\l "_Tc16688" 02、知識導(dǎo)圖，思維引航 PAGEREF _Tc16688 \h 3
\l "_Tc1196" 03、考點(diǎn)突破，考法探究 PAGEREF _Tc1196 \h 3
\l "_Tc862" 考點(diǎn)一 功的分析和計算 PAGEREF _Tc862 \h 3
\l "_Tc10692" 知識點(diǎn)1．做功的兩個要素 PAGEREF _Tc10692 \h 3
\l "_Tc5455" 知識點(diǎn)2．恒力功 PAGEREF _Tc5455 \h 4
\l "_Tc9193" 知識點(diǎn)3．功的正負(fù) PAGEREF _Tc9193 \h 4
\l "_Tc31773" 知識點(diǎn)4．變力功的計算方法 PAGEREF _Tc31773 \h 4
\l "_Tc16492" 考向1 功的正負(fù)判斷 PAGEREF _Tc16492 \h 5
\l "_Tc16877" 考向2 恒力做功及總功的計算 PAGEREF _Tc16877 \h 5
\l "_Tc29329" 考點(diǎn)二 求變力做功的五種方法 PAGEREF _Tc29329 \h 7
\l "_Tc8158" 考察動向 PAGEREF _Tc8158 \h 8
\l "_Tc32317" 考向1 利用微元法求變力做功 PAGEREF _Tc32317 \h 8
\l "_Tc1146" 考向2．化變力為恒力求變力做功 PAGEREF _Tc1146 \h 9
\l "_Tc20772" 考向3 利用平均力求變力做功 PAGEREF _Tc20772 \h 10
\l "_Tc17073" 考向4 利用F-x圖像求變力做功 PAGEREF _Tc17073 \h 11
\l "_Tc18010" 考向5 利用動能定理求變力做功 PAGEREF _Tc18010 \h 11
\l "_Tc21923" 考點(diǎn)三 功率的理解與計算 PAGEREF _Tc21923 \h 12
\l "_Tc12143" 考察動向 PAGEREF _Tc12143 \h 12
\l "_Tc18372" 考向1 對功率的理解 PAGEREF _Tc18372 \h 12
\l "_Tc6024" 考向2 瞬時功率的分析與計算 PAGEREF _Tc6024 \h 13
\l "_Tc35" 考向3 平均功率的分析與計算 PAGEREF _Tc35 \h 14
\l "_Tc6156" 考點(diǎn)四 機(jī)車啟動問題 PAGEREF _Tc6156 \h 14
\l "_Tc3799" 知識點(diǎn)1．兩種啟動方式 PAGEREF _Tc3799 \h 14
\l "_Tc5080" 知識點(diǎn)2．三個重要關(guān)系 PAGEREF _Tc5080 \h 15
\l "_Tc6620" 考察動向 PAGEREF _Tc6620 \h 15
\l "_Tc5416" 考向1 恒定功率啟動問題 PAGEREF _Tc5416 \h 15
\l "_Tc21999" 考向2 恒定加速度啟動問題 PAGEREF _Tc21999 \h 17
\l "_Tc11143" 04、真題練習(xí)，命題洞見 PAGEREF _Tc11143 \h 18
考點(diǎn)一 功的分析和計算
知識點(diǎn)1．做功的兩個要素
(1)作用在物體上的力。
(2)物體在力的方向上發(fā)生位移。
知識點(diǎn)2．恒力功
公式：W＝Flcs α。
(1)α是力與位移方向之間的夾角，l為力的作用點(diǎn)的位移。
(2)該公式只適用于恒力做功。
(3)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcs α求功。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3、…，再應(yīng)用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用動能定理W合＝Ek2－Ek1。
知識點(diǎn)3．功的正負(fù)
(1)當(dāng)0≤α＜90°時，W＞0，力對物體做正功。
(2)當(dāng)90°＜α≤180°時，W＜0，力對物體做負(fù)功，或者說物體克服這個力做了功。
(3)當(dāng)α＝90°時，W＝0，力對物體不做功。
知識點(diǎn)4．變力功的計算方法
(2)求變力做功的常用方法
①微元法求變力做功
將物體的位移分割成許多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力，這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化為在無數(shù)個無窮小的位移上的恒力所做功的代數(shù)和。
②平均值法求變力做功
