2024.11
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先解對數(shù)不等式得出集合B，再根據(jù)交集定義求解.
【詳解】因?yàn)?，所?
所以，共3個(gè)元素.
故選：C．
2. 設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）
A. 1B. C. iD.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法即可得到答案.
【詳解】，虛部為，
故選：B．
3. 等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（ ）
A. 588B. 448C. 896D. 224
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量運(yùn)算結(jié)合各項(xiàng)為正得出公比為2，再應(yīng)用通項(xiàng)公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)且，所以，可得或（舍）
.
故選：B．
4. 已知向量，，，則向量在上的投影向量為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用求得向量和向量的數(shù)量積，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可.
【詳解】由，得，
由，得，則
因此，在上的投影向量，
故選：D
5. 已知，函數(shù)在R上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）
A. 0,+∞B. 1,+∞
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分、討論，根據(jù)沒有零點(diǎn)求出的范圍可得答案.
【詳解】時(shí)，，
若無解，則或；
時(shí)，，
若無解，則，
則.
故選：D．
6. 已知為第一象限角，且，則（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由兩角和的正切公式化簡已知式可得，代入化簡即可得出答案.
【詳解】由可得：，
即，即，
解得：或，因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵?br>∴，.
故選：C．
7. 設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為．若，則“有最小值”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分不必要條件的定義即可求解.
【詳解】若有最小值，則單調(diào)遞增，故，
但時(shí)，若，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，沒有最小值，
因此“有最小值”“”，
∴“有最小值”是“”的充分不必要條件
故選：A．
8. 在中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】運(yùn)用數(shù)量積定義和余弦定理，結(jié)合基本不等式計(jì)算.
【詳解】，∴，∴，
∴ ，
所以，
故選：A．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 的最小正周期為π
C. 的最大值為D. 在上單調(diào)遞增
【答案】AC
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的定義可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)，結(jié)合倍角公式可得選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)可化為，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，，所以，為偶函?shù)，選項(xiàng)A正確．
因?yàn)椋?br>的最小正周期不為π選項(xiàng)，B錯(cuò)誤．
，選項(xiàng)C正確．
，，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC.
10. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（ ）
A. 只有兩個(gè)零點(diǎn)B.
C. 是的極小值點(diǎn)D. 當(dāng)時(shí)，恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)單調(diào)性，即可根據(jù)單調(diào)性求解函數(shù)的極值，進(jìn)而可判斷ACD，代入驗(yàn)證即可求解B.
【詳解】
令，則或3，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，且，∴有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，A對．
，故B正確，
是極大值點(diǎn)，C錯(cuò)．
時(shí)，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得恒成立，D對．
故選：ABD
11. 如圖，圓錐的底面直徑和母線長均為，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（ ）

A. 存，使得
B. 當(dāng)時(shí)，存在，使得平面
C. 當(dāng)，時(shí)，四面體體積為
D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，用反證法判定.對于B，運(yùn)用面面平行得到線面平行.對于C,通過條件，分析出體積之間的關(guān)系，運(yùn)用等體積發(fā)計(jì)算即可.對于D，運(yùn)用向量法，結(jié)合垂直的數(shù)量積為0計(jì)算即可.
【詳解】對于A，，則與不可能垂直，若，則面，則，則面矛盾，A錯(cuò)．
對于B，取中點(diǎn)，則，過作交于點(diǎn)，此時(shí)為中點(diǎn)，則面平面，∴平面，對．
對于D，如圖建系，，，， ，，，，
∴，∴，D對．

