初2023級數(shù)學(xué)試題
（全卷共五個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）
注：所有試題的答案必須答在答題卡上，不得在試卷上直接作答．
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1. 數(shù)9的平方根是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
解析：解：數(shù)9的平方根是
故選：A．
2. 計算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：，
故選：B．
3. 在中，無理數(shù)的個數(shù)有（ ）
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
【答案】B
解析：解：，
無理數(shù)有：，有3個，
故選：B．
4. 已知多項式與的乘積展開式中不含的一次項，則的值為（ ）
A. 0B. C. 2D. 3
【答案】C
本題考查了整式的混合運算，熟練掌握多項式乘多項式法則是解題的關(guān)鍵．
解析：解：
，
多項式與的乘積展開式中不含的一次項，
，
．
故選：C．
5. 估計的值在（ ）
A. 到之間B. 到之間C. 到之間D. 到之間
【答案】C
解析：解：∵，
∴，
∴．
故選：C．
6. 下面的三個數(shù)據(jù)，可以作為直角三角形的三邊長的是（ ）
A. 1，2，3B. 1，，C. 2，3，4D.
【答案】B
解析：解：A、，不能作為直角三角形的三邊長，故該選項不符合題意；
B、，能作為直角三角形的三邊長，故該選項符合題意；
C、，不能作為直角三角形的三邊長，故該選項不符合題意；
D、，不能作為三角形的三邊長，故該選項不符合題意；
故選：B．
7. 學(xué)校開展“書香校園”活動，小明統(tǒng)計了本學(xué)期全班同學(xué)課外圖書閱讀數(shù)量（單位：本），繪制了條形統(tǒng)計圖（如圖所示），在同學(xué)們的圖書閱讀數(shù)量中，閱讀了“本”的頻率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：根據(jù)題意得：閱讀了“本”的頻率是．
故選：C
8. 如圖，在中，，平分交于點D，若，且，則的面積為（ ）
A. 24B. 26C. 30D. 52
【答案】B
解析：解：如圖，過點D作于點E，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的面積為．
故選：B
9. 如圖，在正方形中，點是的中點，點在上，連接，，若，則一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：延長、交于點，如圖所示：
四邊形是正方形，
，
點是的中點，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故選：A．
10. 一個二次三項式加上它的任意一項，得到一個新的多項式，稱為“加系數(shù)操作”．例如：對進行“加系數(shù)操作”后可以是．
下列說法：
①對進行所有“加系數(shù)操作”后的多項式的和是；
②存在不同的二次三項式，對它們進行“加系數(shù)操作”后，其結(jié)果相同；
③若關(guān)于x的二次三項式（a，b，c為常數(shù)）的值不可能為零，則對進行“加系數(shù)操作”后的多項式的值也不可能為零．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
解析：解：對進行所有“加系數(shù)操作”后的多項式的和為，正確，故①符合要求；
由題意知，進行“加系數(shù)操作”后可以是；
進行“加系數(shù)操作”后可以是；
∴存在不同的二次三項式，對它們進行“加系數(shù)操作”后，其結(jié)果相同，②正確，故符合要求；
由題意知，對進行“加系數(shù)操作”后的多項式的值為或或，
∵關(guān)于x的二次三項式（a，b，c為常數(shù)）的值不可能為零，
∴；
∴關(guān)于x的二次三項式進行“加系數(shù)操作”后的多項式為：或或，其判別式分別為；
而，這兩個判別式的符號取決于與的大小，顯然“加系數(shù)操作”后的多項式的判別式可能為非負，則多項式的值可能為零；例如，多項式的判別式為，則多項式的值不可能為零，但加系數(shù)操作后的多項式，其判別式為，此時多項式的值可以為零；故③不正確，故不符合要求；
故正確有2個；
故選：C．
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．
11. 已知實數(shù)x、y滿足，則_______．
【答案】6
解析：∵，
∴，
解得，
∴，
故答案為：6．
12. 計算：_______．
【答案】0.25##
解析：解：；
故答案為0.25．
13. 一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則該正數(shù)值為_________．
【答案】16
解析：解：∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，
∴，
解得：．
∴該正數(shù)值為．
故答案為：16
14. 如圖，點、、、在同一條直線上，，則的長是_________．
【答案】
解析：解：∵，
∴
∴，即
∴
故答案為：．
15. 如圖，在中，，垂直平分，，則的度數(shù)為_________．
【答案】##64度
解析：解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
16. 若二次三項式是一個完全平方式，那么的值是_________.
【答案】
解析：∵二次三項式是一個完全平方式，
∴=64，
解得：m=±8.
故答案±8.
17. 若，且，則_________．
【答案】
解析：解：，
∵，
∴，
∴，
即．
∵，
將，代入，
∴．
故答案為：．
18. 如果一個四位自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，滿足，則稱該四位數(shù)為“和百數(shù)”．例如：四位數(shù)，∵，∴是“和百數(shù)”；又如四位數(shù)，∵，∴不是“和百數(shù)”．若一個“和百數(shù)”為，則這個數(shù)為_______；若一個“和百數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是_______．
【答案】 ①. ②.