若物體受到的力的方向不變，而大小隨位移是呈線性變化的，即力隨位移均勻變化時，則可以認(rèn)為物體受到一大小為eq \x\t(F)＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F(xiàn)1、F2分別為物體初、末態(tài)所受的力，然后用公式W＝eq \x\t(F)l求此力所做的功。
③用F－x圖像求變力做功
在F－x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移所做的功，且位于x軸上方的“面積”為正功，位于x軸下方的“面積”為負(fù)功。
④用W＝Pt求變力做功
若機(jī)車以恒定功率行駛，在一定時間內(nèi)機(jī)車牽引力做的功W＝Pt。
⑤應(yīng)用動能定理求變力做功。
考向1 功的正負(fù)判斷
1.圖甲為一女士站在臺階式自動扶梯上勻速上樓(忽略扶梯對手的作用)，圖乙為一男士站在履帶式自動扶梯上勻速上樓，兩人相對扶梯均靜止。下列關(guān)于做功的判斷中正確的是( )
A．圖甲中支持力對人做正功
B．圖甲中摩擦力對人做負(fù)功
C．圖乙中支持力對人做正功
D．圖乙中摩擦力對人做負(fù)功
【答案】A
【解析】： 題圖甲中，人勻速上樓，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，與速度方向的夾角為銳角，則支持力做正功，故A正確，B錯誤；題圖乙中，支持力與速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向與速度方向相同，做正功，故C、D錯誤。
考向2 恒力做功及總功的計算
1.(多選)一位質(zhì)量m＝60 kg的滑雪運(yùn)動員從高h(yuǎn)＝10 m的斜坡自由下滑，如圖1所示，如果運(yùn)動員在下滑過程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的傾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，運(yùn)動員滑至坡底的過程中，關(guān)于各力做功的情況，下列說法正確的是( )
A.重力做的功為6 000 J
B.阻力做的功為1 000 J
C.支持力不做功
D.各力做的總功為零
【答案】 AC
【解析】 對運(yùn)動員受力分析如圖所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－f·eq \f(h,sin θ)＝－50×eq \f(10,\f(1,2)) J＝－1 000 J，由于支持力方向與位移方向垂直，支持力不做功，即WN＝0，各力做的總功W總＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C正確，B、D錯誤。
2.如圖所示，升降機(jī)內(nèi)斜面的傾角θ＝30°，質(zhì)量為2 kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機(jī)以5 m/s的速度勻速上升4 s的過程中。g取10 m/s2，求：
(1)斜面對物體的支持力所做的功；
(2)斜面對物體的摩擦力所做的功；
(3)物體重力所做的功；
(4)合外力對物體所做的功。
【答案】 (1)300 J (2)100 J (3)－400 J (4)0
【解析】 物體置于升降機(jī)內(nèi)隨升降機(jī)一起勻速運(yùn)動過程中，處于受力平衡狀態(tài)，受力分析如圖所示
由平衡條件得
Ffcs θ－FNsin θ＝0，
Ffsin θ＋FNcs θ－mg＝0
代入數(shù)據(jù)得Ff＝10 N，F(xiàn)N＝10eq \r(3) N
x＝vt＝20 m
(1)斜面對物體的支持力所做的功
WN＝FNxcs θ＝300 J
(2)斜面對物體的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcs (90°－θ)＝100 J
(3)物體重力做的功WG＝－mgx＝－400 J
(4)合外力對物體做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcs α＝0。
3.北京冬奧會后，冰雪運(yùn)動蓬勃發(fā)展，如圖所示，某滑雪者由靜止開始沿斜坡從A點(diǎn)自由滑下，然后在水平面上前進(jìn)至B點(diǎn)停下。已知斜坡、水平面與滑雪板之間的動摩擦因數(shù)皆為μ，滑雪者(包括滑雪板)的質(zhì)量為m，A、B兩點(diǎn)間的水平距離為L。在滑雪者經(jīng)過AB段運(yùn)動的過程中，克服摩擦力做的功( )
A．大于μmgL B．小于μmgL
C．等于μmgL D．以上三種情況都有可能
【答案】C
【解析】： 設(shè)斜坡與水平面的交點(diǎn)為C，BC長度為L1，AC水平長度為L2，AC與水平面的夾角為θ，如圖所示。
