一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知的定義域為則的定義域為（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，且，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．放射性核素鍶89會按某個衰減率衰減，設(shè)初始質(zhì)量為，質(zhì)量與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），若鍶89的半衰期（質(zhì)量衰減一半所用時間）約為50天，那么質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過30天衰減后質(zhì)量約變?yōu)椋? ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．D．
7．設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（ ）
A．1B．2C．0D．4
8．已知定義在R上的函數(shù)滿足：，都有，且對任意，，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9．下列四個結(jié)論中正確的是（ ）
A．，，
B．命題“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要條件
D．“”的充要條件是“”
10．下列命題中正確的是（ ）
A．任意非零實數(shù)a，b，都有
B．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為3
C．當時，的最大值是5
D．當時，的最小值是2
11．已知函數(shù)的定義域為，且滿足，當時，，則（ ）
A．是奇函數(shù)B．是增函數(shù)
C．D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為_________．
13．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則等于_________．
14．正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為_________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．計算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
16．記函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的定義域為集合，
（1）求和；
（2）若，，且中只有三個整數(shù)元素，求實數(shù)p的取值范圍．
17．隨著中國老齡化趨勢加深、醫(yī)保體制日益健全以及人民生活水平不斷提升，人均醫(yī)療保健消費支出和衛(wèi)生費用保持快速增長，低值醫(yī)用耗材市場增速客觀．某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺．每生產(chǎn)x臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完．
（1）寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤＝銷售收入－成本）；
（2）當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
（1）求m，n的值；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
19．若定義在上的函數(shù)滿足對任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得，則稱為上的“階交匯函數(shù)”．對于函數(shù)，記，，，…，，其中，并對任意的，記集合，并規(guī)定．
（1）若，函數(shù)的定義域為，求并判斷是否為上的“2階交匯函數(shù)”；
（2）若函數(shù)，試比較和的大小；
（3）設(shè)，若函數(shù)的定義域為，且表達式為：，試證明對任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得為上的“階交匯函數(shù)”．
株洲市二中2024年下學期高一年級期中考試試卷
數(shù)學試題參考答案
1．【答案】D
【分析】利用列舉法表示集合A，再利用并集的定義求解即得．
【詳解】依題意，集合，而，所以．
故選：D
2．【答案】A
【分析】由等價，再結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可判斷．
【詳解】由可得，
因為，所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：A
3．【答案】A
【分析】應(yīng)用抽象函數(shù)定義域求解即可．
【詳解】因為的定義域為，所以所以的定義域為．
故選：A．
4．【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及中間量“1”即可比較大小．
【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即，
又因為，則．
故選：B．
5．【答案】C
【分析】利用均值不等式結(jié)合指數(shù)冪的運算即可求得答案
【詳解】解：因為，所以，
因為，，所以，
當且僅當即時，取等號，故的最小值為6，
故選：C
6．【答案】B
【分析】根據(jù)時，代入函數(shù)關(guān)系式中，可得的值，進而代入求解即可．
【詳解】由題意，錢89半衰期（質(zhì)量衰減一半所用的時間）所用時間為50天，
即，則，
所以質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過30天衰減后，
質(zhì)量大約為；
故選：B．
7．【答案】2
【分析】構(gòu)造函數(shù)，即，可證為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可求得結(jié)果．
【詳解】，設(shè)，，
且，則為奇函數(shù)，
，則，所以，，
所以，所以．
故答案為：2．
8．【答案】A
【分析】由題可得圖象關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞減，據(jù)此可得答案．
【詳解】令，則，因，
則，則圖象關(guān)于對稱；
又對任意，，都有，
則在上單調(diào)遞減，又圖象關(guān)于對稱，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
．
故選：A
9．【答案】ABD
【分析】根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題、充分和必要條件等知識對選項進行分析，從而確定正確答案．
【詳解】對于A，，解得，，
即，，，A正確；
對于B，根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知：
命題“，”的否定為：，，B正確；
對于C，若，則不一定成立，如，但，
反之，若，則，所以“”是“”的必要不充分條件，C錯誤；
對于D，由于是增函數(shù)，所以：若，則，反之若，則，
所以“”的充要條件是“”，D正確．故選：ABD．
10．【答案】BC
【分析】舉例說明判斷A；利用基本不等式“1”的妙用求解判斷B，利用基本不等式求出最值判斷CD．
【詳解】對于A，取，，而，A錯誤；
對于B，正數(shù)x，y滿足，則，當且僅當時取等號，B正確；
對于C，當時，，當且僅當時取等號，C正確；
對于D，當時，，當且僅當時取等號，D錯誤；故選：BC
11．【答案】ABD
【分析】求出，令可判斷A；不妨設(shè)可得，根據(jù)是奇函數(shù)可判斷B；令可得，根據(jù)單調(diào)性可判斷CD．
【詳解】對于A，令，則；令，則，
為奇函數(shù)，故A正確；
對于B，不妨設(shè)，則，
，在為增函數(shù)，又是奇函數(shù)，
在為增函數(shù)，故B正確；
對于CD，令，則，，故C錯誤D正確．
故選：ABD．
12．【答案】2
【分析】先根據(jù)冪函數(shù)定義確定的可取值，再根據(jù)單調(diào)性確定出的值．
【詳解】因為為幕函數(shù)，所以，所以，
當時，，在上單調(diào)遞增，符合；
當時，，在上單調(diào)遞減，不符合；故答案為：2．
13．【答案】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)求出時的解析式，對照所給解析式得出a，b即可得解．
【詳解】設(shè)，則，所以，所以，
又當時，，所以，，故，
故答案為：．
14．【答案】
【分析】根據(jù)已知條件得關(guān)于的方程，再將平方并替換，最后使用基本不等式求解即可．
【詳解】依題意，因為，
所以，所以，
即
，
當且僅當，即，故取等號，
所以的最小值為．
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得
關(guān)于的方程，再將平方并替換，最后使用基本不等式求解即可．
15．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由指數(shù)運算法則，直接計算即可得解．
（2）先根據(jù)指數(shù)運算法則化簡所求式子，然后將已知條件代入，利用換底公式化簡計算即可求解．
【詳解】（1）
．
（2）因為，，
所以
．
16．【答案】（1），（2）
【分析】（1）先分別求出函數(shù)、的定義域A、B，再利用交集、并集的定義可求出和．
（2）由，得到A與C的關(guān)系，即可求出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1），解得函數(shù)的定義域為集合．
函數(shù)的定義域為集合．
，解得；
函數(shù)的定義域為集合．
，．
（2），；
由中只有三個整數(shù)元素可得，，
又，，解得：，故．
【點睛】本題考查了集合的交集和并集運算，根據(jù)交集結(jié)果求參數(shù)．
17．【答案】（1）
（2）綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1760萬元．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤＝銷售收入－成本的公式，分，兩種情況討論，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式，分別求解分段函數(shù)的最大值，再通過比較大小，即可求解．
【詳解】（1）由題意可得：當時，
當時，，
故．
（2）當時，，
得時萬元；
當時，，
當且僅當，即時等號成立，此時萬元．
綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1760萬元．
18．【答案】（1），；
（2）單調(diào)遞增，證明見解析
（3）
【分析】（1）由題可得圖象過點結(jié)合可得m，n的值；
（2）由單調(diào)性證明步驟可證得結(jié)論；
（3）由題可得，后討論結(jié)合單調(diào)性可得，即可得范圍．
【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，
則，解得．所以函數(shù)，
經(jīng)檢驗，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，；
（2）在上單調(diào)遞增．
證明如下：設(shè)
則，
其中，，
所以，即，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（3）因為對任意的，總存在，使得，所以，
因為在上單調(diào)遞增，所以，
當時，；所以恒成立，符合題意；
當時，在上單調(diào)遞增，則，
所以，解得；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，所以，解得．，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．
19．【答案】（1），為上的“2階交匯函數(shù)”
（2）（1）（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)新定義直接計算；
（2）根據(jù)新定義直接求值比較即可；
（3）由函數(shù)定義說明的長度不變，然后得出在，，，…，（存在正整數(shù)，它們的長度和大于1）中，必然存在正整數(shù)，，使得，再分析得到對任意的，，，進而得到，，從而證明結(jié)論成立．
【詳解】（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當時，，所以，
當時，，所以，
因為，
所以為上的“2階交匯函數(shù)”．
（2）由，，
則，，，
根據(jù)周期性可得，
，，
根據(jù)周期性可得，所以．
（3）證明：對于任意有限的區(qū)間，記表示區(qū)間的長度，如果一個集合A是若干個區(qū)間的并集，則等于組成它的所有區(qū)間的長度之和，
對于任意的區(qū)間，，，
不妨設(shè)，，
若，則，，
若，則，，
若，則，，
所以，
對于任意的區(qū)間，顯然存在正整數(shù)，使得，
因此在，，，…，（它們的長度和大于1）中，
必然存在正整數(shù)，，使得，
因此必存在，，使得，
又，則，
則當時，，
當時，，
又，因此對任意的，，，
所以，，…，，
這表示，取，
所以對任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得，
即對任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得為上的“階交匯函數(shù)”．
【點睛】方法點睛：對于函數(shù)新定義問題，關(guān)鍵是正確理解新定義，能迅速運用新定義解題，加速理解新定義，在問題（3）的證明中抓住函數(shù)的定義域區(qū)間“長度”與值域“長度”不變，從而有，然后利用新定義追根溯源得出．

