\l "_Tc8419" 02、知識(shí)導(dǎo)圖，思維引航 PAGEREF _Tc8419 \h 3
\l "_Tc916" 03、考點(diǎn)突破，考法探究 PAGEREF _Tc916 \h 3
\l "_Tc31522" 考點(diǎn)一 平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及應(yīng)用 PAGEREF _Tc31522 \h 3
\l "_Tc31110" 知識(shí)點(diǎn)1、平拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc31110 \h 3
\l "_Tc17245" 知識(shí)點(diǎn)2、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 PAGEREF _Tc17245 \h 4
\l "_Tc31298" 知識(shí)點(diǎn)3、平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間和水平射程 PAGEREF _Tc31298 \h 4
\l "_Tc11782" 知識(shí)點(diǎn)4．速度和位移的變化規(guī)律 PAGEREF _Tc11782 \h 5
\l "_Tc2130" 考向1 單物體的平拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc2130 \h 5
\l "_Tc23511" 考點(diǎn)2 多物體的平拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc23511 \h 6
\l "_Tc12407" 考點(diǎn)二 與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc12407 \h 6
\l "_Tc10875" 考向1 與斜面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc10875 \h 8
\l "_Tc15559" 考向2．與圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc15559 \h 10
\l "_Tc31141" 考點(diǎn)三 平拋運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問題 PAGEREF _Tc31141 \h 11
\l "_Tc15224" 知識(shí)點(diǎn)1、常見的“臨界術(shù)語” PAGEREF _Tc15224 \h 11
\l "_Tc20906" 知識(shí)點(diǎn)2、平拋運(yùn)動(dòng)臨界、極值問題的分析方法 PAGEREF _Tc20906 \h 12
\l "_Tc27730" 考向1 物體達(dá)到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度 PAGEREF _Tc27730 \h 12
\l "_Tc29758" 考向2 物體的速度方向恰好沿某一方向時(shí) PAGEREF _Tc29758 \h 13
\l "_Tc7474" 考點(diǎn)四 斜拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc7474 \h 13
\l "_Tc12386" 知識(shí)點(diǎn)1、斜拋運(yùn)動(dòng)的基本概念 PAGEREF _Tc12386 \h 13
\l "_Tc7196" 知識(shí)點(diǎn)2、斜拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律 PAGEREF _Tc7196 \h 14
\l "_Tc1083" 考向1 斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解和應(yīng)用 PAGEREF _Tc1083 \h 14
\l "_Tc5818" 考向2 三維空間內(nèi)的斜拋運(yùn)動(dòng) PAGEREF _Tc5818 \h 16
\l "_Tc13562" 考向3 斜拋運(yùn)動(dòng)與斜面結(jié)合問題 PAGEREF _Tc13562 \h 16
\l "_Tc12720" 04、真題練習(xí)，命題洞見 PAGEREF _Tc12720 \h 18
考點(diǎn)一 平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)1、平拋運(yùn)動(dòng)
1．定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)。
2．運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：平拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線。
3．研究方法——運(yùn)動(dòng)的合成與分解。
(1)水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)；
(2)豎直方向：自由落體運(yùn)動(dòng)。
知識(shí)點(diǎn)2、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