滑雪者在水平面上摩擦力做功W1＝－μmgL1，在斜坡上摩擦力做功W2＝－μmgcs θ·eq \f(L2,cs θ)＝－μmgL2，所以在滑雪者經(jīng)過AB段過程中，摩擦力做的總功為W＝W1＋W2＝－μmg(L1＋L2)＝－μmgL，故滑雪者克服摩擦力所做的功為μmgL。故選C。
【斜面上摩擦力做功的結(jié)論】
斜面的粗糙程度相同，且斜面水平投影的長度相同，物體沿不同傾角的斜面從頂端運(yùn)動到底端，摩擦力對物體做的功均相等，即Wf＝－μmgx，x為斜面水平投影的長度。(如第3題滑雪者在斜坡上下滑時，克服摩擦力做的功只與水平距離有關(guān)，與斜坡傾角大小無關(guān))
考點(diǎn)二 求變力做功的五種方法
變力做功常見的五種計算方法
考向1 利用微元法求變力做功
1．(多選)如圖所示，在一半徑為R＝6 m的圓弧形橋面的底端A，某人把一質(zhì)量為m＝8 kg的物塊(可看成質(zhì)點(diǎn))用大小始終為F＝75 N 的拉力從底端緩慢拉到橋面頂端B(圓弧AB在同一豎直平面內(nèi))，拉力的方向始終與物塊在該點(diǎn)的切線成37°角，整個圓弧橋面所對的圓心角為120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。在這一過程中，下列說法正確的是( )
A．重力做功為240 J
B．支持力做功為0
C．拉力F做功約為376.8 J
D．摩擦力做功約為136.8 J
【答案】BC
【解析】： 物塊重力做的功WG＝－mgR(1－cs 60°)＝－240 J，故A錯誤；支持力始終與運(yùn)動方向垂直，支持力不做功，故B正確；將圓弧Aeq \x\t(B)分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功為W1、W2、…、Wn，拉力F大小不變，方向始終與物塊在該點(diǎn)的切線成37°角，則W1＝Fl1cs 37°、W2＝Fl2cs 37°、…、Wn＝Flncs 37°，WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcs 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcs 37°·eq \f(1,6)·2πR≈376.8 J，故C正確；因物塊在拉力F作用下緩慢移動，動能不變，由動能定理得WF＋WG＋Wf＝0－0，解得Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J，故D錯誤。
【題后反思】將物體的位移分割成許多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力，這樣就將變力做功轉(zhuǎn)化為在無數(shù)多個位移上的恒力所做功的代數(shù)和。此法常用于求解大小不變、方向改變的變力做功問題。

考向2．化變力為恒力求變力做功
2．(多選)如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊，滑塊用輕繩系著繞過光滑的定滑輪O?，F(xiàn)以大小不變的拉力F拉繩，使滑塊從A點(diǎn)由靜止開始上升，滑塊運(yùn)動到C點(diǎn)時速度最大。已知滑塊質(zhì)量為m，滑輪O到豎直桿的距離為d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度為g(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)。則( )
A．拉力F大小為eq \f(5,3)mg
B．拉力F大小為eq \f(5,4)mg
C．滑塊由A到C過程，輕繩對滑塊做的功為eq \f(25,36)mgd
D．滑塊由A到C過程，輕繩對滑塊做的功為eq \f(25,48)mgd
【答案】AC
【解析】：滑塊到C點(diǎn)時速度最大，其所受合力為零，則有Fcs 53°－mg＝0，解得F＝eq \f(5,3)mg，故A正確，B錯誤；拉力F做的功等于輕繩拉力對滑塊做的功，滑輪與A間繩長L1＝eq \f(d,sin 37°)，滑輪與C間繩長L2＝eq \f(d,sin 53°)，滑輪右側(cè)繩子增大的長度ΔL＝L1－L2＝eq \f(d,sin 37°)－eq \f(d,sin 53°)＝eq \f(5d,12)，拉力做功W＝FΔL＝eq \f(25,36)mgd，故C正確，D錯誤。
【題后反思】有些變力做功問題通過轉(zhuǎn)換研究對象，可轉(zhuǎn)化為恒力做功，用W＝Flcs α求解。此法常用于輕繩通過定滑輪拉物體做功的問題中。
考向3 利用平均力求變力做功
3.如圖所示，質(zhì)量均為m的A、B兩小物塊用輕質(zhì)彈簧相連，A放置在光滑水平地面上，一輕繩通過光滑的定滑輪與物塊B相連(連接物塊B的繩子恰好伸直但不繃緊)，彈簧的勁度系數(shù)k?，F(xiàn)用一水平向右的拉力F作用在輕繩上，使物塊B緩慢向上運(yùn)動，已知重力加速度為g，當(dāng)A物塊恰好離開地面時，F(xiàn)所做功為( )
