一、選擇題
1、直線的一個(gè)方向向量是( )
A.B.C.D.
2、設(shè)A是空間一定點(diǎn),為空間內(nèi)任一非零向量,滿足條件的點(diǎn)M構(gòu)成的圖形是( )
A.圓B.直線C.平面D.線段
3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線的漸近線方程為( )
A.B.C.D.
4、圓與圓的公共弦所在直線方程為( )
A.B.
C.D.
5、以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程是( )
A. B. C. D.
6、如圖,在三棱錐中,點(diǎn)P,Q分別是OA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G是PQ的中點(diǎn),若記,,,則( )
A.B.
C.D.
7、已知點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值是( )
A.13B.16C.17D.18
8、如右圖,在長(zhǎng)方體中,,,,一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn),遇長(zhǎng)方體的面反射（反射服從光的反射原理）,將次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為,,將線段,,,豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9、已知直線和直線,下列說(shuō)法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),
B.當(dāng)時(shí),
C.直線過(guò)定點(diǎn),直線過(guò)定點(diǎn)
D.當(dāng),平行時(shí),兩直線的距離為
10、下面四個(gè)結(jié)論正確的是( )
A.若A,B,C三點(diǎn)不共線,面ABC外的任一點(diǎn)O,有,則M,A,B,C四點(diǎn)共面
B.有兩個(gè)不同的平面,的法向量分別為,,且,,則
C.已知為平面的一個(gè)法向量,為直線l的一個(gè)方向向量,若,則l與所成角為
D.已知向量,,若,則為鈍角
11、有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美,其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn),故也被稱(chēng)作阿基米德體.如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,共截去八個(gè)三棱錐,則關(guān)于該半正多面體的下列說(shuō)法中正確的是( )
A.該半正多面體外接球與原正方體的外接球半徑相等
B.與DF所成的角是的棱共有18條
C.DF與平面BCD所成的角
D.若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn),直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為
12、已知雙曲線與直線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn),記直線PA,PB的斜率分別為,,曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為,.若,且C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B.C的離心率為
C.若,則的面積為2
D.若的面積為,則為鈍角三角形
三、填空題
13、在空間直角坐標(biāo)系中,已知,,則MN的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為_(kāi)___________．
14、經(jīng)過(guò)點(diǎn),且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線l的方程是______.
四、雙空題
15、已知圓,若圓與圓M內(nèi)切,則_________;若點(diǎn)P是圓M上一動(dòng)點(diǎn),滿足“點(diǎn)P到直線的距離等于2”的點(diǎn),在圓M上有且僅有三個(gè),則______.
16、如圖,已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),若,,則_________,橢圓的離心率為_(kāi)_______.

五、解答題
17、已知點(diǎn),及點(diǎn);
（1）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且,求直線l的方程;
（2）求的面積.
18、已知向量,,.
（1）求;
（2）求在方向上的投影向量;
（3）若,求m,n的值.
19、如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,,,,平面ABCD.
（1）若點(diǎn)G是AC的中點(diǎn),求證：平面AED;
（2）求點(diǎn)D到平面AFC的距離.
20、已知點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓.
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)M,且被圓C截得的弦長(zhǎng)為,求直線l的方程;
（2）已知點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng),線段MN的中點(diǎn)為P,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線W;若直線上存在點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作曲線W的兩條切線QA,QB,切點(diǎn)為A,B,且,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
21、如圖,已知矩形ABCD中,,,M為DC的中點(diǎn),將 沿AM折起,使得平面平面ABCM．
（1）求證：平面平面BDM;
（2）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn),且,當(dāng)二面角 的余弦值為時(shí), 求t的值．
22、橢圓的右焦點(diǎn)是,且經(jīng)過(guò)點(diǎn);直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).

（1）求橢圓方程;
（2）若過(guò)原點(diǎn)的直線m與橢圓交于C,D兩點(diǎn),且,求四邊形ACBD面積的范圍.
參考答案
1、答案：A
解析：一個(gè)方向向量是,
故選：A.
