一、選擇題
1．已知直線l過點,,則直線l的傾斜角為( )
A.B.C.D.
2．直線與直線的距離是( )
A.B.C.D.1
3．“”是“曲線表示橢圓”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．如圖.空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則( )
A.B.C.D.
5．在直三棱柱中,,,,則異面直線與所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
6．已知點,,,圓,一條光線從A點發(fā)出,經(jīng)直線反射到圓M上的最短路程為( )
A.3B.4C.5D.6
7．已知直線與圓,過直線l上的任意一點P作圓O的切線,,切點分別為A,,則的最大值為( )
A.B.C.D.
8．設(shè)橢圓C的兩個焦點是,,過點的直線與橢圓C交于點P,Q若,且,則橢圓C的離心率為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知,分別是橢圓的左,右焦點,P為橢圓C上異于長軸端點的動點,則下列結(jié)論正確的是( )
A.的周長為10B.面積的最大值為
C.橢圓C的焦距為6D.橢圓C的離心率為
10．已知圓與圓交于A,B兩點,則( )
A.兩圓的公切線有2條
B.直線方程為
C.
D.動點在圓上,則的最大值為
11．如圖,已知正方體的棱長為2,點E,F在四邊形所在的平面內(nèi),若,,則下述結(jié)論正確的是( )
A.二面角的平面角的正切值為2
B.
C.點E的軌跡是一個圓
D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為
三、填空題
12．,,,則____________．
13．已知正四面體的棱長為1,空間中一點M滿足,其中x,y,,且.則的最小值___________．
14．已知點P是橢圓上一動點,Q是圓上一動點,點,則的最大值為___________.
四、解答題
15．已知直線經(jīng)過點．
(1)若與直線垂直,求的方程;
(2)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求的方程．
16．已知直線,l與圓交于A,B兩點,點Q在圓C上運動．
(1)當(dāng)時,求k;
(2)已知點,求的中點M的軌跡方程．
17．在直三棱柱中,D、E分別是、的中點,,,.
(1)求證：平面;
(2)求點E到平面的距離.
18．如圖,已知等腰梯形中,,,E是的中點,,將沿著翻折成,使平面平面.
(1)求證：平面;
(2)求與平面所成的角;
(3)在線段上是否存在點P,使得平面,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
19．已知、分別為橢圓的左、右焦點,點在橢圓C上,離心率為．
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點,過點的直線l交橢圓C于D、E兩點,,求直線l的方程．
(3)若過橢圓上一點切線方程為,利用上述結(jié)論,設(shè)d是從橢圓中心到橢圓在點Q處切線的距離,當(dāng)Q在橢圓上運動時,判斷是否為定值．若是求出定值,若不是說明理由．
參考答案
1．答案：C
解析：由題可得：,所以直線l的傾斜角為：;
故選：C.
2．答案：A
解析：直線化為,
又直線,所以,
所以直線與直線的距離是.
故選：A.
3．答案：B
解析：因為曲線為橢圓,
所以,解得且,
所以“”是“且”的必要而不充分條件.
故選：B.
4．答案：D
解析：因為，所以，
又因為點N為BC的中點，所以，
所以.
故選：D.
5．答案：C
解析：由題意可知,,,三線兩兩垂直,所以可建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示：
則,,,．
,．
．
異面直線與所成角的余弦值為．
故選：C．
6．答案：B
解析：直線方程為,即,
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為,則,解得,,
故,
圓心為,半徑為,故,
因此過A經(jīng)過反射在P處,由于,
故光線從A點發(fā)出,經(jīng)直線反射到圓M上的最短路程為4,
故選：B
7．答案：C
解析：由題意可知：圓的圓心為,半徑為1,
則圓心O到直線l的距離為,可知直線l與圓O相離,
因為,且,
當(dāng)最小時,則最大,可得最大,即最大,
又因為的最小值即為圓心O到直線l的距離為,
此時,,所以取得最大值．
故選：C．
8．答案：B
解析：連接,如下圖所示：
由橢圓定義,以及已知條件,可得：
,,,,
在和中,由余弦定理可得：
,
代值整理可得：,,
則離心率.
故選：B.
