1.答卷前，考生務必將自己的考場、座號、姓名、班級填（涂）寫在答題卡上，將條形碼粘貼在“貼條形碼區(qū)”.
2.作選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標號.
3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.否則，該答題無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔；書寫力求字體工整、符號規(guī)范、筆跡清楚.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.
1. 若集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡集合，即可根據(jù)交集定義求解.
【詳解】由可得，
故，
故選：C
2. 若，則（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】先由復數(shù)的四則運算求出，再計算，最后求其模長即得.
【詳解】由，可得，
則.
故選：B.
3. 已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別舉出反例即可判斷ABD，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C.
【詳解】取，滿足，但，故A錯誤；
取，滿足，但是，故B錯誤；
因為在上單調(diào)遞減，由可得，故C正確；
取，滿足，但是，故D錯誤；
故選：C
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦的和差角公式可得的值，從而可得的值，再由余弦的二倍角公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，且，
則，
又，
所以.
故選：A
5. 若向量，則“”是“”（ ）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)共線向量的坐標公式列方程，求出的值，再根據(jù)充要條件的判斷方法即得.
【詳解】因，
由，可得，解得或.
由“”可推出“或”成立，
而由“或”推不出“”成立，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：B.
6. 在中，，其外接圓的圓心為，則的最小值為（ ）
A. 4B. C. 16D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量數(shù)量積的運算可得，由為外接圓圓心，可得，，從而得，利用基本不等式求解即可.
【詳解】解：因為，
所以，所以，
因為為外接圓圓心，
過作于，則為中點，

所以，
同理可得，
所以，
又因為，
所以，
所以
當且僅當，即時，等號成立.
故選：D.
7. 設，若為的最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先求得時的最小值，再由導數(shù)可得時的最小值，再由為的最小值列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】當時，，對稱軸為，
當時，即，，
當時，即，，不符合題意，所以，
當時，，則，
令，則，
當時，f′x0，則單調(diào)遞增，
則是函數(shù)的極小值點，
又為的最小值，則滿足，
即，解得，又，
所以實數(shù)的取值范圍是0,1.
故選：A
8. 若函數(shù)的定義域為，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得（），，從而得數(shù)列是等差數(shù)列，求出其通項公式，從而得，將代入，即可得答案.
【詳解】由，
可得，
當時，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，首項為，
所以，
所以，
所以.
故選：C．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是得出是等差數(shù)列，從而得函數(shù)的解析式.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 數(shù)列中，記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，若，，則（ ）
A. B.
C. 數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列D. 當取最大值時，或
【答案】ABD
【解析】
【分析】由條件確定為等比數(shù)列，再結(jié)合通項公式及求和公式逐項判斷即可.
【詳解】由得即首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，正確；
，正確；
，故數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，錯誤；
因為首項為，公比為的等比數(shù)列，單調(diào)遞減，，所以當取最大值時，或，正確；
故選：ABD
10. 若函數(shù)，則（ ）
A.
B. 當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 當時，將圖象向左平移個單位后得到的圖象
D. 當函數(shù)在上恰有2個零點和2個極值點時，的取值范圍是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角恒等變換化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，來解決問題.
【詳解】由函數(shù)整理得：
，
所以，故A錯誤；
當時，函數(shù)，由，可得：，
根據(jù)正弦函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
當時，函數(shù)，
將圖象向左平移個單位后得到：，
此時滿足題意，故C正確；
當時，，
為了使得函數(shù)在上恰有2個零點和2個極值點，
只需要滿足，解得，故D錯誤；
故選：BC.
11. 若點是函數(shù)圖像上的兩點，則（ ）
A. 對任意點，存在無數(shù)點，使曲線在點A，B處的切線的傾斜角相等
B. 當函數(shù)存在極值點時，實數(shù)的取值范圍為
C. 當且在點A，B處的切線都過原點時，
D. 當直線AB的斜率恒小于1時，實數(shù)的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項A，轉(zhuǎn)化為在點A，B處導數(shù)值相同，由方程有無數(shù)解可得；選項B，由函數(shù)存在極值點，轉(zhuǎn)化為導數(shù)存在變號零點，分離參數(shù)，即可判斷；選項C，由切線斜率的兩種求法建立等量關(guān)系可得；選項D，轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)遞減，利用導數(shù)小于等于恒成立可求.
【詳解】對于A，因為，
要使，則，
得，
所以，，即對任意，的值有無數(shù)個，故A正確：
對于B，，令，則，
且，則，即，
又，則，故B錯誤；
對于C，曲線y=fx在點A，B處的切線都過原點，
由，則點均不與原點重合，設曲線在處切線的斜率為，
則，由切線過原點，
則切線即直線的斜率，
所以，化簡得，
若時，則，這與矛盾，
故，所以有，
同理可得，
所以由，得，故C正確．
對于D，對于任意點A，B，直線AB的斜率恒小于1，
則，即，
所以在上是減函數(shù)，
所以恒成立，
設，x∈R，且，
所以要使恒成立，則，即，故D正確；
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題C選項的關(guān)鍵是通過切線方程得到，化解得到，同理得到，則有，即可判斷C.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)的最小正周期為______.
