考試時(shí)間：120分鐘 分值：150
一．單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 集合中所有元素的和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的概念確定集合的所有元素，求和即可.
【詳解】集合的所有元素是，故所有元素的和為.
故選：C.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，
所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.
故選：D.
3. 下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（ ）
A. 底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B. 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)
C. 正四棱柱都是長(zhǎng)方體
D. 直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱
【答案】C
【解析】
【分析】由正棱錐定義判斷A，由棱臺(tái)的定義判斷B，由正四棱柱的定義判斷C，由圓錐的定義判斷D.
【詳解】對(duì)于A，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面中心的棱錐是正棱錐，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，
但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)檎睦庵堑酌鏋檎叫蔚闹崩庵?，所以正四棱柱都是長(zhǎng)方體，故C正確；
對(duì)于D，根據(jù)圓錐的定義可知D不正確.
故選：C.
4. 函數(shù)為冪函數(shù)，則（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用冪函數(shù)定義，構(gòu)造方程計(jì)算即可.
【詳解】函數(shù)為冪函數(shù),則，則.
故選：C.
5. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令即可.
【詳解】令，解得，
則其過(guò)點(diǎn).
故選：A.
6. 從某校高一新生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為20的身高樣本，將數(shù)據(jù)從小到大排序（單位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是173，則x的值為（ ）.
A. 171B. 172C. 173D. 174
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法求解．
【詳解】∵20×90%=18，
∴樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是第18項(xiàng)和第19項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
故，解得x=172．
故選：B
7. 已知，，，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
若，則，
所以是的必要不充分條件.
故選：B.
8. 已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若，則是銳角三角形
B. 若，則是等腰三角形
C. 若，則是等腰三角形
D
【答案】B
【解析】
【分析】利用和角的正切公式推得判斷A；利用正弦定理邊化角推理判斷BCD.
【詳解】對(duì)于A，在中，由，得，
整理得 ，則都是銳角， 是銳角三角形，A正確；
對(duì)于B：由及正弦定理得，
即，則或，即或，
因此是等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由及正弦定理，得，
即，而是的內(nèi)角，則，是等腰三角形，C正確；
對(duì)于D，由是的內(nèi)角及正弦定理，得，D正確.
故選：B
二．多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列判斷正確的是（ ）
A. 已知x>1，則的最小值為
B. 天氣預(yù)報(bào)表明在國(guó)慶假期甲地降雨概率是，乙地降雨概率是.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為0.46
C. 函數(shù)的定義域?yàn)?br>D. 是真命題
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式即可求解A，根據(jù)互相獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解B,根據(jù)根式以及分式的性質(zhì)及可求解C，根據(jù)全稱命題的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】對(duì)于A,∵x>1，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào),故A正確，
對(duì)于B，兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為，故B正確，
對(duì)于C, 函數(shù)的定義域滿足，解得故定義域?yàn)?，C正確，
對(duì)于D，，故是假命題，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC
10. 下列判斷正確的是（ ）
A. 方程的根是3
B. 2
C. 已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則m為3
D. 不等式的解集為或
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，因式分解即可判斷，對(duì)于B，由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可判斷，對(duì)于C，代入求解即可，對(duì)于D，由一元二次不等式得解集結(jié)構(gòu)即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，方程等價(jià)于，即根是3或-2，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，正確；
對(duì)于C，由，可得：，正確；
對(duì)于D，不等式的解集為，錯(cuò)誤；
故選：BC
11. 定義域?yàn)镽的函數(shù)在上是減函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所有，
即函數(shù)的對(duì)稱軸為，
又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，
對(duì)于A，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所有，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所有，又在上是增函?shù)，
所有，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所有，又在上是增函?shù)，
所有，故D正確.
故選：CD.
三.填空題：本大題共3小題，每小題5分.
12. 已知函數(shù)，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接計(jì)算得到答案.
【詳解】，則.
故答案為：.
13. 在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為_(kāi)____________
【答案】
【解析】
【分析】連接，利用平行公理、結(jié)合異面直線夾角定義求解.
【詳解】在正方體中，連接，由對(duì)角面是矩形，得，
由分別是的中點(diǎn)，得，
則是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，而，
因此，所以異面直線與所成角的大小為.
故答案為：
14. 若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為_(kāi)_______________
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為.
故答案為：
四.解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知，.
（1）求向量的坐標(biāo)；
（2）求向量，的夾角；
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合夾角公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，，所?
【小問(wèn)2詳解】
由題得.
因?yàn)?，所以向量，的夾角.
16. 如圖，四棱錐的底面是正方形，底面.

（1）若，求四棱錐的體積
（2）求證：平面
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)體積公式可求四棱錐的體積.
（2）可證 ，結(jié)合可證平面.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈酌?，故四棱錐的高為，
而正方形的面積為，故.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榈酌?，而平面，故?br>由正方形可得，因平面，
故平面.
17. 從我校高二年級(jí)的500名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于和之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.
（1）求第七組的頻率；
（2）估計(jì)該校的500名男生的身高的平均數(shù)；
（3）若從身高屬于第六組和第八組所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，求出這兩名男生來(lái)自同一組的概率.
【答案】（1）0.06
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先計(jì)算第六組的頻率，根據(jù)頻率和為1，可得第七組頻率.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖中求平均數(shù)的方法即可求解.
（3）用列舉法寫(xiě)出基本事件的總數(shù)和兩名男生來(lái)自同一組包含的基本事件，即可求解.
小問(wèn)1詳解】
第六組的頻率為，
∴第七組的頻率為.
【小問(wèn)2詳解】
由直方圖得，身高在第一組的頻率為，
身高在第二組的頻率為，
身高在第三組的頻率為，
身高在第四組的頻率為，
身高在第五組的頻率為，
身高在第八組的頻率為，
則平均數(shù)為：
.
【小問(wèn)3詳解】
第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，
第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，
則從中隨機(jī)抽取兩名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，
記事件“隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組”，所以事件A包含的基本事件為，，，，，，共7種情況.所以.
18. 已知數(shù)集含有（）個(gè)元素，定義集合．
（1）若，寫(xiě)出；
（2）寫(xiě)出一個(gè)集合，使得；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合新定義即可求解；
（2）由集合新定義令驗(yàn)證即可；
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?br>所以為中元素，
故.
【小問(wèn)2詳解】
取，此時(shí)，滿足.
19. 已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于和d的方程，求解即可得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項(xiàng)，進(jìn)而得，從而得到的通項(xiàng)公式，利用等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分組求和即可求出.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，
由，得，即，
由，，成等比數(shù)列得，，
化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以?br>所以．
綜上．
【小問(wèn)2詳解】
由知，，
又為公比是3的等比數(shù)列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
綜上.
20. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）已知銳角三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，若，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩角和（差）正弦公式化簡(jiǎn)得，再利用正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算周期；
（2）代入計(jì)算角，在利用三角形面積公式計(jì)算的出結(jié)果；
【小問(wèn)1詳解】
，
所以函數(shù)fx的最小正周期．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槭卿J角三角形的內(nèi)角，所以或（舍去），
所以．又，
所以的面積．
21. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）是，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點(diǎn)可求解；
（2）根據(jù)題意分別設(shè)出直線MA、MB，與橢圓聯(lián)立后得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過(guò)斜率公式計(jì)算即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
由，得，所以a2 =9b2①，
又橢圓過(guò)點(diǎn)，則②，
由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線MA的斜率為k，點(diǎn)， 因?yàn)椤螦MB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.
聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又
所以為定值.

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