1．（4分）下列圖案中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．2a2?3a3＝6a6B．2a6÷a2＝2a3
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a﹣1）2＝a2+2a+1
3．（4分）一個(gè)三角形的兩邊長分別是2與3，第三邊的長不可能為（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（4分）如圖，△ABC≌△ADE，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，AC＝6，BE＝2，則AB的長為（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（4分）如圖，已知∠A＝∠D，AC＝DF，那么補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠C＝∠FB．AE＝BDC．BC＝EFD．BC∥EF
6．（4分）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和多180°，那么這個(gè)多邊形是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形
7．（4分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交CB于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F，射線CF交AB于點(diǎn)G．若∠A＝24°，∠B＝120°，則∠BCG為（ ）
A．12°B．18°C．28°D．36°
8．（4分）如圖圖案是用長度相同的小棒按一定規(guī)律拼搭而成，圖案①需15根小棒，圖案②需23根小棒，圖案③需31根小棒，按此規(guī)律圖案⑥需要的小棒根數(shù)為（ ）
A．55B．58C．63D．66
9．（4分）下列說法中，正確的是（ ）
A．等腰三角形的高線、中線、角平分線重合
B．頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形
C．等腰三角形底邊上的中線是它的對稱軸
D．等邊三角形不是軸對稱圖形
10．（4分）已知多項(xiàng)式M＝a2+b2，N＝2a﹣2b+m，P＝ab+n（m，n為常數(shù)），下列說法：
①當(dāng)m＞2時(shí)，無論a，b取何值，都有M+N＞0；
②若m+2n＝2且2M+N+2P＝0，則a+b＝0；
③若m＝2n，則不存在整數(shù)a，b，使得M+N﹣2P＝1．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題：（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題
11．（4分）計(jì)算：﹣a2?a4＝ ．
12．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ ．
13．（4分）如果點(diǎn)A（﹣4，m）和點(diǎn)B（n，3）關(guān)于y軸對稱，那么m+n＝ ．
14．（4分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AD＝5cm，DE⊥AC交AB于點(diǎn)E，連CE，若△BCE的周長是22cm，則△ABC的周長等于 cm．
15．（4分）若a﹣b＝3，則代數(shù)式a2﹣b2﹣6b＝ ．
16．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，若AF＝4，則BC＝ ．
17．（4分）如圖，點(diǎn)D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，BE的中點(diǎn)，若△ABC的面積等于36，則△CEF的面積為 ．
18．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B兩點(diǎn)重合），將△BCD沿著CD翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，AC和DE交于點(diǎn)F．若DE∥BC，則∠ACD＝ （用含α的代數(shù)式表示）．
三、解答題：（本大題共5個(gè)小題，19題8分，20-23題各10分，共48分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。
19．（8分）計(jì)算：
（1）a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）；
（2）（x﹣y）（3x+y）+（2x﹣y）2．
20．（10分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）將△ABC向右平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）作△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2，并寫出頂點(diǎn)A2的坐標(biāo)；
（3）計(jì)算△A1B1C1的面積．
21．（10分）數(shù)學(xué)愛好者小陶發(fā)現(xiàn)，△ABC內(nèi)角∠BAC的角平分線AD和外角∠BCH的角平分線CD交于點(diǎn)D，連接BD，他猜想BD平分外角∠GBC．
（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)D作AG的垂線交AG于點(diǎn)M．（不說明理由，只保留作圖痕跡）；
（2）在（1）所作的圖形中，求證：∠GBD＝∠CBD．
小陶的思路是這樣的，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AH于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)得DM＝DF，DE＝DF，等量代換可得DM＝DE，再證明∠GBD和∠CBD這兩個(gè)角所在的三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)這個(gè)思路補(bǔ)全下面的證明過程．
證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DM⊥AG，DF⊥AH，
∴① ．
∵CD是∠BCH的角平分線，DE⊥BC，DF⊥AH，
∴DE＝DF．
∴② ．
∵DM⊥AG，DE⊥BC，
∴∠DMB＝∠DEB＝90°，
在Rt△DMB和Rt△DEB中，
∴Rt△DMB≌Rt△DEB（④ ）．
∴∠GBD＝∠CBD．
由此他得到結(jié)論：
三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線和另一個(gè)外角的⑤ 的交點(diǎn)與三角形第三個(gè)頂點(diǎn)所連線段平分此外角．
22．（10分）如圖，在△ABC中，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，AE與BD交于點(diǎn)F，且AD＝BD．
（1）求證：△ADF≌△BDC；
（2）已知BF＝6，AC＝12，求BD的長．
23．（10分）如圖1，某商家準(zhǔn)備裝修商鋪，購買了足夠多的A（邊長為a的小正方形），B（邊長為b的大正方形），C（長為b，寬為a的長方形）三種類型的瓷磚來鋪設(shè)操作間、儲藏間和大廳．
（1）操作間剛好按如圖2的方式鋪滿，請求出操作間的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）請通過計(jì)算說明：鋪滿長為（3a+b），寬為（a+2b）的儲藏間和長為（4a+3b），寬為（2a+3b）的大廳共需要A，B，C三類瓷磚各多少塊？（瓷磚均用整塊，無空隙無重疊）；
