一、單選題
1．求長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（ ）
A．B．
C．或D．
2．已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1或B．1C．3D．或3
4．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，，，則的最小值為（ ）
A．5B．C．2D．1
6．已知圓和圓，則圓和圓的公切線條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知圓，直線，則（ ）
A．直線恒過(guò)定點(diǎn)
B．直線與圓有三個(gè)交點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于
D．過(guò)直線的平行線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則
8．在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
二、多選題
9．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則
B．若空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面
C．若空間向量滿足，則與夾角為鈍角
D．若空間向量，則在上的投影向量為
10．已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．橢圓離心率為
B．
C．若，則的面積為
D．最大值為
11．如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．；
B．當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，，，共面；
C．當(dāng)時(shí)，；
D．的最小值為．
三、填空題
12．過(guò)兩點(diǎn)的直線l的傾斜角為，求的值為 ．
13．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為，若為橢圓上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為 .
14．在棱長(zhǎng)為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點(diǎn)是正方體表面上的一點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
四、解答題
15．在中，邊，上的高所在直線的方程分別為與，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求邊的高所在直線的一般式方程；
(2)求邊的中線所在直線的斜率.
16．已知直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
17．已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的上方.
(1)求圓的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于，求直線的方程.
18．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且分別為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值；
(3)在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線，交軌跡于，兩點(diǎn)，，不在軸上.
（i）過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的直線，交軌跡于，兩點(diǎn)，記四邊形的面積為，求的最大值；
（ii）設(shè)軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)為，直線，相交于點(diǎn)，試證明點(diǎn)在定直線上，求出該直線方程.
答案：
1．C
【分析】分析可知，，對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】由題意可知，，
若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，
此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，
此時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
故選：C.
2．D
【分析】分析可知，，根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出的值.
【詳解】因?yàn)槭侵本€的方向向量，是平面的法向量，且，
則，則，所以，，解得，，
因此，.
故選：D.
3．C
【分析】根據(jù)圓方程可得，確定或，再根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱可得圓心在直線上即可求解.
【詳解】因?yàn)槭菆A的方程，
所以，解得或，
又因?yàn)閳A的圓心為，
且圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以，
即，解得，（舍）或，
故選：C.
4．D
【分析】由得，然后兩邊平方，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量的夾角.
【詳解】設(shè)與的夾角為，由，得，
兩邊同時(shí)平方得，
所以1，解得，
又，所以.
故選：D
5．D
【分析】利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為，即求的最小值，根據(jù)三角形性質(zhì)，當(dāng)三點(diǎn)共線得答案.
【詳解】
，為一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為，
且，
因?yàn)?，所以在橢圓外部，
所以，
即求的最小值，
由于，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值，
此時(shí)，，
所以的最小值為1.
故選：D
6．C
【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，再求解公切線條數(shù)即可.
【詳解】我們將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，
故它的圓心為，半徑，
由題意得，半徑，
則由兩點(diǎn)間距離公式得，
故兩圓圓心距為5，滿足，
故兩圓外切，圓和圓的公切線條數(shù)為3，故C正確.
故選：C
7．C
【分析】將直線的方程化為，由可求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；求出與直線平行且距離為的直線方程，并判斷所求直線與圓的位置關(guān)系，可判斷C選項(xiàng)；求出的值，分析可知，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，PC取最小值，結(jié)合勾股定理可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線的方程可化為，
由可得，所以，直線恒過(guò)定點(diǎn)，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
設(shè)與直線平行且與直線的距離為的直線的方程為，
由平行線間的距離公式可得，解得，
圓心為C?2,0，圓的半徑為，
圓心到直線的距離為，
圓心到直線的距離為，
所以，直線、都與圓相交，
所以，當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)橹本€與直線平行，
則，解得，
即點(diǎn)在直線上，連接，則，
由勾股定理可得，
