時量：120分鐘 滿分：150分
得分：__________.
一?選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）
1.已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2.函數(shù)的定義域為（ ）
A. B. C. D.
3.已知是第四象限角，且，則（ ）
A. B. C. D.
4.若，設，則的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
5.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
6.若函數(shù)的圖象的兩個對稱中心的最短距離為，則的值為（ ）
A. B. C. D.
7.已知分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列命題中真命題的個數(shù)為（ ）
①的最大值為1；
②；
③；
④方程有唯一實數(shù)根.（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知函數(shù)若存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（ ）
A.在區(qū)間上單調(diào)遞增
B.的圖象關于點對稱
C.若，則的最小值為
D.若，則
11.已知奇函數(shù)的定義域為，且，若對于任意的且，都有
，則（ ）
A.的圖象關于直線對稱
B.4為函數(shù)的一個周期
C.在區(qū)間上單調(diào)遞減
D.當且時，恒有
三?填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）
12.計算：__________.
13.魯洛克斯三角形（又稱勒洛三角形）是一種特殊三角形，具有神奇的性質(zhì)，在機械加工業(yè)上有廣泛的應用，它可以用來制作車輪、鉆出方形孔等，分別以正三角形的頂點為圓心，邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形就是魯洛克斯三角形.如圖是一個魯洛克斯三角形，其中的長度為，則中間正三角形的面積為__________.
14.已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________，若這四個零點有如下關系，，則的取值范圍是__________.
四?解答題（本大題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.（本題滿分13分）
已知角，角的終邊過點.
（1）求與的值；
（2）求的值.
16.（本題滿分15分）
設函數(shù).
（1）若，證明：函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）若，對任意，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
17.（本題滿分15分）
近年來，伴隨著騎行運動的蓬勃興起，越來越多的體育愛好者投身于騎行的行列中，“2024環(huán)太湖國際公路自行車賽”更是為廣大騎行愛好者提供了一場精彩絕倫的體育盛宴.科學研究表明：騎行運動一般分為兩個階段，第一階段為前1小時的穩(wěn)定階段，第二階段為調(diào)整階段.現(xiàn)一體重為60千克的專業(yè)騎行運動員進行4小時騎行訓練，假設其穩(wěn)定階段是速度為的勻速運動，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時間），調(diào)整階段由于體力消耗過大，速度變?yōu)榈臏p速運動（表示該階段所用時間）.調(diào)整階段速度降低，體力得到一定恢復，該階段每千克體重消耗體力，已知該運動員初始體力為，不考慮其他因素，所用時間為（單位：h），請回答下列問題：
（1）請寫出該運動員剩余體力關于時間的函數(shù)；
（2）該運動員在4小時內(nèi)何時體力達到最低值，最低值為多少？
18.（本題滿分17分）
已知函數(shù)的圖象關于點對稱，
且函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的值域；
（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，記方程在區(qū)間上的根從小到大依次為，，求的值.
19.（本題滿分17分）
已知定義域為的函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對任意，都存在滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
（1）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由；
①；②.
（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若存在唯一的實數(shù)，使得函數(shù)，在區(qū)間上具有性質(zhì)，求實數(shù)的值.
2024年高一第一學期期來質(zhì)量撿測考試
數(shù)學參考答案
一?選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）
1.A 【解析】，故選A.
2.C 【解析】由題意得，解得，故選C.
3.B 【解析】，由是第四象限角得，故選B.
4.C 【解析】，故選C.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
B
C
B
A
C
D
BC
ACD
ABD
5.B 【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，且存在零點，得，故選B.
6.A 【解析】設函數(shù)的最小正周期為，由題意可知，可得，
則，故選A.
7.C 【解析】由題意可知又分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
則解得，故①錯誤；，故②錯誤；
，故③正確；
，
，解得，故④正確.故選C.
8.D 【解析】在上單調(diào)遞減，且，而在上單調(diào)遞增，要使存在最小值，結合分段函數(shù)的圖象可得：，即，故選D.