（3）若一塊C類瓷磚的周長為32，一塊B類瓷磚和一塊A類瓷磚的面積之差為64，求操作間、儲藏間和大廳的面積之和．
四、填空題：（本大題共3個(gè)小題，每小題4分，共12分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。
24．（4分）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y≤0，且關(guān)于z的不等式組無解，那么所有符合條件的整數(shù)k的和為 ．
25．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且，以D為直角頂點(diǎn)作等腰直角△DEF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，CB延長線上的一點(diǎn)，連接AF，DE，DF．有如下結(jié)論：①△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°；②△ADE≌△CDF；③S△ADF＝S△BEF；④若點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，連接DG，則CE＝2DG．其中正確的有 （填寫正確結(jié)論的序號）．
26．（4分）一個(gè)四位自然數(shù)m，如果m滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，將m的千位數(shù)字和百位數(shù)字順次組成的兩位數(shù)記為p，將m的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字順次組成的兩位數(shù)記為q，記，若F（m）為整數(shù)，則稱數(shù)m為“行知數(shù)”，例如：m＝1375，可得p＝13，q＝75，則，故1375是一個(gè)“行知數(shù)”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“行知數(shù)”是 ；若“行知數(shù)”n能被8整除，則滿足條件n的最大值是 ．
五、解答題：（本大題共2個(gè)小題，27題8分，28題10分，共18分）解答時(shí)每小題必須給28出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程寫在答題卡中（對應(yīng)的位置上.
27．（8分）某品牌空調(diào)銷售公司銷售A、B兩種型號的空調(diào)．該公司為了提高銷售人員的積極性，制定了新的工資方案．方案規(guī)定：個(gè)人工資＝基本工資+獎勵(lì)工資．每位銷售人員的基本工資是4000元，月銷售定額為6萬元．在銷售定額內(nèi)，只得基本工資4000元；超過銷售定額，超未過部分的銷售額按相應(yīng)比例作為獎勵(lì)工資，如下表：
（1）某銷售人員希望每個(gè)月至少要領(lǐng)取6000元的個(gè)人工資，則該銷售人員每月的銷售額至少為多少元？
（2）該空調(diào)銷售公司，5月份售出15臺A型空調(diào)和30臺B型空調(diào)，銷售額為18萬元；6月份以同樣的價(jià)格售出30臺A型空調(diào)和40臺B型空調(diào)，銷售額為30萬元．7月銷售員小李以同樣的價(jià)格銷售A、B兩種型號的空調(diào)共25臺，得到的個(gè)人工資為8200元．請問7月銷售員小李銷售A、B兩種型號的空調(diào)各多少臺？
28．（10分）已知等邊△ABC，過點(diǎn)B作AB的垂線交AC延長線于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)P為△ABD內(nèi)部一點(diǎn)，滿足∠BPC＝120°，E為PB延長線上一點(diǎn)，且BE＝CP，連接AE，AP，求證：△AEP為等邊三角形；
（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，連接PF并延長，交AE于點(diǎn)G，連接BG，若BE＝AG，求證：PF＝FG+BG；
（3）如圖3，將△ABD沿著BD翻折得到△A′BD，將線段BC沿射線BD方向平移得B′C′，連接AB′、C′D，若BD＝4，當(dāng)A′B′+B′C′+C′D最小時(shí)，直接寫出C′D的長度．
2024-2025學(xué)年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑。
1．（4分）下列圖案中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：B、C、D選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
A選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．2a2?3a3＝6a6B．2a6÷a2＝2a3
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a﹣1）2＝a2+2a+1
【答案】C
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則，完全平方公式，平方差公式，進(jìn)行解題即可．
【解答】解：A、2a2?3a3＝6a5，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；
B、2a6÷a2＝2a4，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；
C、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故該項(xiàng)正確，符合題意；
D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查整式的混合運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘除法，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
3．（4分）一個(gè)三角形的兩邊長分別是2與3，第三邊的長不可能為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍解答即可．
【解答】解：設(shè)第三邊長x．
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得1＜x＜5，
第三邊不可能為5，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角形三邊關(guān)系的知識點(diǎn)，此題比較簡單，注意三角形的三邊關(guān)系．
4．（4分）如圖，△ABC≌△ADE，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，AC＝6，BE＝2，則AB的長為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等求出AE，進(jìn)而求出AB．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，AC＝6，
∴AE＝AC＝6，
∵BE＝2，
∴AB＝AE﹣BE＝6﹣2＝4，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
5．（4分）如圖，已知∠A＝∠D，AC＝DF，那么補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠C＝∠FB．AE＝BDC．BC＝EFD．BC∥EF