相關(guān)試卷

湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期第一次月考數(shù)學試卷：

這是一份湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期第一次月考數(shù)學試卷，共16頁。試卷主要包含了集合用列舉法表示為，下列命題的否定為真命題的是，已知，則“”是“”的，已知，則的解析式為，已知，則的取值范圍是，已知，則下列結(jié)論正確的是，已知函數(shù)滿足，有以下判斷，其中是正確判斷的有等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期第一次月考數(shù)學試卷：

這是一份湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期第一次月考數(shù)學試卷，文件包含湖南省株洲市第二中學20242025學年度高一上學期第一次月考數(shù)學試卷pdf、答案pdf等2份試卷配套教學資源，其中試卷共17頁， 歡迎下載使用。

湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期開學考試數(shù)學試題（B卷）（解析版）：

這是一份湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期開學考試數(shù)學試題（B卷）（解析版），共15頁。試卷主要包含了 下列運算正確的是， 下列方程中兩根之和為6的是， 設(shè)集合，若，則， 定義等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期開學考試數(shù)學試題（B卷）

湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期開學考試數(shù)學試題（B卷）
湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期開學考試數(shù)學試題（B卷）

湖南省株洲市第二中學2024-2025學年高一上學期開學考試數(shù)學試題（B卷）
湖南省株洲市第二中學2021-2022學年高一上學期期中測試數(shù)學試卷

湖南省株洲市第二中學2021-2022學年高一上學期期中測試數(shù)學試卷
湖南省株洲市第二中學2022-2023學年高一上學期入學考試數(shù)學試卷（A卷）含答案

湖南省株洲市第二中學2022-2023學年高一上學期入學考試數(shù)學試卷（A卷）含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部