命題單位：無錫市教育科學(xué)研究院 制卷單位：無錫市教育科學(xué)研究院
注意事項(xiàng)及說明：本卷考試時間為120分鐘，全卷滿分為150分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
1. 若集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式可得集合B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意知，
故，
故選：D
2. 若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.
【詳解】復(fù)數(shù)，
對應(yīng)點(diǎn)為，位于第二象限，
故選：B
3. 已知函數(shù)的圖象為，為了得到函數(shù)的圖象，只要把上所有的點(diǎn)（ ）
A. 向右平行移動個單位長度B. 向左平行移動個單位長度
C. 向右平行移動個單位長度D. 向左平行移動個單位長度
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換計(jì)算即可.
【詳解】易知向右平行移動個單位長度可得
.
故選：A
4. 一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：元）與倉庫到車站的距離（單位：km）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：元）與成正比；若在距離車站6km處建倉庫，則.要使這家公司的兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，則應(yīng)該把倉庫建在距離車站（ ）
A. 2kmB. 3kmC. 4kmD. 5km
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，結(jié)合題意求出，從而求出兩項(xiàng)費(fèi)用之和的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意設(shè)，倉庫到車站的距離，
由于在距離車站6km處建倉庫，則，即，
兩項(xiàng)費(fèi)用之和為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
即要使這家公司的兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，則應(yīng)該把倉庫建在距離車站3km.
故選：B
5. 若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷，說明充分性，由時，即可說明不必要性.
【詳解】因?yàn)榍?，所以等差?shù)列單調(diào)遞減，且公差小于0，
故，，
則，
即，所以，
由，當(dāng)時，等差數(shù)列單調(diào)遞增，
則不可能滿足且，
因此“且”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
6. 已知函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算即可.
【詳解】易知，
所以，
令，則，顯然，
所以為奇函數(shù)，即D正確.
故選：D
7. 若，則的值為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倍角公式可求，根據(jù)誘導(dǎo)公式得到，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出和，進(jìn)而求出.
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故選：C.
8. 在中，已知，點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段AD上一點(diǎn)，且，連接CE并延長交邊AB于點(diǎn)，則線段CP的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根據(jù)平面向量基本定理的推論求得與的關(guān)系，即可利用基底表示，再兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】,
因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，得，
即，
，兩邊平方，
，
所以.

故選：B
二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷；
【詳解】A.因?yàn)?，所以，在上遞減，故錯誤；
B. 因?yàn)?，所以，在上遞增，故正確；
C. 因?yàn)?，所以，在上遞增，故正確；
D. ，因?yàn)椋?，在上遞增，
則在上遞減，故錯誤；
故選：BC
10. 下列說法中正確的有（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D 若，，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則，
由不等式的基本性質(zhì)可得，則，A對；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋坏仁降膬蛇呁瑫r除以可得，
因?yàn)椋刹坏仁降幕拘再|(zhì)可得，B對；
對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則，
由不等式的基本性質(zhì)可得，C錯；
對于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，由不等式基本性質(zhì)可得，則，
由不等式的基本性質(zhì)可得，D對.
故選：ABD.
11. 函數(shù).下列說法中正確的有（ ）
A. 當(dāng)時，有恒成立
B. ，使在上單調(diào)遞減
C. 當(dāng)時，存在唯一的實(shí)數(shù)，使恰有兩個零點(diǎn)
D. 當(dāng)時，恒成立，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函數(shù)表達(dá)式計(jì)算，可得選項(xiàng)A正確；求，可知為開口向上的二次函數(shù)，在上不可能恒成立，選項(xiàng)B錯誤；零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)問題可得選項(xiàng)C正確；分離參數(shù)，恒成立問題轉(zhuǎn)化為大于等于函數(shù)的最大值或小于等于函數(shù)的最小值，分析函數(shù)即可得到選項(xiàng)D正確.
【詳解】A. 當(dāng)時，,,
∴，選項(xiàng)A正確.
B.由題意得，，為開口向上的二次函數(shù)，
故，使得時，，此時為增函數(shù)，
所以不存在，使在上單調(diào)遞減.
C. 當(dāng)時，，
由得，不是函數(shù)的零點(diǎn).
當(dāng)時，由得，，
令，則，
由得，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，
當(dāng)時，，為增函數(shù)，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，
圖象如圖所示：