知識(shí)點(diǎn)3、平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間和水平射程
知識(shí)點(diǎn)4．速度和位移的變化規(guī)律
考向1 單物體的平拋運(yùn)動(dòng)
1 (多選)摩托車跨越表演是一項(xiàng)驚險(xiǎn)刺激的運(yùn)動(dòng)，受到許多極限愛好者的喜愛。假設(shè)在一次跨越河流的表演中，摩托車離開平臺(tái)時(shí)的速度為24 m/s，剛好成功落到對(duì)面的平臺(tái)上，測(cè)得兩岸平臺(tái)高度差為5 m，如圖3所示。若飛越中不計(jì)空氣阻力，摩托車可以近似看成質(zhì)點(diǎn)，g取10 m/s2，則下列說法正確的是( )
A.摩托車在空中的飛行時(shí)間為1 s
B.河寬為24 m
C.摩托車落地前瞬間的速度大小為10 m/s
D.若僅增加平臺(tái)的高度(其他條件均不變)，摩托車依然能成功跨越此河流
【答案】 ABD
【解析】 摩托車在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有h＝eq \f(1,2)gt2，解得摩托車在空中的飛行時(shí)間為t＝1 s，故A正確；河流的寬度即摩托車水平方向位移為d＝x＝v0t＝24×1 m＝24 m，故B正確；豎直方向速度為vy＝gt＝10 m/s，則摩托車落地前瞬間的速度為v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(242＋102) m/s＝26 m/s，故C錯(cuò)誤；摩托車離開平臺(tái)做平拋運(yùn)動(dòng)，僅增加平臺(tái)的高度(其他條件均不變)，則在空中的飛行時(shí)間增大，摩托車水平方向位移增大，所以摩托車依然能成功跨越此河流，故D正確。
考點(diǎn)2 多物體的平拋運(yùn)動(dòng)
2. 如圖所示，A、B兩個(gè)小球在同一豎直線上，離地高度分別為2h和h，將兩球水平拋出后，不計(jì)空氣阻力，兩球落地時(shí)的水平位移分別為s和2s。重力加速度為g，則下列說法正確的是( )
A.A、B兩球的初速度大小之比為1∶4
B.A、B兩球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為1∶eq \r(2)
C.兩小球運(yùn)動(dòng)軌跡交點(diǎn)的水平位移為eq \f(5,7)s
D.兩小球運(yùn)動(dòng)軌跡交點(diǎn)的離地高度為eq \f(6,7)h
【答案】 D
【解析】 小球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有H＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(\f(2H,g))，則A球運(yùn)動(dòng)時(shí)間tA＝eq \r(\f(2×2h,g))＝eq \r(\f(4h,g))，B球運(yùn)動(dòng)時(shí)間tB＝eq \r(\f(2h,g))，所以tA∶tB＝eq \r(2)∶1；由x＝v0t得v0＝eq \f(x,t)，結(jié)合兩球落地時(shí)位移之比xA∶xB＝1∶2，可知A、B兩球的初速度之比為1∶2eq \r(2)，故A、B錯(cuò)誤；兩球相交時(shí)，水平方向位移相同，因此有vAtA′＝vBtB′，B球下落高度hB＝eq \f(1,2)gtB′2，A球下落的高度hA＝eq \f(1,2)gtA′2，hA＝h＋hB，聯(lián)立各式得hB＝eq \f(1,7)h，tB′＝eq \r(\f(2h,7g))，則兩小球運(yùn)動(dòng)軌跡交點(diǎn)的高度為h－eq \f(1,7)h＝eq \f(6,7)h，兩小球運(yùn)動(dòng)軌
跡交點(diǎn)的水平位移xB′＝vBtB′，2s＝vBeq \r(\f(2h,g))，聯(lián)立解得xB′＝eq \f(2s,\r(7))，C錯(cuò)誤，D正確。
考點(diǎn)二 與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
考向1 與斜面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
1.近年來，國家大力開展冰雪運(yùn)動(dòng)進(jìn)校園活動(dòng)，蹬冰踏雪深受學(xué)生喜愛。如圖所示，兩名滑雪運(yùn)動(dòng)員(均視為質(zhì)點(diǎn))從跳臺(tái)a處先后沿水平方向向左飛出，其速度大小之比為v1∶v2＝2∶1，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則兩名運(yùn)動(dòng)員從飛出至落到斜坡(可視為斜面)上的過程中，下列說法正確的是( )
A.他們飛行時(shí)間之比為t1∶t1＝1∶2
B.他們飛行的水平位移之比為x1∶x2＝2∶1
C.他們速度變化之比為Δv1∶Δv2＝2∶1
D.他們?cè)诳罩须x坡面的最大距離之比為s1∶s2＝2∶1
【答案】 C
