一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.
故選：A.
2. 已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在上的投影向量為.
故選：A
3. 已知向量，的夾角為，，，則（ ）
A. 2B. C. D. 5
【答案】C
【解析】.
故選：C.
4. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，
∴.
故選：D.
5. 某三棱錐的體積為，表面積為，則該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)該三棱錐的體積為，表面積為，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，
則，所以，
故該三棱錐的內(nèi)切球的直徑為.
故選：B.
6. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，并且滿足條件，.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D. 的最大項(xiàng)為
【答案】C
【解析】對(duì)于A，若，因?yàn)?，則，，不滿足，
若，因?yàn)?，則，，不滿足，
顯然，
所以，故A正確；
對(duì)于B、C，因?yàn)?，，且，所以，故B正確，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由等比數(shù)列可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大項(xiàng)為，故D正確；
故選：C.
7. 已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直線過定點(diǎn)，
直線過定點(diǎn)，
且直線與直線垂直，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，
故圓心是，半徑為則點(diǎn)的方程是
令，因?yàn)椋?br>所以，
則
所以，可得點(diǎn)
則.

8. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)，，則，
根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，所以 ，
，又因
所以為直角三角形，可得，
所以可得，
解之可得或（舍），
可求出，
在中根據(jù)余弦定理
，
解之可得，所以.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1
B. 數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23
C. 已知數(shù)據(jù)，，，的極差為6，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的極差和方差分別為12，8
D. 數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為90，方差為3；數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為85，方差為5，則，，，，，，，的平均數(shù)為87，方差為10.2
【答案】ACD
【解析】選項(xiàng)A：依題意，得個(gè)體m被抽到的概率為，故A正確；
選項(xiàng)B：這組數(shù)據(jù)從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
因?yàn)?，第七個(gè)數(shù)為23，第八個(gè)數(shù)為24，
則第70百分位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)橐阎獢?shù)據(jù)，，，的極差為6，方差為2，
則數(shù)據(jù)，，，的極差為，方差為，故C正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為90，方差為3；
數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為85，方差為5，
所以，，，，，，，的平均數(shù)為，
方差為，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
B. 的單調(diào)遞增區(qū)間為，
C. 在上的值域?yàn)?br>D. 將的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則
【答案】AC
【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，A正確；
令（），則（），
故的單調(diào)遞增區(qū)間為（），B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故在上的值域?yàn)椋珻正確；
將的圖象先向右平移個(gè)單位長度，
可得函數(shù)的圖象，
再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，D錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 如圖，棱長為的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍?，，分別是棱，的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 該內(nèi)切球的球面面積為
B. 存點(diǎn)，使得平面
C. 平面被球截得的截面圓的面積為
D. 當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，根據(jù)已知條件球?yàn)橐詾閳A心，半徑，內(nèi)切球的球面面積為 ，A正確；
對(duì)于B：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則由題意可得，，，，
設(shè)點(diǎn)，其中，
對(duì)于，，，
設(shè)平面法向量為，，，
則，
令，則y=-1，，為平面的一個(gè)法向量，
若存在點(diǎn)，使平面，
只需，因?yàn)椴怀闪?，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C： 設(shè)平面法向量為m=x1,y1,z1，，，，
則，
令，則，，為平面的法向量，
又因?yàn)椋?
則到平面的距離為，則，
設(shè)平面被球截得的截面圓的半徑為，，
所以平面被球截得的截面圓的面積為，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，過的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，
在中，，所以邊長，
所以截面面積，D正確；
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合，，則_________．
【答案】
【解析】由已知，
所以.
13. 酒駕新規(guī)來了，2024年3月1日起實(shí)施，新國標(biāo)將酒駕的上限從降低到了，也就是說，只要駕駛員血液中酒精含量超過了，就屬于違法行為.某人飲酒后，體內(nèi)血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，則按照新規(guī)他至少經(jīng)過__________小時(shí)后才能開車.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】7
【解析】設(shè)他至少經(jīng)過x小時(shí)后才能開車，則，即，
故（小時(shí)），
即他至少經(jīng)過7小時(shí)后才能開車.
14. 已知數(shù)列滿足：，定義：表示整數(shù)除以4的余數(shù)與整數(shù)除以4的余數(shù)相同，例：.設(shè)，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小值為______.
【答案】40
【解析】由，即，
因?yàn)?，所以，?br>則都不是的倍數(shù)，是的倍數(shù)，
所以不是的倍數(shù)，，不是的倍數(shù)，
不是的倍數(shù)，
是的倍數(shù)，
依次可得當(dāng)為的倍數(shù)時(shí)，也是的倍數(shù)，
當(dāng)不為的倍數(shù)時(shí)，也不是的倍數(shù)，
由，
則有當(dāng)是4倍數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是4的倍數(shù)時(shí)，，則；
當(dāng)，
，
當(dāng)，即時(shí)，有，
，
故滿足的最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，，已知．
（1）求；
（2）若的面積為，求的周長．
解：（1）因?yàn)椋?br>所以
即．
因?yàn)?，所以?br>所以，因?yàn)?，所以?br>（2）由（1）可知，則．
因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得
由余弦定理得，
則．
故的周長為．
16. 如圖，在四面體中，，，，，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
（1）證明：因?yàn)?，且?br>由余弦定理可得，
即，即，
所以，即，又，
且，平面，所以平面，
又，則，即，
以為原點(diǎn)，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
又M是的中點(diǎn)，則，是的中點(diǎn)，則，
且，則，則，
所以，因?yàn)槠矫?，取為平面的一個(gè)法向量，
且，因?yàn)椋裕?br>則平面.
