2024年11月
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡指定位置上．
3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫．
4．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．
一、單選題
1. 已知集合，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)交集運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選:A.
2. 下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；
②命題“”是全稱量詞命題；
③命題“”的否定形式是“”
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的概念判斷①②的真假，根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系判斷③的真假.
【詳解】對(duì)①：因?yàn)槊}中含有“所有的”這個(gè)全稱量詞，故命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，所以①錯(cuò)誤；
對(duì)②：因?yàn)槊}含有“任意”這個(gè)全稱量詞，故命題“”是全稱量詞命題，所以②正確；
對(duì)③：命題“”的否定形式是“”，所以③錯(cuò)誤.
正確的命題個(gè)數(shù)是1.
故選：B
3. 已知函數(shù)是冪函數(shù)，則的值為（ ）
A. B. 2C. 或2D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】由冪函數(shù)的定義可得，求解即可.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，
所以,即，解得或2.
故選:C.
4. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. 3C. 1D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知函數(shù)解析式可先求，然后代入可求.
【詳解】由，則.
故選：B
5. 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同一函數(shù)的判定方法，結(jié)合定義域和對(duì)應(yīng)法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)與的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；
對(duì)于B中，函數(shù)和，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)；
對(duì)于C中，函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；
對(duì)于D中，函數(shù)滿足，解得，即函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù).
故選：B.
6. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值.
【詳解】由題得，故答案為D
【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)奇函數(shù)f(-x)=-f(x).
7. “函數(shù)的定義域?yàn)镽”是“”的（ ）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)的定義域?yàn)镽，即對(duì)任意x∈R恒成立，可得a的范圍，則可得 “函數(shù)的定義域?yàn)镽” 是“”的必要不充分條件.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以對(duì)任意x∈R恒成立，
①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意x∈R恒成立；
②當(dāng)時(shí)，只需，解得：；
所以.
記集合，.
因?yàn)锳?B，所以 “函數(shù)的定義域?yàn)镽” 是“”的必要不充分條件.
故選：B.
8. 已知且，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A. m≥2B. m≥4C. m≥6D. m≥8
【答案】D
【解析】
【分析】由條件結(jié)合基本不等式可求的范圍，化簡(jiǎn)不等式可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求的最大值，由此可求m的取值范圍.
【詳解】不等式可化為，又，，
所以，
令，則，
因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又已知在上恒成立，所以
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以m≥8，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時(shí)等號(hào)成立，
所以m的取值范圍是，
故選：D.
二、多選題
9. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，下列四個(gè)命題中真命題是（ ）
A. 若，，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，，則
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的已知條件，利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，則，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，可得，兩邊同時(shí)除以，可得，即B正確；
對(duì)于C，若可得，即，
由可得，即，因此可得，即C正確；
對(duì)于D，若，c=?1>d=?2，可得，即D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 若函數(shù)在上是減函數(shù)，則關(guān)于實(shí)數(shù)a的可能取值是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】AB
【解析】
【分析】先考慮各部分函數(shù)的單調(diào)性，然后分析兩段函數(shù)在處的函數(shù)值的大小關(guān)系，從而求解出的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，在上遞減，所以對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，在上遞減，所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
綜上可知：.
所以實(shí)數(shù)a的可能取值為內(nèi)的任意實(shí)數(shù).
故選：AB
11. 定義在上的偶函數(shù)滿足：，且對(duì)于任意，，若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 在上單調(diào)遞增B.
C. 在上單調(diào)遞減D. 若正數(shù)滿足，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷、的單調(diào)性判斷AC，根據(jù)單調(diào)性比較大小判斷B，根據(jù)單調(diào)性解不等式判斷D.
【詳解】對(duì)于任意，，
所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以?br>所以為奇函數(shù)，所以，由在上單調(diào)遞增，
所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于任意，
，
因?yàn)?，，所以，所以?br>所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，即，
又，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
解得，即，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
三、填空題
12. 函數(shù)的定義域?yàn)開_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)求定義域的法則求解.
【詳解】要使函數(shù)有意義，
需滿足，即，
則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故答案為：.
13. 函數(shù)，則該函數(shù)值域?yàn)開_________．
【答案】
【解析】
【分析】分段求值域，再取并集即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)對(duì)稱軸是，且開口向上，
此時(shí)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即
所以得值域?yàn)?
故答案為:.
14. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒有，則實(shí)數(shù)的最大值為_____．
【答案】
【解析】
【分析】寫出函數(shù)的解析式，判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，結(jié)合，可得出在區(qū)間上恒成立，于是得出，從而解出實(shí)數(shù)的取值范圍，得出的最大值.
【詳解】由于函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，由，得，
即在上恒成立，則，
化簡(jiǎn)得，解得，因此，實(shí)數(shù)的最大值為，
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式恒成立問題，解題時(shí)要充分分析函數(shù)單調(diào)性與奇偶性，并將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.