2、答案：C
解析：由題意,故點(diǎn)M位于過(guò)點(diǎn)A且和垂直的平面內(nèi),
故點(diǎn)M構(gòu)成的圖形是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且以為法向量的平面,
故選：C.
3、答案：B
解析：由雙曲線,可得其標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以,
則雙曲線的漸近線方程為.
故選：B.
4、答案：C
解析：聯(lián)立,相減可得,
故選:C
5、答案：C
解析：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為,
由題意得：橢圓的焦點(diǎn)為,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為,
所以橢圓的方程是,
故選：C.
6、答案：A
解析：由在三棱錐中,點(diǎn)P,Q分別是OA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G是PQ的中點(diǎn),
如圖所示,連接OQ,根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則,
可得：
.
故選：A.
7、答案：B
解析：設(shè)直線：,圓,圓,
易知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,以為圓心,以1為半徑的圓即為圓A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)圓.設(shè)E點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則有,
,
如圖,連接,
在中,有,當(dāng)且僅當(dāng)P,,F三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào),
故求解的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求最大值問(wèn)題,
故當(dāng)直線過(guò)圓心和圓心B且,F距離最遠(yuǎn)且點(diǎn)P恰好為直線與直線l的交點(diǎn)時(shí)可取得最大值.
由題意知點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)分別為：,,兩圓半徑分別為1和2,
故最大值為：.
故選：B.
8、答案：C
解析：因?yàn)?所以延長(zhǎng)交于F,過(guò)F作FM垂直DC于M.
在矩形中分析反射情況：由于,第二次反射點(diǎn)為在線段AM上,此時(shí),第三次反射點(diǎn)為在線段FM上,此時(shí),第四次反射點(diǎn)為在線段上,由圖可知,
選C.
9、答案：AD
解析：對(duì)于A,當(dāng)時(shí),那么直線為,直線為,此時(shí)兩直線的斜率分別為和,所以有,所以,故A選項(xiàng)正確;
對(duì)于B,當(dāng)時(shí),那么直線為,直線為,此時(shí)兩直線重合,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于C,由直線,整理可得： ,故直線過(guò)定點(diǎn),
直線,整理可得：,故直線過(guò)定點(diǎn),故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對(duì)于D,當(dāng),平行時(shí),兩直線的斜率相等,即,解得：或,當(dāng)時(shí),兩直線重合,舍去;當(dāng)時(shí),直線為,為,此時(shí)兩直線的距離,故D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
10、答案：AC
解析：對(duì)于A：,即,M,A,B,C四點(diǎn)共面,故A正確,
對(duì)于B：,,,即與不平行,與不平行,故B錯(cuò)誤,
對(duì)于C：若,則l與所成角為,故C正確,
對(duì)于D：,,
若,則,
若,反向,則,,
,,
當(dāng)且時(shí),為鈍角,故D錯(cuò)誤,
故選：AC．
11、答案：CD
解析：設(shè)棱長(zhǎng)為的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,
將該半正多面體補(bǔ)成正方體,
正方體的棱長(zhǎng)為2,可得該半正多面體的外接球與原正方體的外接球的球心重合,
但半徑分別為和,故A錯(cuò)誤;
與DF成的棱有HF,AG,AF,GH和與面AFHG相對(duì)的面上的CI,JN,CJ,IN;
還有DH,BC,CD,BH和與面BCDH相對(duì)的面上的AM,NS,MN,AS,共16條,故B錯(cuò)誤;
由平面BCDH,可得為DF與平面BCD所成角,由于為等腰直角三角形,
所以,故C正確;
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
,,,,
設(shè),
則,
可解得,則,,共面,即A,C,D,F四點(diǎn)共面,
又,設(shè),所以,
則,,,,,,
,令,則,
因?yàn)?所以,
故直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為,,故D正確．
故選：CD．
12、答案：ABD
解析：設(shè)點(diǎn),,則且,
兩式相減,得,所以,
因?yàn)?所以,所以,
所以雙曲線的漸近線方程為,
因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為1,
所以,可得,又因,所以,
所以雙曲線的離心率為,所以A、B正確;
對(duì)于C中,不妨設(shè)P在右支上,記,則,
因?yàn)?所以,解得或（舍去）,
所以的面積為,所以C不正確;
對(duì)于D中,設(shè),因?yàn)?所以,
將代入,可得,
由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性,不妨取P的坐標(biāo)為,則,
,
因?yàn)?
