培優(yōu)點(diǎn)06 平面向量的綜合應(yīng)用（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）-2025高考數(shù)學(xué)一輪精講講練（新高考版）

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題型一 平面向量在幾何中的應(yīng)用
用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟
平面幾何問(wèn)題eq \(――→,\s\up7(設(shè)向量))向量問(wèn)題eq \(――→,\s\up7(計(jì)算))解決向量問(wèn)題eq \(――→,\s\up7(還原))解決幾何問(wèn)題．
【例題1】（2024·湖南婁底·一模）已知圓內(nèi)接四邊形中，是圓的直徑，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，為上一點(diǎn)，，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2023·天津南開(kāi)·一模）在平面四邊形中，，則 ； .
【變式3】（2024·河北張家口·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．
(1)證明：；
(2)若為內(nèi)角A的平分線(xiàn)，且，求．
題型二 和向量有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題
命題點(diǎn)1 與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題
【例題2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在中，為線(xiàn)段的一個(gè)三等分點(diǎn)，.連接，在線(xiàn)段上任取一點(diǎn)，連接，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2023·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，空間中點(diǎn)P滿(mǎn)足，則三棱錐的體積的最大值為 ．
【變式3】（23-24高三下·天津和平·開(kāi)學(xué)考試）在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則 ；若，的面積為，則當(dāng) 時(shí)，取得最小值．
命題點(diǎn)2 與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題
【例題3】（2024·黑龍江·三模）已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，動(dòng)點(diǎn)位于線(xiàn)段上，則的最小值為（ ）
A．0B．C．D．
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，為非零向量，且，，若的最小值為，則的值為（ ）．
A．B．C．4D．
【變式2】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
【變式3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求角A的大?。?br>(2)若，且，求AP的最小值．
命題點(diǎn)3 與模有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題
【例題4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)、在單位圓上，，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1】（2023·重慶·三模）已知是單位向量，向量滿(mǎn)足與成角，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（2022·浙江·三模）已知平面向量滿(mǎn)足，設(shè)，若，則的取值范圍為 ．
【變式3】（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）已知向量在向量方向上的投影為，且，則的取值范圍為 （結(jié)果用數(shù)值表示）
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·江西鷹潭·二模）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊為,，，，是外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．4B．C．3D．
2．（2024·陜西渭南·二模）已知菱形的邊長(zhǎng)為為菱形的中心，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川涼山·三模）已知平面向量，夾角為，且滿(mǎn)足，，若當(dāng)時(shí)，取得最小值，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿(mǎn)足，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2023·山東煙臺(tái)·二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)分別在，上且滿(mǎn)足，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，下列結(jié)論正確的有（ ）．

A．若，則
B．若，則
C．的最小值為
D．取最小值時(shí)，
6．（2024·河南信陽(yáng)·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，為的中點(diǎn)．，過(guò)作平面的垂線(xiàn)，垂足為，連，，設(shè)，的交點(diǎn)為，在中過(guò)作直線(xiàn)交，于，兩點(diǎn)，，，過(guò)作截面將此四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．B．
C．D．的最小值為
三、填空題
7．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿(mǎn)足，，且，的夾角為，則的最小值是 .
8．（2024·上海閔行·二模）已知、是空間中兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量滿(mǎn)足，且，當(dāng)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，的最小值為 .
9．（2022·天津南開(kāi)·二模）已知平行四邊形中，，，，則 ；若，，則的最大值為 ．
四、解答題
10．（2023·湖北·二模）已知在中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，．
(1)若BC邊上的高等于，求；
(2)若，求AB邊上的中線(xiàn)CD長(zhǎng)度的最小值．
11．（2023·四川成都·一模）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為2，求面積的最大值.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2023·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，且，，則的最小值為（ ）
A．B．4C．D．
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若單位向量，的夾角為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A．－2B．－1C．D．
3．（2023高三下·全國(guó)·競(jìng)賽）已知平面向量，滿(mǎn)足，，并且當(dāng)時(shí)，取得最小值，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山東青島·三模）已知向量，，滿(mǎn)足：，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．1
5．（2023高一·全國(guó)·單元測(cè)試）若，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且向量滿(mǎn)足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．以上答案均不對(duì)
6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．
7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·三模）互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為“斜坐標(biāo)系”.如圖，在斜坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線(xiàn)，其在軸和軸上的截距，分別作為點(diǎn)的坐標(biāo)和坐標(biāo)，記.若斜坐標(biāo)系中，軸正方向和軸正方向的夾角為，則該坐標(biāo)系中和兩點(diǎn)間的距離為（ ）

A．2B．1C．D．
8．（2022·浙江寧波·二模）已知平面向量，，滿(mǎn)足，，，（，）.當(dāng)時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．若，則
C．若，則D．若，的夾角為銳角，則且
10．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（ ）
A．已知，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，則的坐標(biāo)為；
B．若是的外接圓圓心，則
C．若，且，則
D．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的垂心.
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，且，MN是圓Q：的一條直徑，則（ ）
A．點(diǎn)P在圓Q外B．的最小值為2
C．D．的最大值為32
三、填空題
12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BD，DC的中點(diǎn)，若AD=1，則的最大值為 ．
13．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，，則面積的最大值為 ．
14．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如果復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，且，則的最大值為 .
四、解答題
15．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為已知
(1)求角
(2)過(guò)作，交線(xiàn)段于D，且，求角.
16．（2022·湖南·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求中的最大值；
(2)求邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)．
17．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線(xiàn)AM，BN相交于點(diǎn)P．
(1)求的正弦值；
(2)求的余弦值．
18．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知是邊上一點(diǎn)，.
(1)求；
(2)求的最大值.
19．（2023·四川自貢·一模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.若D在線(xiàn)段BC上，且，.
(1)求A；
(2)求面積的最大值.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2022·安徽黃山·一模）在中,,O是的外心,則的最大值為（ ）
A．1B．C．3D．
2．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）在中，過(guò)重心E任作一直線(xiàn)分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，，（，），則的最小值是（ ）
A．B．C．3D．2
3．（22-23高三下·河北石家莊·階段練習(xí)）設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且.若存在，使得與垂直，且，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)取最大值時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2022·湖北·二模）定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（ ）
A．B．
C．若，則D．
6．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.設(shè)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則（ ）
A．
B．點(diǎn)的軌跡方程為
C．的最小值為6
D．的最大值為
三、填空題
7．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，向量與不共線(xiàn)，且，則的最大值為 ．
8．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知，則的最小值為 .
9．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為1的正六邊形邊上相異的三點(diǎn)，則的取值范圍是 .
四、解答題
10．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在中，a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且．
(1)求角A的大??；
(2)記的面積為S，若，求的最小值．
11．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B是單位圓（圓心為O）上兩動(dòng)點(diǎn)，C是劣弧（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．記（，均為實(shí)數(shù)）．

(1)若O到弦AB的距離是，求的取值范圍；
(2)若，向量和向量的夾角為，求的最小值．