一、選擇題
1．下列直線中,傾斜角最大的是( )
A.B.
C.D.
2．已知點(diǎn),,,且四邊形是平行四邊形,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A.B.
C.D.
3．如圖,平行六面體中,E為BC的中點(diǎn),,,,則( )
A.B.
C.D.
4．如圖,這是一個(gè)落地青花瓷,其中底座和瓶口的直徑相等,其外形被稱為單葉雙曲面,可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為,最大直徑為,雙曲線的離心率為,則該花瓶的高為( )
A.B.C.D.
5．若直線與直線互相垂直,則的最小值為( )
A.B.3C.5D.
6．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B在C上,,則C的離心率為( )
A.B.C.2D.
7．已知雙曲線的離心率為,圓與C的一條漸近線相交,且弦長(zhǎng)不小于2,則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．已知曲線,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.曲線E與直線無(wú)公共點(diǎn)
B.曲線E關(guān)于直線對(duì)稱
C.曲線E與圓有三個(gè)公共點(diǎn)
D.曲線E上的點(diǎn)到直線的最大距離是
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知向量,則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則B.若,則
C.的最大值2D.為鈍角,則
10．如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,P是線段上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.平面平面
B.的最小值為
C.若P是的中點(diǎn),則到平面的距離為
D.若直線與所成角的余弦值為,則
11．中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品,其外觀對(duì)稱精致,符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念,中國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線,其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．已知在平面直角坐標(biāo)系中,到兩定點(diǎn),距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡C是雙紐線．若是曲線C上一點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
A.曲線C上有且僅有1個(gè)點(diǎn)P滿足
B.曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
C.若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
D.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)3
三、填空題
12．點(diǎn)到直線的距離最大值是____________．
13．如圖,在三棱錐中,已知平面,,,則向量在向量上的投影向量為_(kāi)__________（用向量來(lái)表示）.
14．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同,則積不容異”,其意思可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖,陰影部分是由雙曲線與它的漸近線以及直線所圍成的圖形,將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周,得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體,則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)___________．
四、解答題
15．已知直線,,直線l過(guò)點(diǎn)且與垂直.
(1)求直線l的方程;
(2)設(shè)l分別與交于點(diǎn)A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求過(guò)三點(diǎn)A,B,O的圓的方程.
16．如圖,在三棱柱中,四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形,,點(diǎn)D為棱上動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合）,平面與棱交于點(diǎn)E．
(1)求證：;
(2)已知,,,求直線與平面所成角的正弦值．
17．已知雙曲線的離心率為,實(shí)軸長(zhǎng)為6,A為雙曲線C的左頂點(diǎn),設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn),且與雙曲線C交于E,F兩點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)證明：直線AE與AF的斜率之積為定值.
18．如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,平面平面,,,M是棱PC上的點(diǎn),且,.
(1)求證：平面PAD;
(2)設(shè)二面角的大小為,若,求的值.
19．已知橢圓,點(diǎn)A為橢圓短軸的上端點(diǎn),P為橢圓上異于A點(diǎn)的任一點(diǎn),若P點(diǎn)到A點(diǎn)距離的最大值僅在P點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到,則稱此橢圓為“圓橢圓”,已知．
(1)若,判斷橢圓是否為“圓橢圓”;
(2)若橢圓是“圓橢圓”,求a的取值范圍;
(3)若橢圓是“圓橢圓”,且a取最大值,Q為P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),Q也異于A點(diǎn),直線、分別與x軸交于M、N兩點(diǎn),試問(wèn)以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．
參考答案
1．答案：C
解析：直線的斜率為,傾斜角為;直線的斜率為,傾斜角為,
直線的斜率為-1,傾斜角為;直線的斜率為1,傾斜角為,
顯然直線的傾斜角最大.
故選：C.
2．答案：A
解析：設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,
由題意得
,
因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?所以,
所以,解得,
故選：A.
3．答案：B
解析：在平行六面體中,E為BC的中點(diǎn),
所以.
故選：B.
4．答案：B
解析：由該花瓶橫截面圓的最小直徑為,有,
又由雙曲線的離心率為,有,
可得雙曲線的方程為,代入,可得,故該花瓶的高為.
故選：B.
5．答案：C
解析：因?yàn)橹本€與直線互相垂直,
所以,化簡(jiǎn)得,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,所以的最小值為5,
故選：C.
6．答案：D
解析：如圖,令,由,得,
又,則,,,
即,又由,得,
,
故選：D.
7．答案：B
解析：設(shè)雙曲線C的半焦距為,
則,解得：,
且雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上,所以雙曲線C的漸近線為,
因?yàn)閳A的圓心為,半徑,
可知圓關(guān)于x軸對(duì)稱,不妨取漸近線為,即,
則圓心到漸近線的距離,可得：.
又因?yàn)閳A與雙曲線C的一條漸近線相交弦長(zhǎng)為,
由題意可得：,解得：.
綜上可得：a的取值范圍是.
故選：B.
8．答案：D
解析：當(dāng),時(shí),曲線方程為,表示圓的一部分,
當(dāng),時(shí),曲線方程為,表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線的一部分,
當(dāng),時(shí),曲線方程為,表示焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線的一部分,
其圖象如圖所示：
A.因?yàn)槭堑容S雙曲線的漸近線,曲線E與直線無(wú)公共點(diǎn),故正確;
B.將方程中的x,y互換后方程不變,所以曲線E關(guān)于直線對(duì)稱,故正確;
C.圓的圓心為,
又,即當(dāng),時(shí),
曲線與圓相切,所以有三個(gè)公共點(diǎn),故正確;
D.作與直線平行的直線與曲線切于點(diǎn)上的點(diǎn)到直線的最大距離是,故錯(cuò)誤;
故選：D.