【解析】 運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)a處水平飛出，設(shè)初速度為v0，飛行時(shí)間為t，斜坡的傾角為θ，運(yùn)動(dòng)員在空中做平拋運(yùn)動(dòng)，落到斜坡上時(shí)有tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，可得他們飛行時(shí)間之比為t1∶t2＝v1∶v2＝2∶1，A錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)員飛行的水平位移為x＝v0t＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,g)，所以他們飛行的水平位移之比為x1∶x2＝veq \\al(2,1)∶veq \\al(2,2)＝4∶1，B錯(cuò)誤；兩運(yùn)動(dòng)員在水平方向的速度不變，在豎直方向的速度變化為Δvy＝gt，因?yàn)樗麄冿w行時(shí)間之比為t1∶t2＝2∶1，則他們速度變化之比為Δv1∶Δv2＝t1∶t2＝2∶1，C正確；運(yùn)動(dòng)員在空中離坡面的最大距離為s＝eq \f(（v0sin θ）2,2gcs θ)，他們?cè)诳罩须x坡面的最大距離之比為s1∶s2＝veq \\al(2,1)∶veq \\al(2,2)＝4∶1，D錯(cuò)誤。
【題后反思】從斜面上某點(diǎn)水平拋出，又落到斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)
兩種
特殊
狀態(tài)
落回斜面的時(shí)刻
速度與斜面平行的時(shí)刻
處理
方法
分解位移
分解速度
運(yùn)動(dòng)
特征
①位移偏轉(zhuǎn)角度等于斜面傾角θ；
②落回斜面上時(shí)速度方向與斜面的夾角與初速度大小無關(guān)，只與斜面的傾角有關(guān)；
③落回斜面上時(shí)的水平位移與初速度的平方成正比，即x∝veq \\al(2,0)
①豎直分速度與水平分速度的比值等于斜面傾角的正切值；
②該時(shí)刻是運(yùn)動(dòng)全過程的中間時(shí)刻；
③該時(shí)刻物體距斜面最遠(yuǎn)
運(yùn)動(dòng)
時(shí)間
由tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)得t＝eq \f(2v0tan θ,g)
由tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)得t＝eq \f(v0tan θ,g)

2. A、D分別是斜面的頂端、底端，B、C是斜面上的兩個(gè)點(diǎn)，AB＝BC＝CD，E點(diǎn)在D點(diǎn)的正上方，與A等高，從E點(diǎn)水平拋出質(zhì)量相等的兩個(gè)小球，球1落在B點(diǎn)，球2落在C點(diǎn)，忽略空氣阻力。關(guān)于球1和球2從拋出到落在斜面上的運(yùn)動(dòng)過程( )
A.球1和球2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2∶1
B.球1和球2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1∶2
C.球1和球2拋出時(shí)初速度之比為2∶1
D.球1和球2運(yùn)動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)速度變化量之比為1∶1
【答案】 D
【解析】 因?yàn)锳C＝2AB，所以球2的豎直位移是球1豎直位移的2倍，根據(jù)h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，解得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為t1∶t2＝1∶eq \r(2)，故A、B錯(cuò)誤；因?yàn)锽D＝2CD，所以球1的水平位移是球2水平位移的2倍，根據(jù)x＝v0t得v0＝xeq \r(\f(g,2h))，解得初速度之比為v01：v02＝2eq \r(2)∶1，故C錯(cuò)誤；單位時(shí)間內(nèi)速度變化量即為加速度，而平拋運(yùn)動(dòng)的加速度都為g，相同，故D正確。
【題后反思】
方法總結(jié) 平拋運(yùn)動(dòng)與斜面結(jié)合的三種模型
模型
處理
方法
分解速度
分解速度
分解位移
運(yùn)動(dòng)
時(shí)間
由tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)得t＝eq \f(v0,gtan θ)
由tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)得t＝eq \f(v0tan θ,g)
由tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)得t＝eq \f(2v0,gtan θ)
考向2．與圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
3.如圖所示，半徑為R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平，O點(diǎn)為碗的圓心，A、B為水平直徑的兩個(gè)端點(diǎn)。將一彈性小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從A點(diǎn)沿AB方向以初速度v1水平拋出，小球與碗內(nèi)壁碰撞一次后恰好經(jīng)過B點(diǎn)；若將該小球從離O點(diǎn)eq \f(\r(3),2)R處的C點(diǎn)以初速度v2水平拋出，小球與碗內(nèi)壁碰撞一次后恰好返回C點(diǎn)。假設(shè)小球與碗內(nèi)壁碰撞前后瞬間小球的切向速度不變，沿半徑方向的速度等大反向，則v2與v1的比值為( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(6)