當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，PC取最小值，
且，則，D錯(cuò).
故選：C.
8．C
【分析】利用空間向量的四點(diǎn)共面的定理，得出系數(shù)的關(guān)系，再借助基本不等式求出最小值.
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．
∵四點(diǎn)共面，
∴，即．
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
∴的最小值為1．
故選：C
9．ABD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)條件，利用線面位置判斷的向量法，即可求解；對(duì)于B，利用空間向量共面定理，即可求解；對(duì)于C，取，即可判斷選項(xiàng)C的正誤；選項(xiàng)D，根據(jù)條件，利用投影向量的定義，即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，則，所以，故選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，得到?br>所以，即，
所以共面，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與夾角不為鈍角，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，，所以在上的投影向量為，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
10．BCD
【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的定義可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，
根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由對(duì)勾函數(shù)可判斷D.
【詳解】由橢圓方程可知，，，，
所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；
由橢圓定義知，故B正確；
又，因?yàn)?，所以?br>，
解得：，所以的面積為，故C正確；
因?yàn)?，即?br>設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以，
所以，故D正確.
故選：BCD.
11．BCD
【分析】以為基底，表示出相關(guān)向量，可直接判斷A的真假，借助空間向量共面的判定方法可判斷B的真假，利用空間向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算可判斷CD的真假.
【詳解】以為基底，則，，,.
對(duì)A：因?yàn)?
所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：當(dāng)是靠近的三等分點(diǎn)，即時(shí)，
，
又，所以.故，，共面.故B正確；
對(duì)C：因?yàn)椋?br>所以：，
所以，故，故C正確；
對(duì)D：設(shè)，.
因?yàn)?
所以，.
當(dāng)時(shí)，有最小值，為：，故D正確.
故選：BCD
12．.
【分析】根據(jù)傾斜角計(jì)算出直線的斜率，再根據(jù)坐標(biāo)形式下斜率的計(jì)算公式求解出的值.
【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，
又，整理得，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，不符合，
當(dāng)時(shí)，，符合，
綜上.
故答案為:
13．
【分析】由內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式，利用等面積法表示焦點(diǎn)三角形的面積，得到方程，即可得到離心率的方程，計(jì)算得到結(jié)果.
【詳解】由題意，可知為橢圓通徑的一半，故，的面積為，
又由于的內(nèi)切圓的半徑為，則的面積也可表示為，
所以，即，
整理得：，兩邊同除以，
得，所以或，
又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率為.
故答案為.
14．
【分析】求出外接球半徑，再由向量數(shù)量積運(yùn)算得出，分析范圍即可得解.
【詳解】設(shè)正方體外接球的球心為，半徑為，
則，即，所以，
，
當(dāng)與正方體的側(cè)面或底面垂直時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值，即最小值為1；
當(dāng)與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，的長(zhǎng)取最大值，即最大值為.
所以，故.
故
15．(1)；
(2)
【分析】（1）由兩條高線所在直線方程聯(lián)立求得垂足坐標(biāo)后，再計(jì)算直線的斜率得直線方程；
（2）由垂直得出直線的斜率，從而可得直線方程，聯(lián)立方程組分別求得兩點(diǎn)坐標(biāo)后，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算出中點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算斜率．
【詳解】（1）由，解得，因此垂足為，
所以高所在直線的斜率為，
直線方程為，即；
（2）因?yàn)檫叄系母咚谥本€的方程分別為與，
所以，，
直線方程為，即，
直線方程為，即，
由，得，即，
由得，即，
所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以．
16．(1)或
(2)或
【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，消得到，利用，即可求解；
（2）設(shè)，根據(jù)違達(dá)定量，利用（1）結(jié)果，得到，進(jìn)而有，根據(jù)題設(shè)有，即可求解.
【詳解】（1）由，消得到，
由題知，整理得到，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
（2）設(shè)，
由（1），根據(jù)韋達(dá)定理得到，
所以，
又，所以，得到，
又，所以，
得到，整理得到，解得或，
所以實(shí)數(shù)的值為或.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得出，利用點(diǎn)到直線的距離求出的值，可得出圓心坐標(biāo)，即可得出圓的方程；
（2）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離為，然后對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線的斜率，綜合可得出直線的方程.
【詳解】（1）解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A心在直線上方，則，可得，
因?yàn)榘霃綖榈膱A與相切，則，因?yàn)?，解得?br>所以，圓心為原點(diǎn)，故圓的方程為.
（2）解：由勾股定理可得，圓心到直線的距離為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)，圓心到直線的距離為，合乎題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
由題意可得，解得，此時(shí)，直線的方程為.
綜上所述，直線的方程為或.
18．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)存在；
【分析】（1）利用線面垂直的判定直接證明即可；
（2）利用向量法求得線面角的正弦值即可；
（3）推出點(diǎn)的軌跡是半徑為的一個(gè)圓，求出圓的周長(zhǎng)即可.
【詳解】（1）