A.Feq \f(mg,k) B.Feq \f(2mg,k)
C.eq \f(m2g2,k) D.eq \f(2m2g2,k)
【答案】 D
【解析】 開始時彈簧的壓縮量為x1＝eq \f(mg,k)，此時F1＝0，當(dāng)A物塊恰好離開地面時彈簧伸長量為x2＝eq \f(mg,k)，此時F2＝2mg，則力F做功W＝eq \f(F1＋F2,2)(x1＋x2)＝eq \f(2m2g2,k)，故D正確。
【題后反思】當(dāng)物體受到的力方向不變，而大小隨位移均勻變化時，則可以認(rèn)為物體受到一大小為eq \x\t(F)＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F(xiàn)1、F2分別為物體在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝eq \x\t(F)lcs α求此變力所做的功。
考向4 利用F-x圖像求變力做功
4．(2024·黑龍江大慶高三模擬)一質(zhì)量為2 kg的物體， 在水平恒定拉力的作用下，以某一速度在粗糙的水平面上做勻速運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動一段時間后拉力逐漸減小，且當(dāng)拉力減小到零時，物體剛好停止運(yùn)動，圖中給出拉力隨位移變化的關(guān)系圖像，則根據(jù)以上信息能精確得出或估算得出的物理量有(取g＝10 m/s2)( )
A．物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.25
B．物體在8 m處的加速度為a＝4 m/s2
C．整個過程中拉力做功96 J
D．合力做的功為－32 J
【答案】D
【解析】： 物體做勻速運(yùn)動時，受力平衡，則f＝F＝8 N，所以有μ＝eq \f(f,FN)＝eq \f(F,mg)，解得μ＝0.4，故A錯誤；由題圖可知，在8 m處拉力大小為4 N，根據(jù)牛頓第二定律可知此時有F′－f＝ma，代入數(shù)據(jù)可得a＝－2 m/s2，故B錯誤；F-x圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積表示拉力做的功WF＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8×4＋\f(1,2)×8×8))J＝64 J，滑動摩擦力做的功Wf＝－μmgx，解得Wf＝－96 J，所以合外力做的功為W合＝WF＋Wf＝64 J＋(－96 J)＝－32 J，故C錯誤，D正確。
【題后反思】在F -x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移內(nèi)所做的功，且位于x軸上方的“面積”為正功，位于x軸下方的“面積”為負(fù)功，但此方法只適用于便于求圖線所圍面積的情況(如三角形、矩形、圓等規(guī)則的幾何圖形)。
考向5 利用動能定理求變力做功
5．運(yùn)用動能定理不僅可以較簡便地求解一些恒力做功問題，還可求解一些特殊情況下的變力做功問題。請你解答下面的問題。雨滴在空中下落時會受到空氣阻力，空氣阻力f的大小與雨滴下落速率v的二次方成正比，即f＝kv2，其中k為常數(shù)。若質(zhì)量為m的雨滴，從高h(yuǎn)處以初速度v0豎直加速下落，接近落地前開始做勻速直線運(yùn)動。已知重力加速度為g，求該雨滴從高處下落到地面的過程中，空氣阻力對其所做的功。
【解析】：設(shè)雨滴落地時的速度為vmax，接近落地前做勻速運(yùn)動，有f＝kvmax2＝mg
對雨滴下落過程，由動能定理得
mgh＋W＝eq \f(1,2)mvmax2－eq \f(1,2)mv02
解得W＝eq \f(m2g,2k)－eq \f(mv02,2)－mgh。
6．(2023·新課標(biāo)卷)無風(fēng)時，雨滴受空氣阻力的作用在地面附近會以恒定的速率豎直下落。一質(zhì)量為m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的過程中，克服空氣阻力做的功為(重力加速度大小為g)( )
A．0 B．mgh
C.eq \f(1,2)mv2－mgh D.eq \f(1,2)mv2＋mgh
【答案】B
【解析】： 地面附近的雨滴做勻速運(yùn)動，根據(jù)動能定理得mgh－Wf＝0，故雨滴克服空氣阻力做功為mgh。故選B。
考點(diǎn)三 功率的理解與計算
1．定義：功與完成這些功所用時間之比。
2．物理意義：描述力對物體做功的快慢。
3．公式：
(1)P＝eq \f(W,t)，P描述時間t內(nèi)力對物體做功的快慢。
(2)P＝Fvcs α
①v為平均速度，則P為平均功率。
②v為瞬時速度，則P為瞬時功率。
考向1 對功率的理解
1．關(guān)于某力做功的功率，下列說法正確的是( )