C.eq \r(5) D.eq \r(3)
【答案】B
【解析】小球從A點(diǎn)以初速度v1向右平拋，反彈后經(jīng)過B點(diǎn)，由對(duì)稱性知小球與碗內(nèi)壁的碰撞點(diǎn)應(yīng)在碗的最低點(diǎn)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有R＝v1t1，R＝eq \f(1,2)gt12，解得v1＝eq \r(\f(1,2)gR)；小球從C點(diǎn)以初速度v2向右平拋，要使小球能反彈回C點(diǎn)，小球必須垂直打在圓弧上，
如圖所示
設(shè)碰撞點(diǎn)為D，連接OD，即為平拋軌跡過D點(diǎn)的切線，過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，則O為小球平拋水平位移的中點(diǎn)，有ED＝eq \f(1,2)gt22，CO＝OE＝eq \f(1,2)v2t2，在Rt△ODE中，有(ED)2＋(OE)2＝R2，解得v2＝eq \r(3gR)，可得eq \f(v2,v1)＝eq \r(6)，故選B。
4.如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一曲面，曲面滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為y＝x2(x＞0)，在y軸上有一點(diǎn)P，坐標(biāo)為(0,6 m)。從P點(diǎn)將一可看成質(zhì)點(diǎn)的小球水平拋出，初速度為1 m/s。則小球第一次打在曲面上的時(shí)間為(不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2)( )
A．1 s B.eq \f(\r(5),5) s C.eq \f(\r(10),2) s D.eq \f(\r(2),2) s
【答案】 A
【解析】 設(shè)小球經(jīng)過時(shí)間t打在曲面上M點(diǎn)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，小球水平拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上，有x1＝v0t，在豎直方向上，有6 m－y1＝eq \f(1,2)gt2，又小球打在曲面上，則滿足數(shù)學(xué)關(guān)系式y(tǒng)1＝x12，代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得t＝1 s，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。
【題后反思】平拋運(yùn)動(dòng)與兩類曲面結(jié)合問題
(1)物體平拋后落入圓弧內(nèi)時(shí)，物體平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移、豎直位移與圓弧半徑存在一定的數(shù)量關(guān)系。
(2)物體平拋后落入拋物面內(nèi)時(shí)，物體平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移、豎直位移與拋物線方程結(jié)合可以建立水平方向和豎直方向的關(guān)系方程。
考點(diǎn)三 平拋運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問題
知識(shí)點(diǎn)1、常見的“臨界術(shù)語”
(1)題目中有“剛好”“恰好”“正好”“取值范圍”“多長時(shí)間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在臨界點(diǎn)。
(2)題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值。
知識(shí)點(diǎn)2、平拋運(yùn)動(dòng)臨界、極值問題的分析方法
(1)確定研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)；
(2)根據(jù)題意確定臨界狀態(tài)；
(3)確定臨界軌跡，畫出軌跡示意圖；
(4)應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合臨界條件列方程求解。
考向1 物體達(dá)到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度
1．(多選)“山西刀削面”堪稱天下一絕，如圖所示，小面圈(可視為質(zhì)點(diǎn))從距離開水鍋高為h處被水平削離，與鍋沿的水平距離為L，鍋的半徑也為L。忽略空氣阻力，且小面圈都落入鍋中，重力加速度為g，則下列關(guān)于所有小面圈在空中運(yùn)動(dòng)的描述正確的是( )
A．運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相同
B．速度的變化量不相同
C．落入鍋中時(shí)，最大速度是最小速度的3倍
D．若小面圈剛被拋出時(shí)初速度為v0，則Leq \r(\f(g,2h))

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