9．答案：AB
解析：對A,因為橢圓,
,,,
的周長為,故A正確;
對B,因為,面積最大時高最大,為b,
所以面積的最大值為,故B正確;
對C,橢圓C的焦距為,故C錯誤;
對D,橢圓C的離心率為,故D錯誤;
故選：AB.
10．答案：ABD
解析：由題意可知,,,,
故,故兩圓相交,公切線有2條,A正確,
與圓相減可得,
故直線方程為,B正確,
到直線的距離為,故,故C錯誤,
可看作是圓上的一個點到點的距離的平方,
故最大值為,D正確,
故選：ABD.
11．答案：BCD
解析：對于A,連接,相交于O,連接,
由于,且,故
因此為二面角的平面角,故,故A錯誤,
對于C：在正方體中,平面,平面,所以,
故,則有,
所以點E的軌跡是以為圓心,1為半徑的圓,故選項C正確;
對于B：在正方體中,平面平面,且兩平面交線為,,平面,故平面,
因為,則平面,故F在上,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
因為點F的軌跡是線段,設(shè),則,
則,,,,,,
則,,故,
進(jìn)而可得,故,B正確,
又,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
則有,即,
令,則,,
故平面的一個法向量為,
設(shè)與平面所成的角為,
則,
當(dāng)時,有最大值,
故與平面所成角的正弦值的最大值,故D正確．
故選：BCD．
12．答案：
解析：,解得,故,
故答案為：.
13．答案：
解析：由,且,
可知M與A,B,C共面,則的最小值為三棱錐的高,
設(shè)O為P在平面上的射影,連接并延長交于點H,
則,所以,所以,
所以三棱錐的高為．
故答案為：.
14．答案：6
解析：如圖所示：
由,得,,
則,所以橢圓的左,右焦點坐標(biāo)分別為,,
則圓的圓心為橢圓的左焦點,
由橢圓的定義得,
所以,
又,
所以,
,
故答案為：6.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由題可知,的斜率為,
設(shè)的斜率為k,因為,所以,則,
又經(jīng)過點,所以的方程為,即;
(2)若在兩坐標(biāo)軸上的截距為0,即經(jīng)過原點,設(shè)的方程為,
將代入解析式得,解得,
故的方程為,
若在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0,則設(shè)的方程為,
由,得,
故的方程為,
綜上,的方程為或.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意可知：圓的圓心,半徑,
則圓心到直線l的距離,
可得,解得.
(2)設(shè),
因為點,且M為的中點,則,
又因為點Q在圓C上,則,整理得,
所以點M的軌跡方程為.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)因為為直三棱柱,
則平面,且,
以C的原點,,,分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
因為,,且D,E分別是,的中點,
則,,,,,,
所以,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,則,取,則,,
則平面的一個法向量為,
因為平面,且,
則平面.
(2)由(1)可知,平面的一個法向量為,且,
則點E到平面的距離.
18．答案：(1)證明見解析;
(2);
(3)存在,.
解析：(1)因為,E是的中點,所以,
故四邊形是菱形,從而,
所以沿著翻折成后,,,
又因為,
所以平面,
由題意,易知,,
所以四邊形是平行四邊形,故,
所以平面;
(2)因為平面,
所以與平面所成的角為,
由已知條件,可知,,
所以是正三角形,所以,
所以與平面所成的角為;
(3)假設(shè)線段上是存在點P,使得平面,
過點P作交于Q,連結(jié),,如下圖：
所以,所以A,M,P,Q四點共面,
又因為平面,所以,
所以四邊形為平行四邊形,故,
所以P為中點,
故在線段上存在點P,使得平面,且.
19．答案：(1)
(2)
(3)為定值,且定值為12,
解析：(1)設(shè),,
,故,
點在橢圓C上,則,
,故得,即
解得,,
故橢圓C的方程為．
(2)由(1)知,,,若直線l的斜率不存在,
則,代入橢圓方程可得,故,
此時,故直線有斜率,
直線l的斜率為k,則l的方程為,
由消去y得,,①
顯然,設(shè),,,,則,,
于是,
,
化簡可得,即,
解得,
所以直線方程為
(3)由于橢圓上一點的切線方程為．
依題意,設(shè)橢圓上的點,,則過點,的切線方程為,
即,原點到切線的距離為．
由兩點間距離公式可得,,
同理,
則,
故為定值．

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