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的判斷方法對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AC＝DF，
∴當(dāng)添加∠C＝∠F時(shí)，△ABC≌△DEF（ASA）；
當(dāng)添加AE＝BD時(shí)，AB＝DE，△ABC≌△DEF（SAS）；
當(dāng)添加BC＝EF時(shí)，不能判斷△ABC≌△DEF；
當(dāng)添加BC＝EF時(shí)，∠ABC＝∠DEF，△ABC≌△DEF（AAS）．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．
6．（4分）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和多180°，那么這個(gè)多邊形是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形
【答案】B
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°與外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，
根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°＝360°+180°，
解得n＝5．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°．
7．（4分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交CB于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F，射線CF交AB于點(diǎn)G．若∠A＝24°，∠B＝120°，則∠BCG為（ ）
A．12°B．18°C．28°D．36°
【答案】B
【分析】由作圖過程可知，CG為∠ACB的平分線，可得∠BCG＝ACB．由題意可得∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝36°，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：由作圖過程可知，CG為∠ACB的平分線，
∴∠BCG＝ACB．
∵∠A＝24°，∠B＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝36°，
∴∠BCG＝18°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查作圖—基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
8．（4分）如圖圖案是用長度相同的小棒按一定規(guī)律拼搭而成，圖案①需15根小棒，圖案②需23根小棒，圖案③需31根小棒，按此規(guī)律圖案⑥需要的小棒根數(shù)為（ ）
A．55B．58C．63D．66
【答案】A
【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出所需小棒的根數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解答】解：由所給圖形可知，
圖案①需要的小棒根數(shù)為：15＝1×8+7；
圖案②需要的小棒根數(shù)為：23＝2×8+7；
圖案③需要的小棒根數(shù)為：31＝3×8+7；
…，
所以圖案n需要的小棒根數(shù)為（8n+7）根，
當(dāng)n＝6時(shí)，
8n+7＝55（根），
即圖案⑥需要的小棒根數(shù)為55根．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)所需小棒的根數(shù)依次增加8是解題的關(guān)鍵．
9．（4分）下列說法中，正確的是（ ）
A．等腰三角形的高線、中線、角平分線重合
B．頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形
C．等腰三角形底邊上的中線是它的對稱軸
D．等邊三角形不是軸對稱圖形
【答案】B
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱圖形的概念逐一判斷即可．
【解答】解：A、等腰三角形底邊上的高線、底邊上的中線和頂角的角平分線互相重合，不符合題意；
B、頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形，符合題意；
C、等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，不符合題意；
D、等邊三角形是軸對稱圖形，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱圖形的概念，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）已知多項(xiàng)式M＝a2+b2，N＝2a﹣2b+m，P＝ab+n（m，n為常數(shù)），下列說法：
①當(dāng)m＞2時(shí)，無論a，b取何值，都有M+N＞0；
②若m+2n＝2且2M+N+2P＝0，則a+b＝0；
③若m＝2n，則不存在整數(shù)a，b，使得M+N﹣2P＝1．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】結(jié)合已知，依次對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行配方成完全平方形式，結(jié)合平方的非負(fù)性進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：對于①：M+N＝a2+b2+2a﹣2b+m＝（a+1）2+（b﹣1）2+m﹣2，
∵（a+1）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴當(dāng)m＞2時(shí)，M+N＞0，故①正確；
對于②：∵2M+N+2P＝0，
∴2（a2+b2）+（2a﹣2b+m）+2（ab+n）＝0，
∴2（a2+2ab+b2）+（2a﹣2b）﹣2ab+m+2n＝0，
∴2（a+b）2+2（a﹣b）﹣2ab+m+2n＝0，
∵m+2n＝2，
∴2（a+b）2+2（a﹣b﹣ab+1）＝0，
∴當(dāng)a+b＝0，即a＝﹣b時(shí)，
則2（a+b）2+2b2﹣4b+2＝2（a+b）2+2（b﹣1）2≠0，
故②錯(cuò)誤；
對于③：∵M(jìn)+N﹣2P＝1，
∴a2+b2+2a﹣2b+m﹣2ab﹣2n＝1，
∴（a﹣b）2+2（a﹣b）+m﹣2n﹣1＝0，
∴（a﹣b+1）2+m﹣2n﹣2＝0，
∴a﹣b+1＝0，m﹣2n﹣2＝0，
∴a﹣b＝﹣1，m﹣2n＝2，
∵m＝2n，
∴m＝4，n＝2，
∴a2+b2+2a﹣2b+4＝0，
∴（a+1）2+（b﹣1）2+2＝0，
∵（a+1）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴不存在整數(shù)a，b，使得M+N﹣2P＝1，故③正確．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了列代數(shù)式，進(jìn)行配方成完全平方形式，結(jié)合平方的非負(fù)性求解題目，做題的關(guān)鍵是配方．
二、填空題：（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題
11．（4分）計(jì)算：﹣a2?a4＝ ﹣a6 ．
【答案】﹣a6．
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行解題即可．
【解答】解：﹣a2?a4＝﹣a2+4＝﹣a6．
故答案為：﹣a6．
