duì)于B，根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可知，
命題“，”的否定為：
“，”，故B正確；
對(duì)于C，若，則不一定成立，
令，滿足，但，
即；
反之，若，由，可得，
即.
所以“”是“”的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由于是上的增函數(shù)，所以.
所以“”的充要條件是“”，故D正確．
故選：ABD．
10. 下列命題中正確的是（）
A. 任意非零實(shí)數(shù)a，b，都有
B. 若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為3
C. 當(dāng)時(shí)，的最大值是5
D. 當(dāng)時(shí)，的最小值是2
【答案】BC
【解析】
【分析】舉例說(shuō)明判斷A；利用基本不等式“1”的妙用求解判斷B，利用基本不等式求出最值判斷CD．
【詳解】對(duì)于A，取，，而，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，正數(shù)x，y滿足，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為3，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值是5，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值是2，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A. 是奇函數(shù)B. 是增函數(shù)
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出，令可判斷A；不妨設(shè)可得，根據(jù)是奇函數(shù)可判斷B；令可得，根據(jù)單調(diào)性可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，令，則；令，則，
為奇函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，不妨設(shè)，則，
，在為增函數(shù)，又是奇函數(shù)，
在為增函數(shù)，故B正確；
對(duì)于CD，令，，則，，
故C錯(cuò)誤D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為_(kāi)________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根據(jù)冪函數(shù)定義確定的可取值，再根據(jù)單調(diào)性確定出的值．
【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，符合；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不符合；
綜上所述：的值為2.
故答案為：2．
13. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，則等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)求出時(shí)的解析式，對(duì)照所給解析式得出a，b即可得解．
【詳解】設(shè)，則，所以，
所以，
又當(dāng)時(shí)，，所以，，故，
故答案為：．
14. 正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件得關(guān)于的方程，再將平方并替換，最后使用基本不等式求解即可.
【詳解】依題意，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即,故取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得關(guān)于的方程，再將平方并替換，最后使用基本不等式求解即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 計(jì)算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由指數(shù)運(yùn)算法則，直接計(jì)算即可得解．
（2）先根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)所求式子，然后將已知條件代入，利用換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，?br>所以
．
16. 記函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)的定義域?yàn)榧希?br>（1）求和；
（2）若，，且中只有三個(gè)整數(shù)元素，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先分別求出函數(shù)、的定義域A、B，再利用交集、并集的定義可求出和．
（2）由，得到A與C的關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
令，解得，
可知函數(shù)的定義域?yàn)榧希?br>令，解得，
可知函數(shù)的定義域?yàn)榧希?br>可得，所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋芍喜皇羌系淖蛹?br>由中只有三個(gè)整數(shù)元素可得，可知，
又因?yàn)椋瑒t，解得：，
所以實(shí)數(shù)p的取值范圍為．
17. 某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)．每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．
（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷售收入成本）；
（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）；
（2）70臺(tái)，最大利潤(rùn)是1760萬(wàn)元.
【解析】
【分析】（1）分、兩種情況分別求出函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式求出各段的最大值，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)（萬(wàn)元）；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)萬(wàn)元.
綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是萬(wàn)元.
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
（1）求m，n的值；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由題可得圖象過(guò)點(diǎn)結(jié)合可得m，n的值；
（2）由單調(diào)性證明步驟可證得結(jié)論；
（3）由題可得，后討論結(jié)合單調(diào)性可得，即可得范圍．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，
則，解得．所以函數(shù)，
經(jīng)檢驗(yàn)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，.
【小問(wèn)2詳解】
在上單調(diào)遞增．證明如下：
設(shè)，
則，
其中，，，
則，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)閷?duì)任意的，總存在，使得，則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可得，
當(dāng)時(shí)，；所以恒成立，符合題意；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，
即，解得；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即，解得；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
19. 若定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得，則稱為上的“階交匯函數(shù)”．對(duì)于函數(shù)，記，，，…，，其中，2，3，…，并對(duì)任意的，記集合，并規(guī)定．
（1）若，函數(shù)的定義域?yàn)?，求并判斷是否為上的?階交匯函數(shù)”；
（2）若函數(shù)，試比較和的大?。?br>（3）設(shè)，若函數(shù)的定義域?yàn)椋冶磉_(dá)式為：，試證明對(duì)任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得為上的“階交匯函數(shù)”．
【答案】（1），為上“2階交匯函數(shù)”
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義直接計(jì)算；
（2）根據(jù)新定義直接求值比較即可；
（3）由函數(shù)定義說(shuō)明的長(zhǎng)度不變，然后得出在，，，…，（存在正整數(shù)，它們的長(zhǎng)度和大于1）中，必然存在正整數(shù)，使得，再分析得到對(duì)任意的，，進(jìn)而得到，，從而證明結(jié)論成立．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)椋?br>所以為上的“2階交匯函數(shù)”.
【小問(wèn)2詳解】
由，，
則，，，
根據(jù)周期性可得，
，，，
根據(jù)周期性可得，
所以.
【小問(wèn)3詳解】
證明：對(duì)于任意有限的區(qū)間，記表示區(qū)間的長(zhǎng)度，如果一個(gè)集合是若干個(gè)區(qū)間的并集，則等于組成它的所有區(qū)間的長(zhǎng)度之和，
對(duì)于任意的區(qū)間，，，
不妨設(shè)，，
若，則，，
若，則，，
若，則，，
所以，
對(duì)于任意的區(qū)間，顯然存在正整數(shù)，使得，
因此在，，，…，（它們的長(zhǎng)度和大于1）中，
必然存在正整數(shù)，使得，
因此必存在，使得，
又，則，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又，因此對(duì)任意的，，
所以，，…，，
這表示，取，
所以對(duì)任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得，
即對(duì)任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得為上的“階交匯函數(shù)”．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解新定義，能迅速運(yùn)用新定義解題，加速理解新定義，在問(wèn)題（3）的證明中抓住函數(shù)的定義域區(qū)間“長(zhǎng)度”與值域“長(zhǎng)度”不變，從而有，然后利用新定義追根溯源得出．

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