9．答案：AB
解析：A.若,則,解得,故正確;
B.當(dāng)或時(shí),,不平行,
所以時(shí),有,解得,故正確;
C.,無(wú)最大值,故錯(cuò)誤;
D.若鈍角,則,且,不反向共線,
解得且,故錯(cuò)誤;
故選：AB.
10．答案：ABC
解析：A.因?yàn)槠矫?且平面,所以平面平面,故正確;
B.因?yàn)?且為定值,所以,故正確;
C.因?yàn)槠矫嫫矫?且到平面,
所以到平面的距離即為到直線的距離,
又,,解得,故正確;
D.當(dāng)時(shí),,
則,故錯(cuò)誤;
故選：ABC.
11．答案：ACD
解析：設(shè),則,
化簡(jiǎn)得,
將代入可得,
所以曲線,
對(duì)于A,若點(diǎn)P滿足,則P在垂直平分線上,則,
設(shè),則,解得,
故只有原點(diǎn)滿足,故A正確;
對(duì)于B,令,解得或,即曲線經(jīng)過(guò),,,
結(jié)合圖象,得,
令,得,
令,得,
因此,結(jié)合圖象曲線C只能經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn),,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,直線與曲線一定有公共點(diǎn),
若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),
所以,整理得無(wú)非零實(shí)數(shù)解,
,解得,故C正確;
對(duì)于D,可得,
所以曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離,
即都不超過(guò)3,故D正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：由題意得,直線過(guò)定點(diǎn),則,
如圖所示,當(dāng)直線與直線垂直時(shí),
此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大值,且最大值為.
故答案為：.
13．答案：
解析：由題意,
在三棱錐中,已知平面,
,
面,
,,
在中,,,
,
,
向量在向量上的投影向量為：
,
故答案為：.
14．答案：
解析：雙曲線的漸近線為,
設(shè)直線交雙曲線及其漸近線分別于C,D及A,B,如圖,
由,得,,
由,得,,
線段,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的一個(gè)截面,
它是一個(gè)圓環(huán),其內(nèi)徑,外徑,
此圓環(huán)面積為
因此此旋轉(zhuǎn)體垂直于軸的任意一截面面積都為,旋轉(zhuǎn)體的高為,而底面圓半徑為2,高為的圓柱垂直于軸的任意一截面面積都為,
由祖暅原理知,此旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面圓半徑為2,高為的圓柱的體積為.
故答案為：.
15．答案：(1);
(2)（或）;
解析：(1)由題意可得的斜率為-1,
可得直線l的斜率為,由點(diǎn)斜式方程可得,
即直線;
(2)聯(lián)立直線l和方程,解得;
聯(lián)立直線l和方程,解得;
如下圖所示：
設(shè)過(guò)三點(diǎn)A,B,O的圓的方程為,
將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,解得,
可得圓的方程為（或）.
16．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1) ,
且平面,平面,
平面,
又平面,且平面平面,
;
(2)連結(jié),取中點(diǎn)O,連結(jié),,
在菱形中,,
是等邊三角形,
又為中點(diǎn), ,,
同理,又,
,
,
又, ,
故,,兩兩垂直,
以點(diǎn)O為原點(diǎn),,,為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
,,,,
,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,所以,令,則,,
故,又,
設(shè)與平面所成角為,
,
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17．答案：(1)
(2)證明見(jiàn)詳解
解析：(1)因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6,所以,
因?yàn)殡p曲線的離心率為,所以,解得,
由,得,則C的方程為.
(2)設(shè),,因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn),顯然直線l不垂直于y軸,
則設(shè)直線,
聯(lián)立方程組,消去x得,
由,得,
則,,
因?yàn)锳為雙曲線C的左頂點(diǎn),所以,
直線AE的斜率,直線AF的斜率,
所以
,
即直線AE與AF的斜率之積為定值.
18．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)或
解析：(1)因?yàn)?,
所以,,
在中,,,
由余弦定理得,,
所以,
即,,
取的中點(diǎn)O,連結(jié),因?yàn)槭堑冗吶切?所以,
又因?yàn)槠矫嫫矫?
平面平面,平面PAD,
所以平面,
又因?yàn)槠矫?
所以.
又因?yàn)?,平面,
所以平面.
(2)取的中點(diǎn)N,連結(jié),則,所以,
以O(shè)為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,
,
又,設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為,
則即,
當(dāng)時(shí),平面平面,不合題意;
當(dāng)時(shí),令,得平面的法向量為,
易知平面的一個(gè)法向量為,
由于平面與平面所成角的余弦值為,
故有,
解得或.
19．答案：(1)是
(2)
(3)是,證明見(jiàn)解析
解析：(1)由題意得橢圓方程為,所以,
設(shè),則
,
二次函數(shù)開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以時(shí),函數(shù)取最大值,此時(shí)為橢圓的短軸的另一個(gè)端點(diǎn),
橢圓是“圓橢圓”;
(2)因?yàn)闄E圓方程為,,設(shè),,
則,,
由題意得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)值達(dá)到最大,
①當(dāng)開(kāi)口向上時(shí),滿足（與矛盾,舍去）;
②當(dāng)開(kāi)口向下時(shí),滿足,
綜上可得a的取值范圍為．
(3)法—：由(2)可得,則橢圓方程為,
由題意：設(shè),且,
則,則直線,則,
則直線,則,
若為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)C,由對(duì)稱性知C在y軸上,設(shè)則,且,
,,
則,解得,
所以得定點(diǎn)．
法二：橢圓方程：,設(shè),,
則,,
所以,,
若為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)C,由對(duì)稱性知C在y軸上,
設(shè),則,又,,
所以, ,解得,
所以得定點(diǎn).

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