考生須知：
1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；
2.答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方。
3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效。
4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知隨機變量，則（ ）
A.2B.3C.4D.9
2.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
3.在平面直角坐標系中，動點滿足方程，則動點軌跡的離心率為（ ）
A.B.2C.D.
4.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A.B.C.D.
5.已知，則的最大值為（ ）
A.B.C.1D.
6.對空間中的非零向量，記向量與，的夾角為，對，，則的最大值是（ ）
A.5B.6C.7D.8
7.在四邊形ABCD中，已知，若，，，則BD的長度為（ ）
A.4B.C.5D.
8.已知函數(shù)，對任意，都有恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.在二項式的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.
B.展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128
C.常數(shù)項為
D.展開式中系數(shù)最大項為第3項和第4項
10.已知函數(shù)部分圖像如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A.的圖像關于直線對稱
B.的圖像關于點對稱
C.將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像
D.若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是
11.在棱長為2的正方體中，P為面內(nèi)以AD為直徑的半圓上的動點，則（ ）
A.BP的最大值為
B.BP與平面ABCD所成角的最大值的正弦值為
C.的最小值為
D.二面角的最小值的正切值為
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復數(shù)z滿足，則的最小值為________。
13.已知點F為拋物線：的焦點，過F的直線l（傾斜角為銳角）與交于A，B兩點（點A在第一象限），交其準線于點C，過點A作準線的垂線，垂足為D，若，則________.
14.生活中經(jīng)常會統(tǒng)計一列數(shù)據(jù)中出現(xiàn)不同數(shù)據(jù)的個數(shù)。設，對于有序數(shù)組，記為，，，，中所包含的不同整數(shù)的個數(shù)，比如：，.當取遍所有的個有序數(shù)組時，的總和為________。
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）已知函數(shù).
（1）化簡，并求的值；
（2）在銳角△ABC中，內(nèi)角A滿足，求的值。
16.（15分）在三棱錐中，，，，D為AC的中點。
（1）求證：；
（2）若二面角的大小為，求直線AC與平面PBC所成的角。
17.（15分）已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)。
（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；
（2）若不等式對任意恒成立，求k的取值范圍。
18.（17分）已知橢圓E：的離心率為，且過點.
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）已知點，，過點P作直線l（不與x軸重合）交橢圓E于A，B，連接BG交E于點C，連接AC，直線AC與x軸交于點H.
（i）求的值；
（ii）若點A在線段BP上，求的取值范圍。
19.（17分）對于數(shù)列，若存在正整數(shù)T，使得從數(shù)列的第N項起，恒有成立，則稱數(shù)列為第N項起的周期為T的周期數(shù)列。
（1）已知數(shù)列滿足，且，證明：3是的一個周期。
（2）已知數(shù)列，，（其中a，，a，b不全為0），，證明：存在正整數(shù)N，使得時，成立，并求出滿足條件的一個周期T.
（3）已知數(shù)列，，，求證：不是周期數(shù)列。
寧波“十?！?025屆高三3月聯(lián)考
數(shù)學參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1-4DCCA5-8BBDC
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.ABD10.AB11.ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.13.214.10505提示：
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）【解析】
（1），6
（2），因為，故，
因為，故，所以，
故13
16.（15分）
【解析】（1）作于E，連PE.
在△ACB中，，則，又，故，.
在△APB中，，則，.
在△PAE中，，
又，則
由于，，，則平面PDE，
又平面PDE，故7
（2）由（1）得，，，則二面角的平面角為，又，，則，在△PDA中，，則.
方法1：由于D為AC的中點，，且，則.
又，，則平面PBC，
則為直線AC與平面PBC所成的角，又，
故直線AC與平面PBC所成的角為.15
方法2：由（1）得，，則平面ABC，取AB中點F，連DF，
則，，以D為坐標原點，分別以DA，DF，DP所在直線為x，y，z軸，
建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，，，.
設平面PBC的一個法向量，
則令得，得，
設直線AC與平面PBC所成的角為，則.
故直線AC與平面PBC所成的角為15
17.（15分）
【解析】
（1）當時，，
由于，，，
故函數(shù)在點處的切線方程為，即5
（2）方法1：
由于，令，則，
因為，有，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.
①當時，有，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由，得，故；
②當時，有，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，
若，有，則存在使得，
當時，取，有，則存在，使得，
綜上，當時，存在，使得，即.
故當時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當時，，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，（（ ））
由，得，
代入（（ ））得，
令，則
由于，由得，，
當，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又因為，，，
故當時，，所以滿足的實數(shù)的取值范圍為.
又因為，令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
綜上所述，實數(shù)k的取值范圍為15
方法2：
①當時，不等式恒成立，此時；
②當時，問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立7
令，則.
令，則.
因為，有，所以在上單調(diào)遞增。又因為，所以是在上的唯一零點，
所以當時，，在上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以.
③當時，問題等價于對任意恒成立。
此時，由于當時，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，
當時，.
故當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，.
綜上所述，實數(shù)k的取值范圍為15
18.（17分）【解析】
（1）橢圓E的標準方程為4，
（2）（i）設，，，
記，，
則直線AB的方程：，聯(lián)立橢圓方程，消去x得
由韋達定理得，則.
另一方面BG：，聯(lián)立橢圓方程，
消去x得
由韋達定理得，則.
由于，則.
∴10
（ii）由上面的結(jié)論可知，H為線段AC的中點，則.
進一步有.
由上面的直線AB與聯(lián)立橢圓方程，
消去x得.
由判別式，得.
由韋達定理得，，.
得
故的取值范圍是17，
19.（17分）【解析】
（1）由于，①
，②
由②①得，，
即，
又，則，故3是的一個周期。5
（2）由遞推和，，
得，，，.
（i）若，則，，，，.
（ii）若，則，，，，.
無論何種情況，都有，.
由遞推關系得，會逐漸進入循環(huán)，對的自然數(shù)，恒有.
故是的一個周期.10
（3）假設是周期數(shù)列，則至少存在，，不妨設，使得.
由遞推關系得，
整理得.
再進一步得到，如此進行下去，最后得到.
設，則，得，但這不可能。
接下來證明：，.
設，，
則；
；
以此類推，得到，.
于是有，（（ ））
若存在，不妨設，其中s，t都是非負整數(shù)，
則式（（ ））經(jīng)過s步倒推后，得到，則，
得.
由于，得，
但經(jīng)過遞推后得到都是有理數(shù)，兩者矛盾。
故，，假設不成立，故不是周期數(shù)列17

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