（2）解：由（1）可知，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則，解得，取，則，
則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，
則，解得，取，則，
則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角為，顯然為銳角，
則.
所以二面角的余弦值為.
17. 已知函數(shù)
（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論的單調(diào)區(qū)間.
解：（1）.
故的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）.
①當(dāng)時(shí)，令，解得，有
故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
②當(dāng)時(shí)，令，解得或
當(dāng)時(shí)，
故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.
當(dāng)時(shí)，
單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
18. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，以的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積為，直線與橢圓交于點(diǎn)（不與橢圓的頂點(diǎn)重合）.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：直線與圓相切；
（3）若動(dòng)直線過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線AD與軸的交點(diǎn)為 ，求面積的最大值.
解：（1）設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為
由已知，，即，又，
由可得: ，
因?yàn)榈慕裹c(diǎn)在軸上，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為，
以 AB 為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，即，
設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2 ，所以，
聯(lián)立方程，得，即，
，
化簡(jiǎn)得，
設(shè)到直線距離為，則，
所以直線與圓相切.
當(dāng)直線無斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，，
由于AB 為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，故，
故圓 的圓心到直線的距離，故直線與圓相切.
綜上，直線 與圓 相切.
（3）設(shè)直線 的方程為，代入橢圓方程，得，
即. 設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，
則.
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則. 設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，即，
即，即，得
所以點(diǎn)為定點(diǎn)，，
.
令，
則.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積的最大值為.
19. 生命的誕生與流逝是一個(gè)永恒的話題，就某種細(xì)胞而言，由該種細(xì)胞的一個(gè)個(gè)體進(jìn)行分裂，分裂后成為新細(xì)胞而原細(xì)胞不復(fù)存在，多次分裂后，由該個(gè)細(xì)胞繁殖而來的全部細(xì)胞均死亡，我們稱該細(xì)胞“滅絕”.現(xiàn)已知某種細(xì)胞有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞（即死亡），...，有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞.記事件：細(xì)胞最終滅絕，：細(xì)胞第一次分裂為個(gè)細(xì)胞.記該細(xì)胞第一次分裂后有個(gè)個(gè)體（分裂后的細(xì)胞互不影響），在概率論中，我們用的數(shù)學(xué)期望作為衡量生物滅絕可能性的依據(jù)，如果，則在理論上細(xì)胞就不會(huì)滅絕；相反，如果，則理論上我們認(rèn)為細(xì)胞在足夠多代的繁殖后會(huì)滅絕，而這兩種情況在生物界中都是普遍存在的.
（1）直接寫出的數(shù)學(xué)期望.
（2）用只含和的概率式表示并證明該細(xì)胞滅絕的概率為關(guān)于方程：的最小正實(shí)根.
（3）若某種細(xì)胞發(fā)生基因突變，當(dāng)時(shí).
（ⅰ）若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后，有一個(gè)細(xì)胞具有與原細(xì)胞相同的活力，而另一細(xì)胞則在此后喪失分裂為兩個(gè)的能力（即只有可能分裂成個(gè)或個(gè)），求證：該細(xì)胞的滅絕是必然事件.
（ⅱ）受某種輻射污染，若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后分裂生成的兩個(gè)細(xì)胞此后均喪失分裂為個(gè)的能力，并等可能分裂為個(gè)或個(gè)細(xì)胞.我們稱為“泛濫型細(xì)胞”，已知：，求出一個(gè)該種泛濫型細(xì)胞經(jīng)過次分裂，得到個(gè)細(xì)胞的概率.
解：（1）.
（2）
，
則：，
，由于分裂后細(xì)胞相互獨(dú)立，
. ，
所以：.
若能取到中的所有數(shù)，則令：，有：，
為該方程的一個(gè)實(shí)根，.，
由于的每一項(xiàng)在上均單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，.
由于，則：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，，故在，只有唯一零點(diǎn)，
這是原方程的最小正實(shí)根，符合的實(shí)際意義；
②當(dāng)時(shí)，，故唯一使，
此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增且.
所以在有兩個(gè)零點(diǎn)與，其中：.由于，
故，故，此時(shí)也取到原方程的最小正實(shí)根，符合的實(shí)際意義.
綜上：該細(xì)胞滅絕的概率為關(guān)于方程：的最小正實(shí)根.
（3）（?。┯桑?）可知：若一個(gè)細(xì)胞失去分裂為兩個(gè)的能力，
則滅絕概率，
故對(duì)該細(xì)胞母體：，
，解得：，該細(xì)胞的滅絕是必然事件.
（ⅱ）由條件：，
，
.1
+
0
-
極大值
1
-
0
+
0
-
極小值
極大值
1
-
0
+
0
-
極小值
極大值

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