對于C,時(shí)，，時(shí)，到平面的距離是到平面距離的.，其中表示到平面的距離，是到平面距離，，C對，
故選：BCD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 鎮(zhèn)江的慈壽塔是金山寺的標(biāo)志性建筑，創(chuàng)建于1400余年前的齊梁時(shí)期．某同學(xué)為了測量慈壽塔的高，他在山下處測得塔尖點(diǎn)的仰角為，再沿正對塔方向前進(jìn)20米到達(dá)山腳點(diǎn)，測得塔尖點(diǎn)的仰角為，塔底點(diǎn)的仰角為，則慈壽塔高約為______米．（，答案保留整數(shù)）
【答案】31
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，再結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系求解即得.
【詳解】如圖，，，，，
設(shè)，則，，，
∴，∴，
則．
故答案為：31.
13. 已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為（，為常數(shù)），寫出一個(gè)有序數(shù)對________，使得數(shù)列是等差數(shù)列．
【答案】1,0.(答案不唯一)
【解析】
【分析】取，，則，所以，由等差數(shù)列的定義可證明為等差數(shù)列.
【詳解】取，，則，所以，
則，
所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
即可以是1,0．
故答案為：1,0.(答案不唯一)
14. 定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，則的對稱中心為________；若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)對稱中心定義判斷函數(shù)對稱中心，再應(yīng)用對稱中心性質(zhì)分組求和計(jì)算即可.
【詳解】關(guān)于對稱，則
∴，則關(guān)于對稱，
，
∴，則．
故答案為：1,2；．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在銳角三角形中，角，，所對的邊分別是，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦的二倍角公式計(jì)算可得答案；
（2）利用平方關(guān)系、兩角和的正弦展開式化簡得出，再結(jié)合平方關(guān)系可得答案.
【小問1詳解】
，∴，
可得，即，，
而為銳角三角形，，∴；
【小問2詳解】
因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，
因?yàn)橛捎嘞叶ɡ淼?，所以?br>得，
∴，∴，
由且為銳角三角形，
可得．
16. 已知函數(shù)，．
（1）求證：直線既是曲線的切線，也是曲線的切線；
（2）請?jiān)谝韵氯齻€(gè)函數(shù)：①；②；③中選擇一個(gè)函數(shù)，記為，使得該函數(shù)有最大值，并求的最大值．
【答案】（1）證明見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)出的切點(diǎn)，即可求導(dǎo)，求解的切線方程，聯(lián)立直線與，根據(jù)判別式為0，即可證明相切，
（2）求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.
【小問1詳解】
設(shè)與切于，
，∴
∴切線方程為，令，
此時(shí)在處的切線方程為，即是的切線，
聯(lián)立，∴，
∴在處的切線為，
∴也是的切線．
因此直線既是曲線的切線，也是曲線的切線；
【小問2詳解】
若選①，當(dāng)時(shí)，，顯然無最大值．不符合題意，
若選②，，
，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，
故在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
時(shí)，且，，，∴．
若選③，則，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，
所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，
時(shí)，且，，，∴．
17. 已知，數(shù)列前項(xiàng)和，且滿足；數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請說明理由；
（3）求使得不等式成立的的最大值．
【答案】（1）
（2）存在，
（3）4
【解析】
【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義計(jì)算可得；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義作差得到，即可求出；
（3）結(jié)合（2）可得的通項(xiàng)公式，即可得到，令，利用作差法說明單調(diào)性，即可求出的最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)棰?，②?br>②-①得，∴，而，∴，
∴成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．
【小問2詳解】
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，
∴
為常數(shù)，
∴，解得，
∴存在使成等差數(shù)列，且公差為．
【小問3詳解】
由（2）知，
∴，∴不等式，即，
令，則，
∴在上單調(diào)遞減，注意到，，
∴時(shí)，，∴．
18. 在四棱錐中，，，平面，，分別為，的中點(diǎn)，．

（1）求證：平面平面；
（2）若，求點(diǎn)到平面的距離；
（3）若二面角的余弦值為，求．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）先運(yùn)用線面垂直性質(zhì)得到，進(jìn)而證明平面，再由，得到平面，進(jìn)而得到面面垂直即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和方向向量，面的法向量坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可；
（3）運(yùn)用向量法，結(jié)合二面角的余弦值為，建立方程計(jì)算即可.
【小問1詳解】
證明：∵平面，∴，
又∵，∴，，∴平面，
又∵，分別為，的中點(diǎn) ∴，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
【小問2詳解】
如圖建系

∵，，，
∴，，，，
∴，，，，
∴，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，∴，
∴到平面的距離．
【小問3詳解】
仿（2）建系，設(shè)，∴，，，，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為n1=x1,y1,z1，，
∴，，
顯然二面角平面角為銳角，∴，
∴，即．
19. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求取值范圍；
（3）設(shè)，證明：．
【答案】（1）時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增．
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)，討論f′x與的大小即可得出的單調(diào)性；
（2）分離參數(shù)將題意轉(zhuǎn)化為對恒成立，令，，求出即可得出答案；
（3）先證右邊，借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得證等式右邊.再證左邊，當(dāng)時(shí)，，令，可得累加即可得證等式左邊.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?,+∞,
所以，令，
當(dāng)時(shí)，f′x0，單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
對恒成立，
即對恒成立，所以對恒成立，
令，，
，
令，，
，所以hx在1,+∞上單調(diào)遞減，
所以，所以，所以在1,+∞上單調(diào)遞減，
而時(shí)，，當(dāng)趨近正無窮時(shí)，趨近0，
∴．
【小問3詳解】
先證右邊，證
只需證：，
由（1）知當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），
∴，令，∴，
此時(shí)右邊得證.
再證左邊：，，
，所以在1,+∞上單調(diào)遞減，
所以，所以時(shí)，，
∴，∴，
即，
∴，左邊得證！
綜上：不等式得證！
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于從（2）中所得，可得，再累加即證明等式右邊成立，再證左邊當(dāng)時(shí)，，令，可得累加即可得證等式左邊.

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