2．答題前，在答題卷指定區(qū)域完成相應(yīng)內(nèi)容的填寫和填涂考試號、貼好條形碼，所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；
3．本次考試期間不得使用計算器；
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計算分式不等式解出集合后，結(jié)合交集運算即可得.
【詳解】由，即，解得，
故，又，
故.
故選：B.
2. 若，則角是（）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知直接判斷即可.
【詳解】由可得是第三象限或第四象限角，
由可得是第二象限或第四象限角，
故角是第四象限角.
故選：D.
3. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出函數(shù)的定義域，再確定在上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即可求得答案.
【詳解】由可得，
解得或，
由圖象的對稱軸為，
則在上單調(diào)遞增，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：C
4. 若且，則下列不等式中一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】A選項，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到A正確；BCD選項，舉出反例.
【詳解】A選項，因為在R上單調(diào)遞增，，所以，A正確；
B選項，若，滿足，但此時，B錯誤；
C選項，若，此時，故C錯誤；
D選項，若，此時，D錯誤.
故選：A
5. 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域及對數(shù)函數(shù)定義域列出不等式組，解三角不等式可得解.
【詳解】因為函數(shù)的定義域是，
所以函數(shù)有意義需滿足，
解得，
故函數(shù)的定義域為，
故選：B
6. 已知扇形的周長為18cm，面積為14，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）
A. 7或B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，從而根據(jù)周長和面積得到方程組，檢驗后求出答案.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，
則扇形的弧長為，故，
又，解得（舍去）或，
故選：D
7若，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于和都大于小于，比較它們大小時要引入中間值即可；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可選出答案.
【詳解】由于，得，
因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，，所以，
由于，得，
因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，，所以，
且，得，
由于，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，
總之，，即成立.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個實數(shù)解，且，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程解，即函數(shù)的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)，可畫出函數(shù)圖象，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】如圖所示：
因為關(guān)于方程有四個實數(shù)解，
所以函數(shù)的圖象與直線有四個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為，
且，
結(jié)合圖象，左側(cè)的二次函數(shù)部分中，最大值為，可得
當(dāng)時時，是方程的兩個不等實根，所以；
同時時，得出，
結(jié)合圖象可得，
即，
所以，，即，
可得，
所以，由于，
所以，
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖象，函數(shù)方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點的橫坐標(biāo)問題，同時要通過分段函數(shù)得特點，得到根與跟之間的等式關(guān)系，從而進行整體代換，減少變量，最后求出范圍.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 某同學(xué)利用二分法求函數(shù)的零點時，用計算器算得部分函數(shù)值如表所示：
則函數(shù)零點的近似值（精確度0.1）可取為（）
A. 2.49B. 2.52C. 2.55D. 2.58
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)及零點存在性定理即得答案.
【詳解】因為函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，結(jié)合表格可知，
方程的近似解在，，，內(nèi)，又精確度0.1，
所以方程的近似解（精確度0.1）可取為2.52，2.55.
故選：BC
10. 下列選項正確的是（）
A. 函數(shù)是增函數(shù)
B. 函數(shù)與函數(shù)是同一函數(shù)
C. 若，則函數(shù)的解析式為
D. 已知函數(shù)（且），則函數(shù)的反函數(shù)的圖象恒過定點
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)單調(diào)性定義判斷A，根據(jù)函數(shù)的定義判斷B，利用湊配法求出函數(shù)解析式判斷C，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)判斷D．
【詳解】在和上都是增函數(shù)，但在整個定義域上不是增函數(shù)，如，A錯；
的定義域是，的定義域是，不是同一函數(shù)，B錯；
，且的取值范圍是R，
所以，C正確；
函數(shù)（且）的圖象過定點，反函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，因此其反函數(shù)圖象過點，D正確．
故選：CD．
11. 下列選項正確是（）
A. 若銳角的終邊經(jīng)過點，則
B. △ABC中，“”是“△ABC是鈍角三角形”的充要條件
C. 函數(shù)的對稱中心是（）
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式判斷A，根據(jù)充分條件、必要條件判斷B，根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心判斷C，根據(jù)整體代換及誘導(dǎo)公式判斷D.
【詳解】由三角函數(shù)定義知，，又都為銳角，
所以，故A正確；
在中，為鈍角，所以三角形為鈍角三角形，反之是鈍角三角形，推不出為鈍角，
所以“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件，故B錯誤；
令或，，解得或，
即，所以函數(shù)的對稱中心是，故C正確；
因為，所以，故D正確.
故選：ACD
12. 已知，且，則（）
A. 的最小值為B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 的最小值為8
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)性質(zhì)判斷A，利用基本不等式求最值判斷BCD．
【詳解】因為，，所以，即，又，
，所以時，取得最小值，A正確；
，又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
即的最小值是，所以的最大值是，B正確；
，
令，則，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以取得最小值為，
所以取得最小值為，C錯；
，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，D正確，
故選：ABD．
非選擇題部分
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 計算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用對數(shù)的換底公式計算即可得解.
【詳解】.
故答案為：.
14. 已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求得的可能取值，根據(jù)冪函數(shù)的圖像即可得解.
【詳解】因為是冪函數(shù)，
所以，解得或，
當(dāng)時，，顯然其圖象不經(jīng)過第二象限，滿足題意；
當(dāng)時，，顯然其圖象經(jīng)過第二象限，不滿足題意；
綜上，.
故答案為：.
15. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先由條件推得，再依次轉(zhuǎn)化得到，從而得解.
