1．已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且漸近線方程為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．雙曲線的離心率是2，左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線左支上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．4
4．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
5．已知雙曲線C：的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是C上支上的一點(diǎn)（不在y軸上），與x軸交于點(diǎn)A，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為B，若，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．已知雙曲線，的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為（ ）
A．B．C．2D．
8．已知?jiǎng)訄A與圓及圓都外切，那么動(dòng)圓圓心軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．的周長(zhǎng)為16
C．的面積為D．
10．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且，，關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，則（ ）
A．的實(shí)軸長(zhǎng)為2
B．的離心率為
C．的面積為
D．的平分線所在直線的方程為
11．如圖，是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則的最小值為2
D．
三、填空題
12．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在雙曲線C的右支上，若，則的最小值為 ．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、，若該雙曲線上存在點(diǎn)，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為 ．
14．已知橢圓的方程為，其左?右頂點(diǎn)分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
四、解答題
15．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求.
16．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.
17．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
參考答案：
1．A
雙曲線頂點(diǎn)在軸上，可設(shè)其方程為，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，
，解得：，雙曲線方程為：.
2．A
因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，故，
故，
而為的真子集，
故“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，
3．C
由焦半徑公式得，，則當(dāng)時(shí)，.
4．A
設(shè)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，，
又，
所以雙曲線的離心率.

5．A
設(shè)該內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)分別為D，E，則有，，，
又，，則，即，解得，
由，即，得，所以．
6．D
在以為直徑的圓上，，
，，，，
由雙曲線定義知：，即，
；
，，，
則，，
即雙曲線離心率的取值范圍為.
7．B
根據(jù)雙曲線的定義可得，
因?yàn)椋?，?br>因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，即，
所以，所以離心率，
所以雙曲線的離心率的最大值為，
8．B
圓：，圓心，半徑 ，
圓：，圓心，半徑 ，
設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，由動(dòng)圓與圓，都外切，
得，則，
因此圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線左支，
即，半焦距，虛半軸長(zhǎng)，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.
9．AB
由已知，雙曲線右焦點(diǎn)，即，故A項(xiàng)正確．且拋物線方程為．
對(duì)于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，
整理可得．，解得或（舍去負(fù)值），
所以，代入可得，．
設(shè)，又，所以，，，則的周長(zhǎng)為16，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，易知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，由余弦定理可得，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．

10．ACD
由題意，
在中，
∵關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，
∴，，三點(diǎn)共線，且，
∵，∴.
設(shè)，，
根據(jù)雙曲線定義可得，，
解得，，即，∴.
在中，根據(jù)勾股定理可得，，解得，
∴的實(shí)軸長(zhǎng)為2，所以A正確；
又，，∴的離心率為，所以B不正確；
的面積為，∴C正確；
∵，∴，
∵，易得的平分線的傾斜角為，
∴的平分線所在直線的方程為，即，所以D正確.
11．ABD
對(duì)于A，橢圓，雙曲線，
由橢圓?雙曲線的定義可知，，解得，故A正確；
對(duì)于B，令，
由余弦定理得，
當(dāng)時(shí)，，即，因此，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，即，有，
而，則有，解得，故C錯(cuò)誤；
，
，解得，
而，因此，故D正確.
12．/
依題意，，即.
所以,解得，
所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線C的右支上，
所以，即，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：.
13．
設(shè)點(diǎn)，其中，易知點(diǎn)、，且有，則，
，
當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，，，則，，且，
由基本不等式可得，
因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)，使得直線、的斜率之和為，則，即，
.
故答案為：.
14．
由題意知，
設(shè)直線為，，
由三點(diǎn)共線及B,F,M三點(diǎn)共線，
得，
兩式相乘化簡(jiǎn)，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：
15．(1)
(2)
（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，解得：；
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得：，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)，Qx2,y2
由題可得過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為：，即，
聯(lián)立，消去可得：，
所以，，
所以
16．(1)
(2)或．
（1）因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線互相垂直，
所以雙曲線為等軸雙曲線，
所以設(shè)所求雙曲線方程為，，
又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，即，
所以雙曲線的方程為，即．
（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，又直線過(guò)點(diǎn)，
所以直線的方程為，
所以原點(diǎn)到直線的距離，
聯(lián)立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面積為，
所以，解得，所以，
所以直線的方程為或．
17．(1)
(2)見(jiàn)解析
（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價(jià)于；
兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：
設(shè),線段中點(diǎn)為,則,
設(shè),
則條件③等價(jià)于,
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：,
解得的橫坐標(biāo)：,
同理：，
∴
∴,
∴條件②等價(jià)于，
綜上所述：
條件①在上，等價(jià)于；
條件②等價(jià)于；
條件③等價(jià)于；
選①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.

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