四、解答題
15. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出集合，再根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)的定義求解即可；
（2）由題意可得根據(jù)子集的定義求解即可.
【小問1詳解】
由題意得，集合
所以，；
【小問2詳解】
因?yàn)?，所?br>又因，所以，即.
所以的取值范圍為.
16. 已知關(guān)于x的不等式的解集為或（）.
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求k的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根據(jù)不等式的解集為或，由1和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，利用韋達(dá)定理求解；方法二：根據(jù)不等式的解集為或，由1和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，將1代入求解.
（2）易得，再利用“1”的代換，利用基本不等式求解.
【小問1詳解】
解：方法一：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍?br>所以1和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，
所以，解得
方法二：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍?br>所以1和b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，
由1是的根，有，
將代入，
得或，
∴；
【小問2詳解】
由（1）知，于是有，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
依題意有，即，
得，
所以k的取值范圍為.
17. 在充分競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)環(huán)境中，產(chǎn)品的定價(jià)至關(guān)重要，它將影響產(chǎn)品的銷量，進(jìn)而影響生產(chǎn)成本、品牌形象等某公司根據(jù)多年的市場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)得到了其生產(chǎn)的產(chǎn)品A在一個(gè)銷售季度的銷量單位：萬(wàn)件)與售價(jià)單位：元)之間滿足函數(shù)關(guān)系，A的單件成本單位：元)與銷量y之間滿足函數(shù)關(guān)系．
當(dāng)產(chǎn)品A的售價(jià)在什么范圍內(nèi)時(shí)，能使得其銷量不低于5萬(wàn)件？
當(dāng)產(chǎn)品A的售價(jià)為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大？(注：總利潤(rùn)銷量售價(jià)單件成本
【答案】（1）（2）14元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中所給的解析式，分情況列出其滿足的不等式組，求得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，列出利潤(rùn)對(duì)應(yīng)的解析式，分段求最值，最后比較求得結(jié)果.
【詳解】（1）由得，或
解得，或.
即.
答：當(dāng)產(chǎn)品A的售價(jià)時(shí)，其銷量y不低于5萬(wàn)件．
（2）由題意，總利潤(rùn)
①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，時(shí)，利潤(rùn)最大.
答：當(dāng)產(chǎn)品A的售價(jià)為14元時(shí)，總利潤(rùn)最大．
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的最值，注意認(rèn)真分析題意，最后求得結(jié)果.
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3）解不等式．
【答案】（1），
（2）減函數(shù)；證明見解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和求解即可.
（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明即可.
（3）首先將題意轉(zhuǎn)化為解不等式，再結(jié)合的單調(diào)性求解即可.
小問1詳解】
函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
；，解得，
∴，而，解得，
∴，．
【小問2詳解】
函數(shù)在上為減函數(shù)；
證明如下：任意且，則
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>所以，所以，
即，所以函數(shù)在上為減函數(shù)．
【小問3詳解】
由題意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，
所以該不等式的解集為．
19. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，若存在正?shí)數(shù)，使得任意，都有，且，則稱在集合上具有性質(zhì).
（1）已知函數(shù)，判斷在區(qū)間上是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)，且在區(qū)間上具有性質(zhì)，求正整數(shù)的最小值；
（3）如果是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且在上具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）不具有，理由見解析
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合定義舉出反例即可得；
（2）由題意可得，即可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（3）由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再證明時(shí)，在R上具有性質(zhì)即可得.
【小問1詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間?1,0上不具有性質(zhì)；
【小問2詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)镽，
對(duì)任意，則，
在區(qū)間0,1上具有性質(zhì)，
則，即，
因?yàn)槭钦麛?shù)，化簡(jiǎn)可得：對(duì)任意恒成立，
設(shè)，其對(duì)稱軸為，
則在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以，，解得，
故正整數(shù)的最小值為2；
【小問3詳解】
法一：由是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，
則，解得，
若，，有恒成立，所以符合題意，
若，當(dāng)時(shí)，，
所以有，
若在R上具有性質(zhì)，則對(duì)任意x∈R恒成立，
在上單調(diào)遞減，則，x不能同在區(qū)間內(nèi)，
，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若時(shí)，今，則，故，不合題意；
，解得，
下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，
若，則，
當(dāng)時(shí)，則，，
所以成立；
當(dāng)時(shí)，則，
可得，，即成立；
當(dāng)時(shí)，則，
即成立；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意x∈R均有成立，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
法二：由是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，則，解得.
作出函數(shù)圖像：
由題意得：，解得，
若，，有恒成立，所以符合題意，
若，則，
當(dāng)時(shí)，則，，
所以成立；
當(dāng)時(shí)，則，
可得，，即成立；
當(dāng)時(shí)，則，
即成立；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意x∈R均有成立，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于由題意得出必要條件，再證明其充分性即可得.

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