時間：120分鐘 滿分：150分
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1.若直線l經過，兩點，則直線l的傾斜角為（ ）
A.B.C.D.
2.拋物線的準線方程是（ ）
A.B.C.D.
3.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
4.等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A.37B.38C.39D.40
5.設P是雙曲線上一點，，分別是雙曲線左、右焦點，若，則（ ）
A.1B.17C.1或17D.以上答案均不對
6.在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點，若，，，則用基底表示向量為（ ）
A.B.C.D.
7.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點，的距離之比為定值（，且）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡的圓心坐標為（ ）
A.B.C.D.
8.已知雙曲線：的一條漸近線方程是，，分別為雙曲線的左、右焦點，過點且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點，則（ ）
A.B.C.D.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分）
9.（多選）已知兩條直線、的方程分別為與，下列結論正確的是（ ）
A.若，則B.若，則兩條平行直線之間的距離為
C.若，則D.若，則直線、一定相交
10.（多選）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，，前項和為，下列選項正確的是（ ）
A.B.
C.當時最小D.時的最小值為8
11.（多選）在平面直角坐標系中，點在拋物線上，拋物線的焦點為，延長與拋物線相交于點，則下列結論中正確的是（ ）
A.拋物線的準線方程為B.線段的長度為
C.點的坐標為D.的面積為
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.過點，且到點的距離為5的直線方程為______.
13.已知數(shù)列的前項和，則______.
14.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點.若，，則的離心率為______.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15.（滿分13分）
已知直線：；：，設直線，的交點為.
（1）求的坐標；
（2）若直線過點且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.
16.（滿分15分）
已知圓的圓心在直線上，且圓過，兩點.
（1）求圓的標準方程；
（2）過點作圓的切線，求切線的方程.
17.（滿分15分）如圖，是三棱錐的高，，為的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值.
18.（滿分17分）
已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且.
（1）求實數(shù)的值及拋物線的標準方程；
（2）不過點的直線與拋物線相交于，兩點，若直線，的斜率之積為，試判斷直線能否與圓相切？若能，求此時直線的方程；若不能，請說明理由.
19.（滿分17分）
已知橢圓：的一個頂點為，離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，分別與軸交于點，，設橢圓的左頂點為，求的值.
武安一中2024—2025學年第一學期11月考試高二數(shù)學 答案
1.A 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B
7.答案.A
解析：令，則，平方整理得，
圓心為.故選A.
8.【答案】D
9.ABD
解析：若，則，，A正確；
由A知，：，直線可化為，
兩條平行直線之間的距離為，B正確.
由，則，，C不正確；
由A知時，，所以時，則直線，一定相交，D正確.故選ABD.
10.[答案]ABD
[解析]由題意，設等差數(shù)列的公差為.
因為，所以，解得.
又等差數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，則，故選項A，B正確；
因為，且，
所以當或4時最小，故選項C錯誤；
令，解得或，即時的最小值為8，
故選項D正確.故選ABD.
11.[答案]ACD
[解析]將代入拋物線方程，可得，因此拋物線方程為，
于是準線方程為，焦點坐標為，故A正確；
設，由焦點弦的性質可知，所以，代入拋物線方程可得，
即，所以，故B錯誤，C正確；
的面積，故D正確.故選ACD.
12.[答案]或
[解析]當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則其方程為，
即，由點到直線的距離公式得，解得，
此時直線方程為.當直線的斜率不存在時，也滿足條件.
綜上可知所求直線方程為或。
13.[答案]
[解析]，，.
而不適合上式，
14.[答案]2
[解析]：如圖，由知為線段的中點，
為線段的中點，，，
，且，
，，
又易知，為正三角形，
可知，.
15.（滿分13分）解：（1）聯(lián)立方程解得.
（2）直線在兩坐標軸上的截距相等，直線的斜率為或經過原點，
當直線過原點時，直線過點，的方程為；
當直線斜率為時，直線過點，的方程為，
綜上，直線的方程為或.
16.答案：第一問6分；第二問9分；
解：（1），線段的中垂線斜率為，
又線段的中點為，線段的中垂線方程為，即.
由可得即，半徑為，
圓的標準方程為.
（2）由題知，切線的斜率存在，設切線的斜率為，
則：，即.
，解得，.
的方程為或.
17.答案：第一問6分；第二問9分；
[解]（1）證明：取的中點，連接，，.
因為，所以.因為為三棱錐的高，所以平面.
因為平面，所以.又因為，平面，且，
所以平面.因為平面，所以.
又因為，所以.因為平面，平面，
所以平面.因為，分別為，的中點，所以.
因為平面，平面，所以平面.
又，平面，，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）連接.因為平面，，平面，所以，，
所以.則在中，，
所以，.
又因為，所以在中，.
以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，以過點垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，，
所以，，.
設平面的法向量為，則
即令，則.
設平面的法向量為，則
即令，則.
設二面角的平面角為，
所以，所以.
18.答案：第一問6分；第二問11分；
[解]（1）由題意得，因為點在拋物線上，所以，
由拋物線的定義，得，則解得所以拋物線的標準方程為.
（2）由（1）得，
設點，，則，，
所以，得
設直線方程為，由
得，所以，，
所以，得，所以直線的方程為，
即直線恒過拋物線內部的定點，
又圓：正好經過點，
當且僅當直線與半徑垂直時直線與圓相切，此時，
所以直線的方程為.
19.答案：第一問6分；第二問11分；
[解]（1）由題設，得解得所以橢圓的方程為.
（2）直線的方程為.
由得.
由，得.
設，，則，.
直線的方程為.
令，得點的橫坐標為.
同理可得點的橫坐標為.
.
因為點的坐標為，所以點為線段的中點，所以.

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