【點(diǎn)評】本題考查同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】觀察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
【點(diǎn)評】本題考查提公因式法和公式法分解因式，是基礎(chǔ)題．
13．（4分）如果點(diǎn)A（﹣4，m）和點(diǎn)B（n，3）關(guān)于y軸對稱，那么m+n＝ 7 ．
【答案】7．
【分析】直接利用關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出m，n的值，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣4，m）和點(diǎn)B（n，3）關(guān)于y軸對稱，
∴n＝4，m＝3，
則m+n的值是：4+3＝7．
故答案為：7．
【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號關(guān)系是解題關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AD＝5cm，DE⊥AC交AB于點(diǎn)E，連CE，若△BCE的周長是22cm，則△ABC的周長等于 32 cm．
【答案】32．
【分析】根據(jù)SAS證明△AED與△CED全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和三角形周長解答即可．
【解答】解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AD＝CD，
在△ADE與△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，
∵△BCE的周長是22cm，AD＝5cm，
∴△ABC的周長＝AE+BE+BC+2AD＝EC+BE+BC+2AD＝22+2×5＝32（cm），
故答案為：32．
【點(diǎn)評】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△AED與△CED全等解答．
15．（4分）若a﹣b＝3，則代數(shù)式a2﹣b2﹣6b＝ 9 ．
【答案】9．
【分析】先將a2﹣b2分解為（a+b）（a﹣b），再將a﹣b＝3整體代入求解．
【解答】解：∵a2﹣b2﹣6b
＝（a+b）（a﹣b）﹣6b，
∴若a﹣b＝3，
原式＝3（a+b）﹣6b
＝3a+3b﹣6b
＝3a﹣3b
＝3（a﹣b）
＝3×3
＝9，
故答案為：9．
【點(diǎn)評】此題考查了運(yùn)用平方差公式和整體思想求代數(shù)式值的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識進(jìn)行正確地計(jì)算．
16．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，若AF＝4，則BC＝ 12 ．
【答案】12．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝30°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到FA＝FC＝4，得到∠BAF＝90°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半計(jì)算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，∠B＝∠C＝30°，
∵EF是AC的垂直平分線，
∴FC＝AF＝4，
∴∠FAC＝∠C＝30°，又∠BAC＝120°，
∴∠BAF＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BF＝2AF＝8，
∴BC＝BF+FC＝12．
故答案為：12．
【點(diǎn)評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
17．（4分）如圖，點(diǎn)D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，BE的中點(diǎn)，若△ABC的面積等于36，則△CEF的面積為 9 ．
【答案】9．
【分析】根據(jù)“同高的兩個(gè)三角形，其面積比等于底邊長之比”計(jì)算即可．
【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，BE的中點(diǎn)，△ABC的面積等于36，
∴S△CDE＝S△ACD，S△BDE＝S△ABD，
∴S△BCE＝S△CDE+S△BDE＝（S△ACD+S△ABD）＝S△ABC＝18，
∴S△CEF＝S△BCE＝9．
故答案為：9．
【點(diǎn)評】本題考查三角形的面積，掌握“同高的兩個(gè)三角形，其面積比等于底邊長之比”是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B兩點(diǎn)重合），將△BCD沿著CD翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，AC和DE交于點(diǎn)F．若DE∥BC，則∠ACD＝ 90°﹣ （用含α的代數(shù)式表示）．
【答案】90°﹣．
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B＝∠CAB＝α，則∠ACB＝180°﹣2α，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折的性質(zhì)∠BCD＝∠EDC＝∠BDC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BCD＝90°﹣，進(jìn)而根據(jù)∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α，
∴∠B＝∠CAB＝α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠B+∠CAB）＝180°﹣2α，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
由翻折的性質(zhì)得：∠EDC＝∠BDC，
∴∠BCD＝∠BDC，
在△BCD中，∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，
∴2∠BCD+α＝180°，
∴∠BCD＝90°﹣，
∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝180°﹣2α﹣（90°﹣）＝90°﹣．
故答案為：90°﹣．
【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的翻折變換及其性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，理解圖形的翻折變換及其性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題共5個(gè)小題，19題8分，20-23題各10分，共48分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。
19．（8分）計(jì)算：
（1）a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）；
（2）（x﹣y）（3x+y）+（2x﹣y）2．
【答案】（1）2a+1；
（2）7x2﹣6xy．
【分析】（1）利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及平方差公式化簡，去括號合并即可得到結(jié)果；
（2）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及完全平方公式化簡，再合并同類項(xiàng)即可．
