一、點(diǎn)差法（弦中點(diǎn)）
橢圓垂徑定理：已知A,B是橢圓上任意2點(diǎn)，且弦不平行軸，M為線段AB中點(diǎn)，則有
證明（點(diǎn)差法）：設(shè)，，則，
，，
∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標(biāo)得
① ②
兩式相減得：，整理得
∴
二、橢圓雙曲線第三定義
那么點(diǎn)差法是不是只能解決同時(shí)與中點(diǎn)和斜率有關(guān)的問題呢?其實(shí)不然．其實(shí)點(diǎn)差法的內(nèi)核還是“設(shè)而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)和差之間的聯(lián)系，這其實(shí)也是第三定義的體現(xiàn).
第三定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的斜率乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個(gè)頂點(diǎn))．其中兩定點(diǎn)分別為橢圓或雙曲線的頂點(diǎn)．當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時(shí)為橢圓，此時(shí)；當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線，此時(shí)．
【第三定義推廣】：平面內(nèi)與兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，的斜率乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線．當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時(shí)為橢圓，此時(shí)；當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線，此時(shí)．
【證明】是橢圓上的一組對(duì)稱點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)，則有
證明（點(diǎn)差法）：設(shè)，，，
，，
∵P，A在橢圓上，代入坐標(biāo)得
①
②
兩式相減得：，整理得
∴
法二：通過橢圓的垂徑定理轉(zhuǎn)換 中點(diǎn)弦和第三定義本質(zhì)上是一樣的

三、拋物線的焦點(diǎn)弦常見結(jié)論：
設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)的弦，若，，則

(1)
(2)焦半徑，(α為弦AB的與x軸夾角)
(3)弦長 (α為弦AB的傾斜角)．
(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．
(5)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長度等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦．
(6) （定值）.
(7) 以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.
四、焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比
若AB是過焦點(diǎn)的弦，且，
則（其中θ不是傾斜角，而是AB與焦點(diǎn)所在軸的夾角，拋物線離心率為1）
五、阿基米德三角形
（1）阿基米德焦點(diǎn)三角形性質(zhì)（弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)）
性質(zhì)1：MF⊥AB
性質(zhì)2：MA⊥MB
性質(zhì)3：MN∥x軸
性質(zhì)4：S△ABM最小值為p2
對(duì)于點(diǎn)A，B:
①拋物線焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn)
②由準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)
對(duì)于點(diǎn)M
③過焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)所作的切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)
④過焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)所作兩條切線的交點(diǎn)
滿足以上①③或①④或②③或②④的三個(gè)點(diǎn)所組成的三角形即為“底邊過焦點(diǎn)的阿基米德三角形”
（2）阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)）
【性質(zhì) 1】阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對(duì)稱軸．
【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點(diǎn)拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡為直線
記，，，M為弦AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)
半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則，則，下略
【性質(zhì)3】若P點(diǎn)軌跡為直線，且該直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，則定點(diǎn).
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，半代入得出切點(diǎn)弦AB的直線方程，進(jìn)而得出定點(diǎn)C的坐標(biāo)
【性質(zhì)4】阿基米德三角形的面積的最大值為.
【性質(zhì)5】，
六、橢圓，雙曲線焦半徑與焦點(diǎn)弦夾角公式
已知雙曲線，求出2種情況下的焦半徑,以及焦點(diǎn)弦
情況1：：AB兩點(diǎn)同一支上，直線AB與x軸夾角為α
，，
情況2：AB兩點(diǎn)不在同一支上，直線AB與x軸夾角為β
，，
題型一 點(diǎn)差法與第三定義（常規(guī)篇）
（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是C上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，直線PA，PB的斜率之積為________
已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓與，兩點(diǎn)．若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
（2022上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎獧E圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值.
已知P是橢圓E：，若A，B是E上兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．
已知橢圓的焦距為6，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為16.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.
題型二 點(diǎn)差法（提高篇）
設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（），那么的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．，或
題型三 橢圓與雙曲線第三定義（提高篇）
橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，拋物線與雙曲線交于兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，則為 .
已知，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于另外的點(diǎn)，．若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為 ．
已知、是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，，交橢圓于，.若過橢圓的焦點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點(diǎn)．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型四 拋物線焦半徑與焦點(diǎn)弦結(jié)論
已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是 .
已知拋物線，過焦點(diǎn)F的弦交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且有，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，作A到準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，p的值為 ．
（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則（ ）
A．B．弦AB的長度最小值為l
C．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
已知是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則直線過焦點(diǎn)時(shí)，最小值為________，直線過焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí)（點(diǎn)在第一象限），________，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則最大值為_______.
已知拋物線EQ y\S\UP6(2)＝16x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則__________；的最小值為__________.
已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 .
題型五 焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比
已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于A，B兩點(diǎn)．若的面積是面積的2倍，則的離心率為 ．
已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，且，則 ；若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，滿足，則 ．
已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于A，B兩點(diǎn)（A在B點(diǎn)左側(cè)）．若= ．
題型六 雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓模型
雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右支上有一點(diǎn)M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為 ．
已知點(diǎn)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支第一象限于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為1，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．1D．
重慶市巴蜀中學(xué)2023屆高考適應(yīng)性月考（七）數(shù)學(xué)試題
已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓與內(nèi)切圓的半徑的乘積為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（多選）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，過的直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，記和的內(nèi)切圓半徑分別為和，則（ ）
A．和的內(nèi)切圓圓心的連線與軸垂直
B．為定值
C．若，則的離心率
D．若，則的漸近線方程為
題型七 阿基米德三角形
（黃岡中學(xué)月考）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過F的直線交C于A,B兩點(diǎn),分別以A,B為切點(diǎn)作C的切線，，若與交于點(diǎn)P，且滿足，則|AB|=()
A.5B.6C.7D.8
（武漢市武昌區(qū)五月質(zhì)檢）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與交于A，B兩點(diǎn)，C在A處的切線與C的準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____
已知點(diǎn)，從拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)引拋物線的兩條切線，，且，為切點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是（ ）
A．B．C．2D．3
（成都七中月考）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，又直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么= .
（多選）過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），M為線段AB的中點(diǎn).M在拋物線的準(zhǔn)線l上的射影為點(diǎn)N，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最小值為4B.
C. △NAB面積的最小值為6D. 若直線AB的斜率為，則
（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線與交于、兩點(diǎn)，且，，若過點(diǎn)、分別作的兩條切線交于點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．以為直徑的圓過點(diǎn)
（2024屆·廣東省四校第一次聯(lián)考）過向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別為,又點(diǎn)在直線上的射影為，則焦點(diǎn)與連線的斜率取值范圍是 .
（2023·深圳市二模）（多選）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過拋物線C上不同的兩點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，則（ ）
A．軸B．C．D．
題型八 橢圓雙曲線焦點(diǎn)弦與焦半徑公式
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為.若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則__________.
已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍為 .
過雙曲線 的右焦點(diǎn)作其中一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是___________.
2023屆·山東省新高考3月聯(lián)合質(zhì)量測評(píng)
過雙曲線的左、右焦點(diǎn)作兩條相互平行的弦，其中在雙曲線的左支上，在軸上方，則的最小值為 ．當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，四邊形的面積為 ．（提示：參考焦半徑公式與焦點(diǎn)弦公式）
2023屆·青島三模T8——2個(gè)二級(jí)結(jié)論
已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過C的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為W，，則離心率e＝________；的周長等于12，則a＝________．
題型九 橢圓雙曲線大題·面積相關(guān)問題（韋達(dá)化處理與弦長公式）
已知橢圓C：的離心率為，且橢圓長軸長為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線l（不過原點(diǎn)O）與C交于AB，兩點(diǎn)，求面積的最大值．
已知橢圓：（）的焦距為4，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于，兩點(diǎn).
(1)求橢圓的離心率；(2)若，求的值.
（2023上·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B﹐滿足．若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)，其中為原點(diǎn).
(1)求拋物線的方程；(2)若，求面積的最小值.
已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.
(1)求的方程；
(2)若斜率存在且不為0的直線經(jīng)過C的右焦點(diǎn)F，且與C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，證明：直線BD過x軸上的定點(diǎn).
（2023上·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)，，．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．
（2023上·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率.
(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積最大值.
題型十 平移+齊次化解決定點(diǎn)與斜率和積定值問題
已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)．
如圖，橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)，證明:直線AP與AQ的斜率之和為2．
如圖，已知拋物線C：，圓E：，直線OA，OB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線OA與直線OB的斜率之積等于，則直線AB被圓E所截的弦長最小值為 ．
已知橢圓：的離心率為，橢圓的短軸長等于4．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，，過且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，分別交：于異于點(diǎn)的點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，直線，的斜率分別為．
①求證：為定值； ②求證：直線過定點(diǎn).

