考試時間: 120分鐘 分值: 150分
命題人：邢紫莉 審題人：孫宏波
一、單項選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共40 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的. 請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1. 直線. x+3y+2=0的傾斜角為( )
A.π/6 B.π/3 C.2π3 D.5π6
2. 已知條件p: m>2, 條件q: 點P(1,m)在圓: x2+y2=5外, 則p是q的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3. 若雙曲線 x29?y211=1的右支上一點P到右焦點的距離為9，則P到左焦點的距離為( )
A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15
4. 已知橢圓 C:x220+y24=1的兩焦點分別為F?，F(xiàn)?，P為橢圓C上一點且.PF?⊥PF?,則 |PF?|?|PF?|=( )
A.43 B.46 C.45 D. 2
5. 在橢圓 x216+y29=1中，以點 M232為中點的弦所在的直線方程為 ( )
A. x-2y+1=0 B. 3x-4y=0 C. 3x+4y-12=0 D. 8x-6y-25=0
6. 如圖，某種地磚ABCD的圖案由一個正方形和4條拋物線構成，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美. C?:y2=2px,C?:x2=?2py,C?:y2=?2px, C?:x2=2py,p>0,已知正方形ABCD的面積為64, 連接C?, C?的焦點F?, F?, 線段F?F?分別交C?, C?于點G, H,則|GH|的值為( )
A.10?52 B.8?52 C.3+2 D.1+27. 如圖，已知橢圓E :x2a2+y2b2=1ab>0)的左、右焦點分別為F?，F(xiàn)?，過點F?的直線與橢圓 E交于點A，B.直線l為橢圓E在點A 處的切線，點B 關于l的對稱點為M.由橢圓的光學性質(zhì)知，F(xiàn)?，A, M三點共線. 若 |AB|=a,|BF1||MF1|=45,則 |BF2||AF1|=
A.19 B.211 C.911 D.1315
8. 已知F?，F(xiàn)?是橢圓和雙曲線的公共焦點，P，Q是它們的兩個公共點，且P，Q關于原點對稱， ∠PF2Q=2π3,若橢圓的離心率為e?，雙曲線的離心率為e?，則 e12e12+1+3e22e22+3的最小值是( )
A.2+33 B.1+33 C.233 D.433
二、多項選擇題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共18 分. 在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求. 全部選對得 6 分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若動點 P到定點F(-4，0)的距離與到直線x=4的距離相等，則P點的軌跡不可能是( )
A. 拋物線 B. 線段 C. 直線 D. 射線
10. 設雙曲線 E:x2a2?y2b2=1a0,b>0)的左焦點為F?，右焦點為F?，點P在E的右支上，且不與E的頂點重合，則下列命題中正確的是 ( )
A. 若a=3且b=2，則雙曲線E的兩條漸近線的方程是 y=±32x
B. 若 PF?⊥PF?,則 △F?PF?的面積等于b2
C. 若點P的坐標為( 242,則雙曲線E的離心率大于3
D. 以PF?為直徑的圓與以E的實軸為直徑的圓外切
11. 已知曲線 M:x2+y?32+x2+y+32=4, 曲線 N:x=5?1?y2,下列結論正確的是( )
A. M與N有4條公切線
B. 若A,B分別是M,N上的動點, 則|AB|的最小值是3
C. 直線 y=13x?4與M，N的交點的橫坐標之積為 ?8037
D. 若A(x,y)(y≠0)是M上的動點, 則 |yx+1|+|4yx?1|的最小值為8
三、填空題: 本大題共 3 小題, 每小題 5 分, 共15 分.
12. 已知拋物線方程為 4y=x2,則拋物線的準線方程為 .
13. 如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.勤勞而充滿智慧的我國古代勞動人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn)象.太極圖由正方形的內(nèi)切圓(簡稱大圓)和兩個互相外切且半徑相等的圓(簡稱小圓)的半圓弧組成，兩個小圓與大圓均內(nèi)切.若正方形的邊長為8，則以兩個小圓的圓心(圖中兩個黑白點視為小圓的圓心)為焦點，正方形對角線所在直線為漸近線的雙曲線實軸長是 .
14. 如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓. 許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究, 其中比利時數(shù)學家 Germinal dandelin(1794-1847) 的方法非常巧妙, 極具創(chuàng)造性. 在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F(xiàn)，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質(zhì), 可以知道, AE=AC, AF=AB, 于是AE+AF=AB+AC=BC. 由B, C的產(chǎn)生方法可知, 它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F(xiàn)為焦點的橢圓.
如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源 P，則球在桌面上的投影是橢圓.已知 A?A?是橢圓的長軸， PA?垂直于桌面且與球相切， PA?=5,則橢圓的離心率為 .
四、解答題：本題共 5 小題，共77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. (13分)已知直線 l?:x+2m?2y=0,l?:2mx+y?2=0,且滿足 l?⊥l?, 垂足為C.
(1)求m的值及點C的坐標.
(2)設直線l?與x軸交于點A，直線 l?與x軸交于點B，求 △ABC的外接圓方程.
16.(15分)如圖，在圓錐PO中，AC為圓錐底面的直徑，B為底面圓周上一點，點D在線段BC上， AC=2AB=6,CD=2DB.
(1)證明: AD⊥平面BOP;
(2)若圓錐PO 的側面積為18π，求二面角( O?BP?A的余弦值.
17.(15分) 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1ab>0)的離心率為 32,且過點 132.
(1)求橢圓C的方程：
(2)過點M(1,0)的直線l與橢圓C交于點A、B, 設點 N120,若△ABN的面積為 △ABN 310,求直線l的斜率k。
18.(17分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,AB⊥AD,PA=PD, AB=1,AD=2,AC=CD=5.
(1)求證: PD⊥平面PAB.
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.
(3)在棱PA上是否存在點M , 使得BM∥平面PCD?若存在, 求出 AMAP的值； 若不存在，請說明理由.
19. (17分)已知雙曲線 Γ:x2a2?y2b2=1a0,b>0)的左、右焦點分別為 F??c0,F?c0,點 P221是Γ上一點.若I為 △PF?F?的內(nèi)心，且 5SIPF1?5SIPF2=25SIF1F2.
(1)求Γ的方程;
(2)點A是Γ在第一象限的漸近線上的一點， 且. AF?⊥x軸，點 Qx?y?是Γ右支上的一動點，Γ在點Q處的切線l與直線. AF?相交于點M ，與直線 x=455相交于點N.證明： |NF2||MF2|為定值.

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