【解答】解：（1）原式＝a2+2a﹣（a2﹣1）
＝a2+2a﹣a2+1
＝2a+1；
（2）原式＝3x2+xy﹣3xy﹣y2+4x2﹣4xy+y2
＝7x2﹣6xy．
【點(diǎn)評】此題考查了整式的混合運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．
20．（10分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）將△ABC向右平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）作△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2，并寫出頂點(diǎn)A2的坐標(biāo)；
（3）計(jì)算△A1B1C1的面積．
【答案】（1）見解答．
（2）畫圖見解答；A2（﹣2，﹣4）．
（3）．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
（3）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
由圖可得，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（﹣2，﹣4）．
（3）△A1B1C1的面積為＝＝．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、作圖﹣平移變換、三角形的面積，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
21．（10分）數(shù)學(xué)愛好者小陶發(fā)現(xiàn)，△ABC內(nèi)角∠BAC的角平分線AD和外角∠BCH的角平分線CD交于點(diǎn)D，連接BD，他猜想BD平分外角∠GBC．
（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)D作AG的垂線交AG于點(diǎn)M．（不說明理由，只保留作圖痕跡）；
（2）在（1）所作的圖形中，求證：∠GBD＝∠CBD．
小陶的思路是這樣的，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AH于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)得DM＝DF，DE＝DF，等量代換可得DM＝DE，再證明∠GBD和∠CBD這兩個(gè)角所在的三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)這個(gè)思路補(bǔ)全下面的證明過程．
證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DM⊥AG，DF⊥AH，
∴① DM＝DF ．
∵CD是∠BCH的角平分線，DE⊥BC，DF⊥AH，
∴DE＝DF．
∴② DM＝DE ．
∵DM⊥AG，DE⊥BC，
∴∠DMB＝∠DEB＝90°，
在Rt△DMB和Rt△DEB中，
∴Rt△DMB≌Rt△DEB（④ HL ）．
∴∠GBD＝∠CBD．
由此他得到結(jié)論：
三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線和另一個(gè)外角的⑤ 平分線 的交點(diǎn)與三角形第三個(gè)頂點(diǎn)所連線段平分此外角．
【答案】（1）見解析；
（2）DM＝DF，DM＝DE，DB＝DB，HL，平分線．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；
（2）證明Rt△DMB≌Rt△DEB（HL），可得結(jié)論．
【解答】（1）解：圖形如圖所示：
（2）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DM⊥AG，DF⊥AH，
∴①DM＝DF，
∵CD是∠BCH的角平分線，DE⊥BC，DF⊥AH，
∴DE＝DF．
∴②DM＝DE．
∵DM⊥AG，DE⊥BC，
∴∠DMB＝∠DEB＝90°，
在Rt△DMB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DEB（④HL）．
∴∠GBD＝∠CBD．
由此他得到結(jié)論：
三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線和另一個(gè)外角的⑤平分線的交點(diǎn)與三角形第三個(gè)頂點(diǎn)所連線段平分此外角．
故答案為：DM＝DF，DM＝DE，DB＝DB，HL，平分線．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理．
22．（10分）如圖，在△ABC中，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，AE與BD交于點(diǎn)F，且AD＝BD．
（1）求證：△ADF≌△BDC；
（2）已知BF＝6，AC＝12，求BD的長．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）3．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠DAF＝∠DBC，利用ASA即可證明△ADF≌△BDC；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可．
【解答】（1）證明：∵BD⊥AC，
∴∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C+∠DAF＝90°，
∴∠DAF＝∠DBC，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA）；
（2）解：∵△ADF≌△BDC，
∴DF＝CD，
∵AD＝BD，AC＝AD+CD＝12，
∴BD+DF＝12，
∵BF＝6，BD＝DF+BF，
∴DF+6+DF＝12，
∴DF＝3．
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖1，某商家準(zhǔn)備裝修商鋪，購買了足夠多的A（邊長為a的小正方形），B（邊長為b的大正方形），C（長為b，寬為a的長方形）三種類型的瓷磚來鋪設(shè)操作間、儲藏間和大廳．
（1）操作間剛好按如圖2的方式鋪滿，請求出操作間的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）請通過計(jì)算說明：鋪滿長為（3a+b），寬為（a+2b）的儲藏間和長為（4a+3b），寬為（2a+3b）的大廳共需要A，B，C三類瓷磚各多少塊？（瓷磚均用整塊，無空隙無重疊）；
（3）若一塊C類瓷磚的周長為32，一塊B類瓷磚和一塊A類瓷磚的面積之差為64，求操作間、儲藏間和大廳的面積之和．
【答案】（1）4a2+8ab+3b2；
（2）A，B各11塊，C類瓷磚25塊；
（3）3920．
【分析】（1）觀察圖形，找出圖2的長與寬，利用長方形面積公式，列出算式，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)長方形的面積公式，列出算式，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則求出儲藏間和大廳的面積和，根據(jù)計(jì)算結(jié)果求出答案即可；
（3）根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組求出a，b，然后求出操作間、儲藏間和大廳的面積之和，并化簡，最后把a(bǔ)，b的值代入化簡后的式子，進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）由題意得：操作間的長為2a+3b，寬為2a+b，
∴操作間的面積S＝（2a+3b）（2a+b）
＝4a2+2ab+6ab+3b2