相關(guān)試卷

2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_6圓錐曲線中的10個(gè)常考二級(jí)結(jié)論與模型練習(xí)教師版：

這是一份2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_6圓錐曲線中的10個(gè)?？级?jí)結(jié)論與模型練習(xí)教師版，共48頁。試卷主要包含了點(diǎn)差法，橢圓雙曲線第三定義，拋物線的焦點(diǎn)弦常見結(jié)論，焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成定比，阿基米德三角形等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025屆新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-橢圓與雙曲線12個(gè)?？级?jí)結(jié)論與模型：

這是一份2025屆新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-橢圓與雙曲線12個(gè)常考二級(jí)結(jié)論與模型，文件包含橢圓與雙曲線12個(gè)常考二級(jí)結(jié)論與模型解析版pdf、橢圓與雙曲線12個(gè)?？级?jí)結(jié)論與模型學(xué)生版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共81頁， 歡迎下載使用。

2024屆新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-?？级?jí)結(jié)論及其應(yīng)用：

這是一份2024屆新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-常考二級(jí)結(jié)論及其應(yīng)用，文件包含《常考二級(jí)結(jié)論及其應(yīng)用》理科版含答案pdf、《?？级?jí)結(jié)論及其應(yīng)用》文科版含答案pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共60頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

常考二級(jí)結(jié)論及其應(yīng)用（含答案）-高考數(shù)學(xué)專題

?？级?jí)結(jié)論及其應(yīng)用（含答案）-高考數(shù)學(xué)專題
圓錐曲線二級(jí)結(jié)論應(yīng)用手冊(cè)-高考數(shù)學(xué)專題

圓錐曲線二級(jí)結(jié)論應(yīng)用手冊(cè)-高考數(shù)學(xué)專題
高考數(shù)學(xué)二輪專題習(xí)——圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論及應(yīng)用（學(xué)生及教師版）

高考數(shù)學(xué)二輪專題習(xí)——圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論及應(yīng)用（學(xué)生及教師版）
圓錐曲線二級(jí)結(jié)論應(yīng)用手冊(cè)學(xué)生及教師版

圓錐曲線二級(jí)結(jié)論應(yīng)用手冊(cè)學(xué)生及教師版
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部