?專題11 雙曲線方程及其簡單幾何性質(zhì)中檔題突破
題型一 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．與雙曲線共焦點，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)橢圓的半焦距為．
由橢圓與雙曲線有公共焦點，
得橢圓的焦點坐標(biāo)為，，
，再由，可得，，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：．
2．與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點的雙曲線方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，，
，得，
即橢圓的半焦距為．
設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，
所求雙曲線的焦點在軸上，則，
雙曲線方程化為：，
設(shè)雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，
則，，
，解得：．
所求雙曲線的方程為．
故選：．
3．雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B．或
C．或 D．
【解答】解：橢圓中，，
焦距，
雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，
設(shè)雙曲線方程為，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得：，
當(dāng)時，，解得，
雙曲線方程為；
當(dāng)時，，解得，
雙曲線方程為．
雙曲線方程為或．
故選：．
4．設(shè)雙曲線經(jīng)過點，且與具有相同漸近線，則的方程為　　．
【解答】解：雙曲線經(jīng)過點，且與具有相同漸近線，
設(shè)雙曲線的方程為，，
把點代入，得：，解得，
雙曲線的方程為：．
故答案為：．
5．已知、為雙曲線的左，右焦點，點在的右支上，△為等腰三角形，且，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為△為等腰三角形，且，
所以，
所以，
過點作，垂足為，
所以，
由雙曲線的定義可得，
所以，
所以，
故選：．

6．已知拋物線，若雙曲線以拋物線焦點為右焦點，且一條漸近線方程是，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：拋物線的焦點為，
因為雙曲線以拋物線焦點為右焦點，
所以①，②，
雙曲線的漸近線為，
所以③，
由①②③，解得，，
所以雙曲線的方程為．
故選：．
7．根據(jù)下列已知條件求曲線方程．
（Ⅰ）求與雙曲線共漸近線且過，點的雙曲線方程；
（Ⅱ）求與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點的橢圓方程．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為：
點，在雙曲線上，

所求雙曲線方程為：，即．
（Ⅱ）若焦點在軸上，設(shè)所求橢圓方程為，將點代入，得，
故所求方程為．
若焦點在軸上，設(shè)方程為代入點，得，
．

題型二 雙曲線的性質(zhì)
8．我們把方程分別為：和的雙曲線稱為共軛雙曲線，則共軛雙曲線有相同　　
A．離心率 B．漸近線 C．焦點 D．頂點
【解答】解：共軛雙曲線和的，設(shè)，，
可得它們的焦點為，，
漸近線方程均為，
離心率分別為和，
它們的頂點分別為，，
故選：．
9．對于雙曲線和，給出下列四個結(jié)論：
（1）離心率相等；（2）漸近線相同；（3）沒有公共點；（4）焦距相等，其中正確的結(jié)論是　　
A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）
【解答】解：由題意，雙曲線，，
（1）離心率分別為，；（2）漸近線相同，為；（3）沒有公共點；（4）焦距相等，為10，
故選：．
10．已知雙曲線的焦點為，，過左焦點交雙曲線左支于、兩點，若，則等于 　　．
【解答】解：如圖，

由雙曲線定義可得：，，
，
又已知，
，得．
故答案為：．
11．已知，為雙曲線的左、右焦點，斜率為的直線過分別交雙曲線左、右支于、點，，則雙曲線的漸近線方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)，由雙曲線定義得：，，
所以，
作，△中，，可得，
△中，勾股定理得：①，
△中，勾股定理得：，
可得②，
由①②可得，整理可得，即可得．
所以漸近線的斜率為，故漸近線方程為．

故選：．
12．直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長為　　
A．4 B．8 C． D．
【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線為，
又直線是雙曲線的一條漸近線，
所以，①
因為雙曲線的一個頂點到漸近線的距離為，
所以點到漸近線的距離為，
所以，②
由①②得，，
所以雙曲線的虛軸長，
故選：．
13．雙曲線的右焦點到直線的距離的最大值為　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：雙曲線的右焦點為，
直線過定點，
所以雙曲線的右焦點到直線的距離的最大值為線段 的長，
即最大值為，
故選：．
14．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點、分別為漸近線和雙曲線左支上的動點，則取得最小值為　?。?br /> 【解答】解：依題意，，，
不妨取其中一條漸近線為，由雙曲線的定義知，，
，則，
當(dāng)、、三點共線時且垂直于漸近線時，取得最小值．
此時，到漸近線的距離為，最小值為：．
故答案為：．
15．已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上，，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的面積為　　
A． B．9 C． D．4
【解答】解：如圖，設(shè)的右焦點為，由題意可得，，
因為，所以，．
的周長為，
即當(dāng)，，三點共線時，的周長最小，此時直線的方程為，
聯(lián)立方程組，解得或，即此時的縱坐標(biāo)為，
故的面積為．
故選：．