＝4a2+8ab+3b2；
（2）由題意得：儲藏間和大廳的面積和為：
（3a+b）（a+2b）+（4a+3b）（2a+3b）
＝3a2+6ab+ab+2b2+8a2+12ab+6ab+9b2
＝11a2+25ab+11b2，
∴共需要A，B各11塊，C類瓷磚25塊；
（3）由題意可知：2a+2b＝32，b2﹣a2＝64，
∴a+b＝16①，（b+a）（b﹣a）＝64，
∴b﹣a＝4②，
①+②得：b＝10，
把b＝10代入①得：a＝6
∴操作間、儲藏間和大廳的面積之和為：
4a2+8ab+3b2+11a2+25ab+11b2
＝4a2+11a2+11b2+3b2+8ab+25ab
＝15a2+14b2+33ab
＝15×62+14×102+33×10×6
＝15×36+14×100+33×10×6
＝540+1400+1980
＝3920．
【點(diǎn)評】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則．
四、填空題：（本大題共3個(gè)小題，每小題4分，共12分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上。
24．（4分）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y≤0，且關(guān)于z的不等式組無解，那么所有符合條件的整數(shù)k的和為 9 ．
【答案】9．
【分析】先求出方程組和不等式的解集，再求出k的范圍，最后得出答案即可．
【解答】解：解方程組，
①+②得3x+3y＝﹣4+k，即x+y＝，
∵x+y≤0，
∴，
∴k≤4，
，
解不等式①得：z＞2k+1，
解不等式②得：x＜5，
又∵關(guān)于z的不等式組無解，
∴2k+1≥5，
解得：k≥2，
即2≤k≤4，
∴所有符合條件的整數(shù)k為：2、3、4，
∴所有符合條件的整數(shù)k和為9．
故答案為：9．
【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解一元一次不等式等知識點(diǎn)，能求出a的取值范圍是解此題的關(guān)鍵．
25．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且，以D為直角頂點(diǎn)作等腰直角△DEF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，CB延長線上的一點(diǎn)，連接AF，DE，DF．有如下結(jié)論：①△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°；②△ADE≌△CDF；③S△ADF＝S△BEF；④若點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，連接DG，則CE＝2DG．其中正確的有 ①②④ （填寫正確結(jié)論的序號）．
【答案】①②④．
【分析】根據(jù)直角三角形的判定定理得到∠ACB＝90°，求得△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，故①正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DE＝DF，∠EDF＝90°，求得∠ADC＝∠EDF＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ADE≌△CDF（SAS），故②正確；由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，得到S△ADF＝S△DBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AED＝∠CFD，CE＝BF，過D作DH⊥BC于H，求得DH＝，得到S△DBF＝BF?DH，S△BEF＝BF?CE，而無法證得DH＝CE，于是得到S△ADF與S△BEF不一定相等，故③錯(cuò)誤；根據(jù)三角形中位線定理得到CE＝2DG，故④正確．
【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，故①正確；
∵△DEF是等腰直角△DEF，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
∵△ABC為直角三角形，AD＝BD，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠CDE，∠CDF＝90°+∠CDE，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），故②正確；
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴S△ADF＝S△DBF，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠AED＝∠CFD，
∵∠DCE＝180﹣45°＝135°，∠DBF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DCE＝∠DBF，
∴△DCE≌△DBF（AAS），
∴CE＝BF，
過D作DH⊥BC于H，
∴DH＝，
∴S△DBF＝BF?DH，S△BEF＝BF?CE，
而無法證得DH＝CE，
∴S△ADF與S△BEF不一定相等，故③錯(cuò)誤；
∵點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，
∴DG是△ABF的中位線，
∴DG＝，
∴CE＝2DG，故④正確；
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
26．（4分）一個(gè)四位自然數(shù)m，如果m滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，將m的千位數(shù)字和百位數(shù)字順次組成的兩位數(shù)記為p，將m的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字順次組成的兩位數(shù)記為q，記，若F（m）為整數(shù)，則稱數(shù)m為“行知數(shù)”，例如：m＝1375，可得p＝13，q＝75，則，故1375是一個(gè)“行知數(shù)”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“行知數(shù)”是 1243 ；若“行知數(shù)”n能被8整除，則滿足條件n的最大值是 9856 ．
【答案】1243；9856．
【分析】依題意，弄清楚新定義“行知數(shù)”，按照新定義求解即可．
【解答】解：①依題意，為了使“行知數(shù)“最小，
應(yīng)使p和q 最小，且p+q能被11整除，
最小可能的p和q 分別為12和43，
此時(shí)F（m）＝4，滿足條件，
因此，最小的“行知數(shù)“為1243；
故答案為：1243；
②為了使“行知數(shù)“最大且能被8整除，
應(yīng)使n的千位和百位數(shù)字最大，
同時(shí)保證n的最后三位數(shù)字能被8整除，
最大的三位數(shù)字組合為856，此時(shí)n的千位數(shù)字為9，
最大“行知數(shù)“為9856，滿足條件，
因此，若“行知數(shù)”n能被8整除，則滿足條件n的最大值是9856．
故答案為：9856．
【點(diǎn)評】本題考查了新定義運(yùn)算題目，做題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)新定義求解即可．
五、解答題：（本大題共2個(gè)小題，27題8分，28題10分，共18分）解答時(shí)每小題必須給28出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程寫在答題卡中（對應(yīng)的位置上.