A．該力越大，其功率就越大
B．該力在單位時間內(nèi)做的功越多，其功率就越大
C．功率越大，說明該力做的功越多
D．功率越小，說明該力做功的時間越少
【答案】B
【解析】： 由功率公式P＝Fvcs α可知，功率的大小由F、v及它們間的夾角共同決定，F(xiàn)越大，功率P不一定越大，A錯誤；由P＝eq \f(W,t)可知，單位時間內(nèi)力做的功越多，其功率就越大，但功率越大，該力做功不一定越多，功率越小，該力的作用時間不一定越少，故B正確，C、D均錯誤。
【題后反思】對功率的兩點(diǎn)說明
(1)物體在發(fā)生一段位移過程中所對應(yīng)的功率為平均功率，物體在某一時刻的功率為瞬時功率。
(2)力對物體做功的多少與地面是否光滑無關(guān)，但力對物體做功的功率大小與地面是否光滑有關(guān)。
細(xì)作2 瞬時功率的分析與計算
考向2 瞬時功率的分析與計算
2．(2023·遼寧高考)如圖(a)，從高處M點(diǎn)到地面N點(diǎn)有Ⅰ、Ⅱ兩條光滑軌道。兩相同小物塊甲、乙同時從M點(diǎn)由靜止釋放，沿不同軌道滑到N點(diǎn)，其速率v與時間t的關(guān)系如圖(b)所示。由圖可知，兩物塊在離開M點(diǎn)后、到達(dá)N點(diǎn)前的下滑過程中( )
A．甲沿Ⅰ下滑且同一時刻甲的動能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一時刻甲的動能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不變
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
【答案】B
【解析】： 由題圖(b)可知，在下滑過程中，甲做勻加速直線運(yùn)動，則甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動，乙沿Ⅰ下滑，任意時刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一時刻甲的動能比乙的小，A、D錯誤，B正確；乙沿Ⅰ下滑，開始時乙的速度為0，到N點(diǎn)時乙的豎直方向速度為零，根據(jù)瞬時功率公式P＝mgvy可知，乙的重力功率先增大后減小，C錯誤。
【題后反思】瞬時功率公式的理解與應(yīng)用
(1)利用公式P＝Fvcs α，其中v為t時刻的瞬時速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF為物體的速度eq \a\vs4\al(v) 在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力。
細(xì)作2 瞬時功率的分析與計算
考向3 平均功率的分析與計算
3．(2023·山東高考)《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉(zhuǎn)筒車往稻田里引水的場景。引水過程簡化如下：兩個半徑均為R的水輪，以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動。水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動。每個水筒離開水面時裝有質(zhì)量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為( )
A．eq \f(2nmgω2RH,5) B．eq \f(3nmgωRH,5)
C．eq \f(3nmgω2RH,5) D．nmgωRH
【答案】B
【解析】：根據(jù)題意可知，水輪轉(zhuǎn)一圈灌入農(nóng)田的水的總質(zhì)量為m總＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，水輪轉(zhuǎn)一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒車對灌入稻田的水做功的功率P＝eq \f(W,T)，又T＝eq \f(2π,ω)，聯(lián)立有P＝eq \f(3nmgωRH,5)，故選B。
【題后反思】平均功率的計算方法
(1)利用P＝eq \f(W,t)求解。
(2)利用P＝Fvcs α求解，其中v為物體運(yùn)動的平均速度。
細(xì)作2 瞬時功率的分析與計算
考點(diǎn)四 機(jī)車啟動問題
知識點(diǎn)1．兩種啟動方式
知識點(diǎn)2．三個重要關(guān)系
(1)無論哪種啟動過程，機(jī)車的最大速度都為vm＝eq \f(P額,F阻)。
(2)機(jī)車以恒定加速度啟動時，勻加速過程結(jié)束后功率最大，速度不是最大，即v＝eq \f(P額,F)

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