【詳解】因，所以，
又當(dāng)時，，
所以.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)t的最大值為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)在不同區(qū)間上解析式；再根據(jù)解析式畫出相應(yīng)圖象；最后結(jié)合圖像列出方程即可求解
【詳解】因為
所以當(dāng)時，有，此時；
當(dāng)時，有，此時；
當(dāng)時，有，此時；
作出函數(shù)的部分圖象，如圖所示：
令，，解得：或.
結(jié)合圖像可得.
故答案為：
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知p：關(guān)于x的方程（）無實數(shù)根．
（1）若p是假命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）已知條件q：，，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)命題為假命題，結(jié)合一元二次方程的判別式，解不等式，即得答案；
（2）求出命題p相應(yīng)的m的范圍，由題意可得，分類討論是否為空集，解不等式，即得答案.
【小問1詳解】
由題意知p是假命題，則可得關(guān)于x的方程（）有實數(shù)根，
即，即，
解得或；
則實數(shù)m的取值范圍為.
【小問2詳解】
p：關(guān)于x的方程（）無實數(shù)根，
則，即，
解得，
設(shè)命題p相應(yīng)的集合為，命題q相應(yīng)的集合為，
若p是q的必要不充分條件，則有，
當(dāng)為空集時，，符合題意；
當(dāng)不為空集時，需滿足，等號不能同時成立，
解得，驗證時符合題意，
綜上可得實數(shù)a的取值范圍為.
18. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用同角公式結(jié)合齊次式法求出.
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合誘導(dǎo)公式及齊次式法計算即得.
【小問1詳解】
由，兩邊平方得，解得，
由，得，則，且，從而
于是，即，解得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以.
19. 杭州亞運會田徑比賽 10月5日迎來收官，在最后兩個競技項目男女馬拉松比賽中，中國選手何杰以2小時13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國隊亞運史上首枚男子馬拉松金牌.人類長跑運動一般分為兩個階段，第一階段為前1小時的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段. 現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運動員進行4小時長跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運動，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時間），疲勞階段由于體力消耗過大變?yōu)榈臏p速運動（表示該階段所用時間）.疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力已知該運動員初始體力為不考慮其他因素，所用時間為（單位：h），請回答下列問題：
（1）請寫出該運動員剩余體力關(guān)于時間的函數(shù)；
（2）該運動員在4小時內(nèi)何時體力達到最低值，最低值為多少?
【答案】（1）
（2）時有最小值，最小值為.
【解析】
【分析】（1）先寫出速度關(guān)于時間的函數(shù)，進而求出剩余體力關(guān)于時間的函數(shù)；
（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式，求出最值.
【小問1詳解】
由題可先寫出速度關(guān)于時間的函數(shù)，
代入與公式可得
解得；
【小問2詳解】
①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過程中最小值；
②疲勞階段，
則有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，“”成立，
所以疲勞階段中體力最低值為，
由于，因此，在時，運動員體力有最小值.
20. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)b的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由周期公式計算周期即可，整體代入法解表達式即可求得單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）先求復(fù)合函數(shù)的值域，然后將問題轉(zhuǎn)化為存在性問題即可，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性即可得解.
【小問1詳解】
函數(shù)的最小正周期為，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
，
由于，所以，
故原題等價于對任意的，存在，使得，
由題意首先，當(dāng)時，，
而，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
綜上所述，實數(shù)b的取值范圍為.
21. 已知函數(shù)對任意的x，，都有，且當(dāng)時，，．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明當(dāng)時，；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義法證明；
（3）設(shè)實數(shù)，求關(guān)于x的不等式的解集．
【答案】（1）為奇函數(shù)，證明見解析；
（2）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用賦值法，即可求得所求的函數(shù)值，得到答案；
（2）首先判定函數(shù)為增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和所給條件進行證明即可；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和所得函數(shù)值對應(yīng)的自變量得到函數(shù)不等式，得出不等式，即可求解.
【小問1詳解】
為奇函數(shù).證明如下：
因為函數(shù)對任意的x，，都有，
所以令，可得，代入，
可得，
所以為奇函數(shù)；
所以，
由奇函數(shù)的性質(zhì)可知奇函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)的，且當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，
【小問2詳解】
函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).
證明如下：
設(shè)，
則，
因為，且當(dāng)時，，
所以，
所以當(dāng)時，，
所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).
【小問3詳解】
因為，設(shè)，
所以
因為，且函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以不等式等價于，等價于，
方程的根為，
即，
所以不等式的解集為.
22. 設(shè)，函數(shù)．
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若，函數(shù)在區(qū)間上的值域是（），求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)利用求解即可；
（2）分討論，分別求出函數(shù)的定義域，單調(diào)性，時利用單調(diào)遞增建立方程，根據(jù)方程根的分布列出不等式即可求出的范圍，當(dāng)時，可分析所在區(qū)間，據(jù)此得出關(guān)于的等式，化簡可得解.
【小問1詳解】
由函數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)
所以，
即，
化簡可得，解得，
當(dāng)時，，定義域為，關(guān)于原點對稱，滿足題意；
當(dāng)時，，定義域為，關(guān)于原點對稱，滿足題意.
所以函數(shù)為奇函數(shù)時，或.
【小問2詳解】
，
，，故，而，，
當(dāng)時，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時，，
即是方程的兩個不同的實根，
令，則在上有兩個不等的實根，
故，即，解得；
當(dāng)時，，函數(shù)定義域為，
時，，
若，則，而，所以，矛盾，
故，
因為在上單調(diào)遞減，
故，即，
兩式相減可得，因為，所以，即，
所以，即.
綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點之一在于對分類討論，確定函數(shù)的定義域及單調(diào)性；關(guān)鍵點之二在于當(dāng)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)時，建立最大值與最小值的表達式，據(jù)此抽象出為方程的兩不等實根，從而換元后根據(jù)根為正數(shù)，列出不等式組.

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