27．（8分）某品牌空調(diào)銷售公司銷售A、B兩種型號的空調(diào)．該公司為了提高銷售人員的積極性，制定了新的工資方案．方案規(guī)定：個(gè)人工資＝基本工資+獎勵(lì)工資．每位銷售人員的基本工資是4000元，月銷售定額為6萬元．在銷售定額內(nèi)，只得基本工資4000元；超過銷售定額，超未過部分的銷售額按相應(yīng)比例作為獎勵(lì)工資，如下表：
（1）某銷售人員希望每個(gè)月至少要領(lǐng)取6000元的個(gè)人工資，則該銷售人員每月的銷售額至少為多少元？
（2）該空調(diào)銷售公司，5月份售出15臺A型空調(diào)和30臺B型空調(diào)，銷售額為18萬元；6月份以同樣的價(jià)格售出30臺A型空調(diào)和40臺B型空調(diào)，銷售額為30萬元．7月銷售員小李以同樣的價(jià)格銷售A、B兩種型號的空調(diào)共25臺，得到的個(gè)人工資為8200元．請問7月銷售員小李銷售A、B兩種型號的空調(diào)各多少臺？
【答案】（1）該銷售人員每月的銷售額至少為84000元；
（2）7月銷售員小李銷售10臺A型空調(diào)，15臺B型空調(diào)．
【分析】（1）設(shè)該銷售人員每月的銷售額為x元，求出銷售額為8萬元及10萬元時(shí)的個(gè)人工資，由5600＜6000＜7600，可得出80000＜x＜100000，結(jié)合該銷售人員希望每個(gè)月至少要領(lǐng)取6000元的個(gè)人工資，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)5月份A型空調(diào)的銷售單價(jià)為m元，B型空調(diào)的銷售單價(jià)為n元，根據(jù)“5月份售出15臺A型空調(diào)和30臺B型空調(diào)，銷售額為18萬元；6月份以同樣的價(jià)格售出30臺A型空調(diào)和40臺B型空調(diào)，銷售額為30萬元”，可列出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之可得出m，n的值，設(shè)7月銷售員小李銷售a臺A型空調(diào)，b臺B型空調(diào)，根據(jù)“7月銷售員小李以同樣的價(jià)格銷售A、B兩種型號的空調(diào)共25臺，得到的個(gè)人工資為8200元”，可列出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該銷售人員每月的銷售額為x元，
∵4000+（80000﹣60000）×8%＝5600（元），5600+（100000﹣80000）×10%＝7600（元），5600＜6000＜7600，
∴80000＜x＜100000．
根據(jù)題意得：5600+（x﹣80000）×10%≥6000，
解得：x≥84000，
∴x的最小值為84000．
答：該銷售人員每月的銷售額至少為84000元；
（2）設(shè)5月份A型空調(diào)的銷售單價(jià)為m元，B型空調(diào)的銷售單價(jià)為n元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴A型空調(diào)的銷售單價(jià)為6000元，B型空調(diào)的銷售單價(jià)為3000元．
設(shè)7月銷售員小李銷售a臺A型空調(diào)，b臺B型空調(diào)，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：7月銷售員小李銷售10臺A型空調(diào)，15臺B型空調(diào)．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組．
28．（10分）已知等邊△ABC，過點(diǎn)B作AB的垂線交AC延長線于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)P為△ABD內(nèi)部一點(diǎn)，滿足∠BPC＝120°，E為PB延長線上一點(diǎn)，且BE＝CP，連接AE，AP，求證：△AEP為等邊三角形；
（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，連接PF并延長，交AE于點(diǎn)G，連接BG，若BE＝AG，求證：PF＝FG+BG；
（3）如圖3，將△ABD沿著BD翻折得到△A′BD，將線段BC沿射線BD方向平移得B′C′，連接AB′、C′D，若BD＝4，當(dāng)A′B′+B′C′+C′D最小時(shí)，直接寫出C′D的長度．
【答案】（1）證明過程詳見解答；
（2）證明過程詳見解答；
（3）．
【分析】（1）可證明△ABE≌△ACP，從而∠CAP＝∠BAE，AP＝AE，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（2）延長PF至H，使FH＝PF，連接AH，可證得△AFH≌△BFP，∠H＝∠BPG，AH＝BP，進(jìn)而證明△AHG≌△EGB，從而GH＝BG，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（3）作直線CC′，點(diǎn)D關(guān)于CC′的對稱點(diǎn)D′，DD′交CC′于點(diǎn)O，作A′A″∥BD，截取A′A″＝2，將A″向上平移單位至F，連接D′F，作CG⊥BD于G，作FE⊥DD′，交D′D的延長線于點(diǎn)E，D′F交CC′于點(diǎn)C″，當(dāng)C′在C″處時(shí)，A′B′+B′C′+C′D最小，進(jìn)一步得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BPC＝120°，