由圖象可知，存在唯一的實(shí)數(shù)，使直線與圖象恰有兩個交點(diǎn)，即恰有兩個零點(diǎn)，選項(xiàng)C正確.
D. 當(dāng)時，，
∵，恒成立，
∴恒成立且.
對于不等式，
當(dāng)時，不等式成立，
當(dāng)時，恒成立，即，
令，則，
∵，
∴，
∴，
∴在上為減函數(shù)，，
∴.
對于不等式，
當(dāng)時，不等式成立，
當(dāng)時，恒成立，即，
令，
則，
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，，，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
∴，
∴.
綜上得，，選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)與不等式綜合問題，具體思路如下：
（1）對于函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，先說明不是函數(shù)的零點(diǎn)，再根據(jù)時，由分離出參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為“存在唯一的實(shí)數(shù)，使得直線與恰有兩個交點(diǎn)”，通過求導(dǎo)分析單調(diào)性畫出函數(shù)圖象，通過圖象即可得到結(jié)果.
（2）對于不等式恒成立問題，分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為且，對兩個函數(shù)分別求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可得到的取值集合.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
12. 已知，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可求解.
【詳解】向量在向量上的投影向量為.
故答案為：
13. 已知實(shí)數(shù)滿足且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的換算結(jié)合換底公式計(jì)算即可.
【詳解】由可知，
所以，即，
所以.
故答案為：
14. 任何有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；反之，任一有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也可以化為的形式，從而是有理數(shù).則__________（寫成的形式，與為互質(zhì)的具體正整數(shù)）；若構(gòu)成了數(shù)列，設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用無限循環(huán)小數(shù)的性質(zhì)設(shè)，然后建立等式求解即可；利用題中給出的規(guī)律先求出的通項(xiàng)公式，然后得到的通項(xiàng)公式，然后列項(xiàng)相消求解即可.
【詳解】令，則，解得，所以
易知
所以
所以
所以
所以答案為：；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若，則，借此建立等式；
，借此求得的通項(xiàng)公式；同樣的道理.
四、解答題：本題共5小題，共77分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量與的夾角為，且，若.
（1）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)的值;
（2）當(dāng)取最小值時，求向量與夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，所以，將代入可得，再由數(shù)量積的定義求得，代回即可求解；
（2）根據(jù)向量的模和二次函數(shù)求最值的方法求出的值，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以，即?br>所以，
因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，
所以，
所以，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
由（1）知，且，
所以，
則，
故當(dāng)時，最小為，
此時，
則，
又，
所以，
所以向量與夾角的余弦值為.
16. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍;
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】（1） （2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，可得有兩個大于的不等實(shí)根，進(jìn)而可得，求解即可；
（2）求導(dǎo)數(shù)，對分類討論可求得單減區(qū)間.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
令，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，所以有兩個大于的不等實(shí)根，
所以，解得.
所以的取值范圍為；
【小問2詳解】
，
求導(dǎo)得
，
令，解得或，
當(dāng)時，，由，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，由，可得，函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間，
當(dāng)，，由，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
17. 在中，已知.
（1）若為銳角三角形，求角的值，并求的取值范圍;
（2）若，線段的中垂線交邊于點(diǎn)，且，求A的值.
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切的和角公式可得C，再利用余弦的差角公式，輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算范圍即可；
（2）設(shè)中點(diǎn)為，由正弦定理解三角形結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意，
所以，
所以，所以，
易知，所以，則，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，
所以
，
由知，所以，
即的取值范圍為；
【小問2詳解】
設(shè)中點(diǎn)為，則，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
因?yàn)榫€段的中垂線交邊于點(diǎn)，可知，所以，
則，解之得，此時，正切不存在，舍去；
或，解之得；
綜上.
18. 已知函數(shù).
（1）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②證明：若，則.
【答案】（1）；
（2）；證明見解析.
【解析】
【分析】（1）分離參數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值計(jì)算即可；
（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，統(tǒng)一設(shè)切點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個解，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可；②利用①的結(jié)論得出，根據(jù)極值點(diǎn)偏移證得，再根據(jù)弦長公式得，構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性即可證明.
【小問1詳解】
易知，令，則，
顯然時，，時，，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，即；
【小問2詳解】
①設(shè)切點(diǎn)，易知，，則有，
即，
令，則有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)即分別為，
易知，顯然時，，時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且時有，時也有，，
則要滿足題意需，即；
②由上可知：，
作差可得，即，
由①知：上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，
則始終單調(diào)遞減，所以，
即，所以，所以，
不難發(fā)現(xiàn)，，
所以由弦長公式可知，
所以，
設(shè)
所以由，即，證畢.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于切線個數(shù)問題，可設(shè)切點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程，將問題轉(zhuǎn)化為解的個數(shù)問題；對于最后一問，弦長的大小含有雙變量，常有的想法是找到兩者的等量關(guān)系，抑或是不等關(guān)系，結(jié)合圖形容易想到化為極值點(diǎn)偏移來處理.
19. 在下面行、列的表格內(nèi)填數(shù)：第一列所填各數(shù)自上而下構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列an；第一行所填各數(shù)自左向右構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列bn；其余空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫.設(shè)第2行的數(shù)自左向右依次記為.
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式;
（2）對任意的，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個數(shù)記為，
①求和的值;
②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；
（2）①，；②.
【解析】
【分析】（1）移項(xiàng)得，運(yùn)用累加法即可得到通項(xiàng)公式；
（2）①令，解得，代入得，當(dāng)時，作差得，代入即可得到；
②，利用錯位相減法得，再驗(yàn)證值即可.
【小問1詳解】
由題意知，，
當(dāng)時，
，而也滿足上式，.
【小問2詳解】
①，
令，
當(dāng)時，，此時，
當(dāng)時，，
此時
②，記從第2項(xiàng)到第項(xiàng)的和為，
，
，
上述兩式作差得
，
，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，
，
也滿足上式，，
，
，當(dāng)時，左邊，舍去，
當(dāng)時，經(jīng)檢驗(yàn)符合；
當(dāng)時，左邊恒，無解，
綜上:.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的第二小問關(guān)鍵是利用錯位相減法得，再計(jì)算得.
第1列
第2列
第3列
…
第列
第1行
1
2
…
第2行
3
5
9
第3行
5
10
…
…
第行

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