所以為鈍角,所以為鈍角三角形,所以D正確.
故選：ABD.
13、答案：
解析：由,可得
則
即點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為
故答案為：.
14、答案：和;
解析：若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則設(shè)直線方程為,將代入可得,
若直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),設(shè)直線方程為,
將代入可得,所以直線方程為,即,
故答案為：和;
15、答案：①.18②.7
解析：由圓,得,
由圓,得,
由已知得,解得;
圓心M到直線的距離為,
又“點(diǎn)P到直線的距離等于2”的點(diǎn),在圓M上有且僅有三個(gè),
,
．
故答案為：18;7．
16、答案：①.②.
解析：由可得,
所以,
故
設(shè),則,,
在三角形中,,故,
在三角形中,,
故,
故答案為：;.
17、答案：（1）;
（2）5.
解析：（1）由題意可得：,
直線l的方程為,即
則直線l的方程為
（2）由題意可得直線MN的方程為：,即,
點(diǎn)P到直線MN的距離為,
,
的面積
的面積為5.
18、答案：（1）
（2）
（3）,
解析：（1）,,
,
所以
（2）
（3）,存在實(shí)數(shù),使得,
,故,
解得,,
19、答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）平面ABCD,,EA,AD,AB兩兩垂直,
故以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AE所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系
,,
平面DAE的一個(gè)法向量,
故,
又平面AED, 平面AED

（2）,,
設(shè)面AFC的一個(gè)法向量為
,取,則,故
,
所以點(diǎn)D到平面AFC的距離為.
20、答案：（1）或
（2）
解析：（1）由題意,圓,可得圓心,半徑,
因?yàn)橹本€l被圓C截得的弦長(zhǎng)為,則圓心到直線l的距離為,
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),此時(shí)直線l的方程為,滿足題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,即,
則,解得,即,
綜上可得,所求直線的方程為或.
（2）設(shè)點(diǎn),
因?yàn)辄c(diǎn),線段MN的中點(diǎn)為P,可得,解得,
又因?yàn)镹在圓C上,可得,即,
所以點(diǎn)P的軌跡即曲線W的方程為圓,
由,可得,
在直角中,,所以到直線q距離,
解得,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
21、答案：（1）證明見(jiàn)解析;
（2）.
解析：（1）證明：因?yàn)樵诰匦蜛BCD中,,,M為DC的中點(diǎn),
所以,
因?yàn)?所以,
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCM,平面平面,平面ABCM,所以平面ADM,
因?yàn)槠矫鍮DM,所以,平面平面BDM.
（2）取AM中點(diǎn)O,連接DO,
,O為AM的中點(diǎn),則,
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCM,平面平面,平面ADM,
所以,平面ABCM,
過(guò)點(diǎn)O在平面ABCM內(nèi)作AM的垂線,交AB于點(diǎn)F,
以O(shè)為原點(diǎn),OA、OF、OD所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則、、、,
易知平面ADM的一個(gè)法向量為,
因?yàn)榍?所以,
,．
設(shè)平面AME的一個(gè)法向量為,則,
即,取,得．
所以,因?yàn)?解得.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）焦點(diǎn)F為,則,即,
點(diǎn)在橢圓上,即,
解得或（舍去）,則,
所以橢圓的方程為;
（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,,,
聯(lián)立,可得,
則①,
又②,③
以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)即,
化簡(jiǎn)可得,
代入②③兩式,整理得,
即④,
將④式代入①式,得恒成立,則,
設(shè)線段AB中點(diǎn)為M,由,所以,
又,
又由,則C點(diǎn)坐標(biāo)為,
化簡(jiǎn)可得,
代入橢圓方程可得,即,
則
,
當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),AB方程為,直線CD過(guò)AB中點(diǎn),即為x軸,易得,,,
綜上,四邊形ACBD面積的取值范圍為.

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