∴∠BPC+∠BAC＝180°，
∴∠ACP+∠ABP＝180°，
∵∠ABP+∠ABE＝180°，
∴∠ACP＝∠ABE，
∵BE＝CP，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴∠CAP＝∠BAE，AP＝AE，
∴∠CAP+∠BAP+∠BAE+∠BAP，
∴∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴△AEP是等邊三角形；
（2）證明：如圖1，
延長PF至H，使FH＝PF，連接AH，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴AF＝BF，
∵∠AFH＝∠PFB，
∴△AFH≌△BFP（SAS），
∴∠H＝∠BPG，AH＝BP，
∴AH∥BP，
∴∠HAG＝∠E，
由（1）得，
△AEP是等邊三角形，
∴AE＝EP，
∵AG＝BE，
∴BG＝BP＝AH，
∴△AHG≌△EGB（SAS），
∴GH＝BG，
∴PF＝FH＝FG+GH＝FG+BG；
（3）解：如圖2，
作直線CC′，點(diǎn)D關(guān)于CC′的對稱點(diǎn)D′，DD′交CC′于點(diǎn)O，作A′A″∥BD，截取A′A″＝2，將A″向上平移單位至F，連接D′F，作CG⊥BD于G，作FE⊥DD′，交D′D的延長線于點(diǎn)E，D′F交CC′于點(diǎn)C″，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝∠ADB＝30°，
∴BC＝CD，A′B＝AB＝BD＝，
∴BG＝DG＝，
∴CG＝，
∴DD′＝2CG＝，
∴A′A′′＝EF＝2，DE＝A′B﹣A″F＝，
∴D′E＝DD′+DE＝，
∴D′F＝＝4，
∴∠ED′F＝30°，
∴C″D′＝，
∴C″D＝C″D′＝，
當(dāng)C′在C″處時(shí)，A′B′+B′C′+C′D最小，
∴此時(shí)C′D的最小值是．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱和平移的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是通過平移和軸對稱得出最值的位置．獎勵(lì)工資檔次
銷售額
獎勵(lì)工資占超過銷售定額部分的比例
第一檔
超過6萬元但不超過8萬元的部分
8%
第二檔
超過8萬元但不超過10萬元的部分
10%
第三檔
10萬元以上的部分
12%
獎勵(lì)工資檔次
銷售額
獎勵(lì)工資占超過銷售定額部分的比例
第一檔
超過6萬元但不超過8萬元的部分
8%
第二檔
超過8萬元但不超過10萬元的部分
10%
第三檔
10萬元以上的部分
12%

相關(guān)試卷

2024-2025學(xué)年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)八年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案）：

這是一份2024-2025學(xué)年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)八年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案），共12頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)2024--2025學(xué)年八年級上學(xué)期入學(xué)定時(shí)練習(xí)數(shù)學(xué)試卷：

這是一份重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)2024--2025學(xué)年八年級上學(xué)期入學(xué)定時(shí)練習(xí)數(shù)學(xué)試卷，共3頁。

重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)2023—2024學(xué)年上學(xué)期七年級期中數(shù)學(xué)試卷：

這是一份重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)2023—2024學(xué)年上學(xué)期七年級期中數(shù)學(xué)試卷，共6頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(含答案)

重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(含答案)
2021-2022學(xué)年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021-2022學(xué)年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2021-2022學(xué)年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（無答案）

2021-2022學(xué)年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（無答案）
2020-2021學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)育才中學(xué)教育集團(tuán)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)育才中學(xué)教育集團(tuán)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部