16．定義：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線．以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的是　　
A．與共軛的雙曲線是
B．互為共軛的雙曲線漸近線不相同
C．互為共軛的雙曲線的離心率為，，則
D．互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上
【解答】解：對：根據(jù)所給定義可得與共軛的雙曲線是，故錯誤；
對：由雙曲線方程與，可得其漸近線方程均為，故錯誤；
對：由雙曲線方程程與，可得，，
則，即，
因為，均大于1，
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，故正確；
對的焦點坐標(biāo)為，，的焦點坐標(biāo)為，
這四個焦點在以原點為圓心，以為半徑的圓上，故正確．
故選：．

題型三 軌跡問題
17．平面內(nèi)有兩個定點和，動點滿足條件，則動點的軌跡方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線右支，
得，，
，
，
故動點的軌跡方程是．
故選：．
18．若動點滿足，則點的軌跡方程為　?。?br /> 【解答】解：設(shè)，
由于動點的軌跡方程為，則，故點到定點與到定點的距離差為6，
則動點的軌跡是以為焦距，以6為實軸長的雙曲線的右支，
由于，，則，
故的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
故答案為：．
19．已知動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為　　．
【解答】解：由圓，可得圓心，半徑；由圓可得圓心，半徑．
設(shè)動圓的半徑為，由題意可得，．
．
由雙曲線的定義可得：動圓的圓心在以定點，為焦點的雙曲線的右支上．
，．．
動圓圓心的軌跡方程為．
故答案為．
20．設(shè)是以，為焦點的雙曲線上的動點，則△的重心的軌跡方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：是△的重心，，
設(shè)，，則，
代入雙曲線方程可得：．
故選：．
21．（1）已知雙曲線中心在原點，該雙曲線過點，且漸近線方程為，求該雙曲線的方程．
（2）已知圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程．
【解答】解：（1）由雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，
把點代入，可得，即．
該雙曲線的方程為；
（2）圓的圓心為，半徑為2；
圓的圓心為，半徑為10．
設(shè)動圓圓心為，半徑為，
則，，
于是，
動圓圓心的軌跡是以，為焦點，長軸長為12的橢圓．
，，．
的軌跡方程為：．
22．（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點，的雙曲線的方程．
（2）已知，，若的周長為10，求頂點的軌跡方程．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，要求雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則設(shè)要求雙曲線的方程為，
又由要求雙曲線經(jīng)過點，，
則有，解可得，
則要求雙曲線的方程為，
（2）根據(jù)題意，已知，，
若的周長為10，則，
分析可得：頂點的軌跡為以、為焦點的橢圓，其中，，（排除長軸的端點）
則，
則頂點的軌跡方程為，．
23．雙曲線，、為其左右焦點，是以為圓心且過原點的圓．
（1）求的軌跡方程；
（2）動點在上運動，滿足，求的軌跡方程．
【解答】解：（1）由已知得，，故，所以、，
因為是以為圓心且過原點的圓，故圓心為，半徑為4，
所以的軌跡方程為；
（2）設(shè)動點，，，
則，，
由，得，，，
即，解得，
因為點在上，所以，
代入得，
化簡得．

題型四 雙曲線的離心率
24．已知，為雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線離心率的值為　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，
點到漸近線的距離，
，
在中，
運用余弦定理，可得，
，
，
，
．
故選：．
25．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作漸近線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，且，則雙曲線的離心率為　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：如圖，不妨取漸近線為，

焦點到漸近線的距離為，則，
，
則．
故選：．
26．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作以為圓心、為半徑的圓的切線切點為．延長交的左支于點，若為線段的中點，且，則的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意，得，，
，
，
所以，
解得，
故選：．
27．已知雙曲線與直線相交于，兩點，直線上存在一點滿足，坐標(biāo)原點為，直線的斜率為2，則該雙曲線的離心率為　　
A． B． C． D．3
【解答】解：設(shè)，，，，
、在雙曲線上，
①，②，
①②得：，
即，
點，也在直線上，，
又為，的中點，，，
又，，則，
雙曲線的離心率，
故選：．
28．雙曲線，的左、右焦點分別為，，是雙曲線上一點，軸，，則雙曲線的離心率為　　
A． B． C． D．2
【解答】解：因為點在雙曲線上，且軸，
所以點的橫坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程可得，
則，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以（舍去），或，
故選：．
29．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作直線交雙曲線的右支于，兩點，其中點在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為　　
A． B．2 C． D．4
【解答】解：設(shè)，因為，則，
由雙曲線的定義可得，，
因為，
所以，，，，
因為，所以，
由余弦定理可得，
即，解得．
故選：．

30．已知點、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線右支交于點，過作的角平分線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，，是雙曲線的左右焦點，延長交于點．
是的角平分線，．
點在雙曲線上，，．
是的中點，是的中點，是△的中位線，
，則．
在△中，由余弦定理可知，
，
當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)趨近于時，直線的斜率趨近，
故，
得，．
故選：．

31．、分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，若是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為　　

A． B． C． D．
【解答】解：因為為等邊三角形，不妨設(shè)，
為雙曲線上一點，，
為雙曲線上一點，則，，，
由，則，
在△中應(yīng)用余弦定理得：，
得，則，解得．
故選：．

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