二?多選題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.BC 【解析】對于A，，但與不能比較大小，故A不一定成立；
對于B，，故B成立；對于C，由題意得，故C成立；
對于D，由，但符號不確定，故D不一定成立.
10.ACD 【解析】選項A：令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，取，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項A正確；選項B：令，則，
取，則有，因此的圖象關于點對稱，故選項B不正確；
選項C：若，則在和處分別取最大值和最小值，因此，故，選項C正確；
選項D：若，則是函數(shù)的零點，
故，選項D正確.
11.ABD 【解析】選項A：因為是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱，由，得的圖象關于直線對稱，由對稱性可知，函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，故A正確；
選項B：由與，得，
所以，則4為函數(shù)的一個周期，故B正確；
選項C：因為對于任意的且，都有，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為的圖象關于直線對稱，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；
選項D：由上可知點是的對稱中心，又因為，所以，故D正確.
三?填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）
12.6 【解析】原式.
13. 【解析】設中間正三角形的邊長為，則有，解得，所以.
14. （第1空2分，第2空3分）
【解析】由圖象可知，要使函數(shù)有四個不同的零點，即方程有四個不同的解，則需.
由二次函數(shù)的對稱性可知，，由對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，，則
，函數(shù)在上遞減，在上遞增，故其值域為.
四?解答題（本大題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15.【解析】（1）.
由三角函數(shù)的定義，.
（2），
，
，
，
所以.
16.【解析】（1）當時，函數(shù)，
因為，則，所以的定義域為，
對任意，有，
所以是奇函數(shù).
（2）當時，在上單調(diào)遞增，證明如下：
證明：（法一）當時，恒成立，故函數(shù)定義域為，
任取，且，則，
因為，
所以在上單調(diào)遞增.
（法二）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
從而函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因為對任意恒成立，所以恒成立，
①當時，顯然成立；
②當時，得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
17.【解析】（1）由題意寫出速度關于時間的函數(shù)
代入與公式可得
即
（2）①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過程中；
②調(diào)整階段，
則有，
當且僅當，即時，等號成立，
所以調(diào)整階段中體力最低值為，
由于，
因此該運動員在時，體力達到最低值，為.
18.【解析】（1）由題意，函數(shù)，因為圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以最小正周期，可得，
因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以圖象過點，可得，
所以，因為，所以，所以函數(shù).
（2），
令，
則，所以原函數(shù)可化為，
因為對稱軸是直線，所以當時，，
當時，，
即的值域是.
（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，
再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)，
（法一）由方程，可得，所以，或，
即或，
因為，且，
所以，符合題意，
所以.
（法二）對于方程，方程的根可以轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上的零點，由的圖象可知函數(shù)有6個零點，且相鄰的兩個零點關于對稱軸對稱.
令，得，
因為，所以這五條對稱軸分別為，
所以
.
19.【解析】（1）①函數(shù)不具有性質(zhì).理由如下：
對于，取，對于任意，有，所以不存在滿足，所以函數(shù)不具有性質(zhì).
②函數(shù)具有性質(zhì).理由如下：
因為的定義域與值域均為，
所以對于任意，有，
則必存在，使得，即成立.
所以函數(shù)具有性質(zhì).
（2）因為函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，
所以對任意，都存在使得，即，可得，
因為，所以，又，所以，
即解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
（3）由題意，對于任意，存在滿足，所以，
由，則，設的值域為，則.
（i）：當時，的值域為，此時，
解得，不符合題意；
（ii）：當時，圖象的對稱軸為，開口向上且，
值域為，此時，解得，不符合題意；
（iii）：當時，的對稱軸為，開口向下，
①當，即時，
，值域為，
所以，得到
由的唯一性，得，解得或（舍去），
②當，即時，
，值域為，
所以，得到
由的唯一性，得，解得，不符合題意.
③當，即時，
，值域為，
所以，得到
由的唯一性，得，解得，符合題意.
綜上所述，或.

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