（法一）如圖：連接，
中，為等邊三角形．
為中點(diǎn)，，且，
底面為菱形，所以，
為等邊三角形．
為中點(diǎn)，，且，
，
平面，
平面，

（法二）如圖：連接，
中，為等邊三角形，
為中點(diǎn)，，且，
底面為菱形，，
為中點(diǎn)，，
在中，由余弦定理得：
，
即，
平面
平面
（2）

由（1）知：，
如圖：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
，
分別為的中點(diǎn)，，
，
，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則．
則，所以，取，則，
平面的一個(gè)法向量為．
平面的一個(gè)法向量為，
則，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，則．
即直線與平面所成角的正弦值為．
（3）（3）（法一）存在點(diǎn)，使．
理由如下：點(diǎn)在以線段中點(diǎn)為球心，2為半徑的球面上．，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則．
則，則，取，則．
平面的一個(gè)法向量為．
點(diǎn)到平面的距離為．
，記，
在平面內(nèi)存在點(diǎn)，且點(diǎn)的軌跡是半徑為的一個(gè)圓，
即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．
（3）（法二）存在點(diǎn)，使．
理由如下：點(diǎn)在以線段中點(diǎn)為球心，2為半徑的球面上．
是的中點(diǎn)點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，連接，
在中，由余弦定理得：
即，
，即，
，
．
，即點(diǎn)到平面的距離為，
點(diǎn)到平面的距離為．
，記，
在平面內(nèi)存在點(diǎn)，且點(diǎn)的軌跡是半徑為的一個(gè)圓，
即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．
19．(1)
(2)（i）7（ii）證明見(jiàn)解析，
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式建立方程，整理即可求解；
（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式和幾何法求弦長(zhǎng)表示.
（i）結(jié)合點(diǎn)線距公式、基本不等式和三角形面積公式，分類討論當(dāng)、時(shí)S的取值范圍即可；
（ii）設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，直線方程聯(lián)立圓方程，利用韋達(dá)定理表示，同時(shí)表示和的方程，求出交點(diǎn)N的坐標(biāo)即可證明.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得，
即，化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）由題易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
所以，
（i）若，則直線的斜率不存在，
易得，，則；
若，則直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
所以，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，
綜上所述，因?yàn)?，所以S的最大值為7.
（ii），設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，
聯(lián)立消得，
則，，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立解得，
則，
所以，
所以點(diǎn)在定直線上.
方法點(diǎn)睛：求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（值），再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無(wú)關(guān)．
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（值）．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
D
D
C
C
C
ABD
BCD
題號(hào)
11









答案
BCD









相關(guān)試卷

2024-2025學(xué)年江蘇省泰州市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省泰州市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析），共11頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析），共16頁(yè)。試卷主要包含了 已知是圓的一條弦，，是的中點(diǎn)， 下列結(jié)論正確的是， 下列四個(gè)命題中，正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期中德班期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期中德班期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析），共11頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024-2025學(xué)年江蘇省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）
2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）
2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）
江蘇省無(wú)錫市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

江蘇省無(wú)錫市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部