解析：解：∵是“和百數(shù)”，
∴，
解得，，
∴這個數(shù)為；
∵是“和百數(shù)”，
∴，
∴，
∵一個“和百數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被整除，
∴是整數(shù)，即是整數(shù)，
∵各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，
∴，
∴，
當(dāng)時，（不符合題意，舍去）
當(dāng)時，，即，
∴，
此時為滿足條件的數(shù)的最大，
∴滿足條件的數(shù)為，
故答案為：；．
三、解答題：本大題8個小題，19題8分，20~26題每小題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
20. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【小問1詳解】
解：，
，
；
【小問2詳解】
解：，
，
，
．
21. 學(xué)習(xí)了等腰三角形知識后，小明進行了研究，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)三角形的一條外角平分線平行于三角形的一條邊時，該三角形為等腰三角形．請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作的角平分線（只保留作圖痕跡）．
已知：如圖，為的一個外角，平分，且．
求證：為等腰三角形．
證明：∵平分，
∴ ① ．
∵，
∴ ② ， ③ =，
∴ ④ ，
∴ ⑤ ，
∴為等腰三角形．
【答案】見解析，①；②；③；④；⑤．
解析：根據(jù)基本作圖，作圖如下：
射線即為的角平分線．
證明：∵平分，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴為等腰三角形．
故答案為：①；②；③；④；⑤．
22. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，0
詳解】解：原式
，
當(dāng)，時，
原式．
23. 某中學(xué)對全校1200名學(xué)生進行“校園安全知識”的教育活動，從1200名學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行測試，成績評定按從高分到低分排列分為A，B，C，D四個等級，并繪制了圖1、圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：
（1） 求本次抽查的學(xué)生共有_________人；
（2）將條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）求扇形統(tǒng)計圖中“A”所在扇形圓心角的度數(shù)；
（4）根據(jù)條查結(jié)果，請你估計全校學(xué)生在此次教育活動中獲得A等級和B等級共多少人？
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
（4）
【小問1詳解】
解：本次抽查的學(xué)生人數(shù)為：（人）
【小問2詳解】
所占百分比為，
抽查學(xué)生中等級的學(xué)生人數(shù)為（人）
所占百分比為，
抽查學(xué)生中等級的學(xué)生人數(shù)為（人） ，
補全條形統(tǒng)計圖如下所示：
【小問3詳解】
“”所在扇形圓心角的度數(shù)為
【小問4詳解】
全校獲得A等級和B等級的學(xué)生有（人）
24. 如圖，某居民小區(qū)有一塊四邊形空地，小道和把這塊空地分成了和三個區(qū)域，分別擺放三種不同的花卉．已知米，米，米，米．
（1）求四邊形的面積；
（2）小明和小林同時以相同的速度同時從點出發(fā)，分別沿和兩條不同的路徑散步，結(jié)果兩人同時到達點，求線段的長度．
【答案】（1）平方米
（2）線段的長度為米
【小問1詳解】
解：∵米，米
∴米
∵
∴是直角三角形，且
∴四邊形的面積為平方米
【小問2詳解】
解：由（1）可得是直角三角形，
依題意，米，
設(shè)米，則米
在中，
∴
解得：，即線段的長度為米．
25. 如圖，直線，平分，過點B作交于點C．動點E，D同時從點A出發(fā)，其中動點E以的速度沿射線運動，動點D以的速度在直線上運動．已知，設(shè)動點D，E的運動時間為．
（1）的度數(shù)為 ；
（2）當(dāng)點D沿射線運動時，若，求t的值；
（3）當(dāng)動點D在直線上運動時，若與全等，則t的值為 ．
【答案】（1）
（2）或4
（3）或
【小問1詳解】
解：如圖1中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：如圖2中，
①當(dāng)E在線段上時，作于H，于G．
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴.
②當(dāng)點E運動到延長線上，同法可得時，也滿足條件，
∴當(dāng)或時，滿足．
故答案為：或；
【小問3詳解】
解：∵，
∴當(dāng)時，，
∴
∴
∴時，．
當(dāng)D在延長線上時，，
綜上所述，滿足條件的t的值為2或6，
故答案為：或．
26. 在中，，過點作直線，點在直線上，連接、，且，過點作交于點．
圖1 圖2 備用圖
（1）如圖，請問和有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖，直線交直線于點，求證：；
（3）已知，在直線繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時，請直接寫出的長度．（注：在直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半）
【答案】（1），證明見解析
（2）證明見解析 （3）或
【小問1詳解】
解：，證明如下：
，，
，
，
；
【小問2詳解】
解：證明：如圖，在直線上取點，連接，使，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理·得：，
，
；
【小問3詳解】
解：的長為或，理由如下：
由題意知，分兩種情況求解：
如圖，
，
，
，
由（1）知，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：；
如圖，
，
，
，，
由（1）知，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
綜上所述，的長為或．

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