【答案】
【解析】
【分析】利用，即可求解.
【詳解】解：小正周期為，
故答案為：.
13. 我國火力發(fā)電廠大氣污染物排放標準規(guī)定：排放廢氣中二氧化硫最高允許濃度為.已知我國某火力發(fā)電廠排放廢氣中二氧化硫的初始濃度為，現(xiàn)通過某種工藝對排放廢氣進行過濾處理，處理后廢氣中剩余二氧化硫的濃度（單位：）與處理時間（單位：分鐘）滿足關(guān)系式：，那么從現(xiàn)在起至少經(jīng)過______分鐘才能達到排放標準.（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果取整數(shù)）
【答案】16
【解析】
【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數(shù)，得到，代入，求出答案.
【詳解】由題意得，
即，
故，
因為，
所以，
故，
所以從現(xiàn)在起至少經(jīng)過16分鐘，才能達到排放標準.
故答案為：16
14. 設，若，使得對恒成立，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】求導，分與分類討論求得，進而可得，構(gòu)造函數(shù)，求得的范圍，可求的取值范圍.
【詳解】由，可得，
令，可得，所以，
當時，在上單調(diào)遞減，無最大值，不符合題意，
當時，方程解為，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，
因為，使得對恒成立，
所以，所以，
所以，
令，求導可得，
當，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所認
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】思路點睛：對于恒成立問題，通常是通過分離變量，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值解決有關(guān)問題.
四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在處取得極小值.
（1）求m，n的值；
（2）若函數(shù)有3個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求導，根據(jù)得到方程組，求出，，檢驗為極小值點，得到答案；
（2）在（1）基礎上，得到的極大值為，極小值為，轉(zhuǎn)化為y=fx與有3個不同的交點，所以.
【小問1詳解】
，
，，
解得，，
故，
，
令得或，
令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故為極小值點，滿足要求；
【小問2詳解】
由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，，
故的極大值為，極小值為，
又趨向于時，趨向于，當趨向于時，趨向于，
綜上，要想有3個不同零點，即有3個不同的實數(shù)根，
即y=fx與有3個不同的交點，
所以.
16. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若的面積為，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換化簡，即可解決；
（2）利用三角形的面積公式，得，再利用余弦定理得，最后結(jié)合正弦定理即可求解.
【小問1詳解】
因為，
所以由正弦定理得，
化簡得，
因為，即，所以，
得，因為，
所以，又，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，又的面積為，
所以，即，
由余弦定理可得，
所以，，，即
由正弦定理得，，
所以，
17. 函數(shù)圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件為函數(shù)為奇函數(shù)，已知函數(shù).
（1）證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）單調(diào)遞增，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解,
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可根據(jù)得求解.
【小問1詳解】
令，定義域為,則，故為奇函數(shù),
因此為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，
【小問2詳解】
由于，均為單調(diào)遞增函數(shù)，故為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，
由于，且為單調(diào)遞增函數(shù)，故單調(diào)遞增，
故由可得，
即，
故，解得
18. 數(shù)列中，若，使得，都有成立，則稱數(shù)列為“三合定值數(shù)列”，已知.
（1）求；
（2）設，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求；
（3）設，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），，.
（2）證明見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）由，代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）由條件可得，即可證明，結(jié)合的通項公式，分別討論為奇數(shù)以及為偶數(shù)的情況，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合錯位相減法代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
因為，所以，且，
則，即，解得，
又，即，解得，
又，即，解得，
所以，，.
【小問2詳解】
因為，則，
且，即，所以，
即，又，則，
所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
所以①，，
則②，，
兩式相減可得，
即的奇數(shù)項為等差數(shù)列，且，
令，則，所以（為奇數(shù)），
又③，
由③①可得，，
所以的偶數(shù)項為等差數(shù)列，且，
令，則，即，
綜上所述，.
【小問3詳解】
因為，當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，，
綜上，，
則，
，
兩式相減可得，
，
，
，
，所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵在于，分類討論為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況，從而得解.
19. 設函數(shù)，已知曲線在點處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）.
（2）當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)可得；
（2）先求得，根據(jù)，，，分類討論即可.
（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，先求，設，，根據(jù)，將分為和驗證即可.
【小問1詳解】
由題意，可得
【小問2詳解】
由題意的定義域為，
，
當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，令得，
當時，，當時，f′x>0，當時，f′x0，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，，當時，f′x0，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
綜上所述：
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
由得，即，
設，則由題意在上恒成立，
，設，
則，
若時，，
當時，，，故，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即，
故hx在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，滿足題意.
若，設，則，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故使當時，，
因，故在區(qū)間上，即h′x

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