AB. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：直線的斜率，故其傾斜角為
考點(diǎn)：直線的斜率與傾斜角的關(guān)系
2. 拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，
∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.
故選：A.
3. 已知直線上有兩點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，若，則（）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線與平面平行等價(jià)于直線的方向向量與面的法向量垂直，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算求出的值.
【詳解】因?yàn)橹本€上有兩點(diǎn)，
所以直線的一個(gè)方向向量為
又因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，
所以，即，
解得.
故選：D.
4. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求導(dǎo)直接求解即可.
【詳解】解：求導(dǎo)得，
所以，解得
故選:B
5. 已知雙曲線，焦距為，若成等比數(shù)列，則該雙曲線的離心率為（）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，，方程兩邊同時(shí)除以，再解關(guān)于離心率的方程即可解.
【詳解】由雙曲線知：，又成等比數(shù)列，得，又，，方程兩邊同時(shí)除以，
，，.
故選：C.
6. 定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（）
A. B. 3C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先由等方差數(shù)列的定義得到是公差為2的等差數(shù)列并求出，進(jìn)而求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.
【詳解】依題意，，即是公差為2的等差數(shù)列，而，
于是，即，
則，
所以數(shù)列的前24項(xiàng)和為：.
故選：D
7. 動(dòng)點(diǎn)在正方體從點(diǎn)開始沿表面運(yùn)動(dòng)，且與平面的距離保持不變，則動(dòng)直線與平面所成角正弦值的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系和余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求解.
【詳解】連接，
因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形?br>所以，又平面，平面，所以平面，
同理，平面，又平面，
所以平面平面，
則由與平面的距離保持不變，得點(diǎn)的移動(dòng)軌跡為三角形的三條邊，
當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角正弦值最大，
取的中點(diǎn)，設(shè)正方體的棱長為2，
則，，，
所以，則為直角三角形，
所以直線與平面所成角正弦值為，
當(dāng)為C點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，
此時(shí)，，，
所以，則.
直線與平面所成角正弦值取值范圍是，
故選：C.
8. 若，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解，可以構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性與正負(fù)判斷.
【詳解】設(shè)，，則在上為增函數(shù)，故，即.
又在上為增函數(shù)，且，則有，即，故.
設(shè)，則，故為減函數(shù)，，即，故，即.
綜合可得：．
故選：A
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（）
A. 點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是B. 點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是
C. 點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是D. 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)對稱性只需判斷對應(yīng)坐標(biāo)軸上是否需要變號，對選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】對于A，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變號，橫坐標(biāo)不變，即為，故A正確；
對于B，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，只有豎坐標(biāo)變號，其余不變，即為，所以B錯(cuò)誤；
對于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)變號，豎坐標(biāo)不變，即為，即可知C錯(cuò)誤；
對于D，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都要變號，即為，即D正確；
故選：AD
10. 已知，下列說法正確的是（）
A. 在處的切線方程為B. 的單調(diào)遞減區(qū)間為
C. 在處的切線方程為D. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】BC
【解析】
【分析】對于AC，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可，對于BD，求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【詳解】對于AC，，由，得，
所以切線的斜率，所以在處的切線方程為，所以A錯(cuò)誤，C正確，
對于BD，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>由，得，解得，
由，得，解得，
所以在上遞增，在上遞減，所以B正確，D錯(cuò)誤，
故選：BC
11. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）
A. 數(shù)列為遞增數(shù)列B. 和均為的最小值
C. 存在正整數(shù)，使得D. 存在正整數(shù)，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由得到，結(jié)合，得到，求出，A正確；
由得到，從而求出，得到，，求出為的最小值，B錯(cuò)誤；
，解方程，求出，C正確；
求出，，列出方程，求出，D正確.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)闀r(shí)，，
即，故，
因?yàn)椋?br>所以，
即，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>故等差數(shù)列為遞增數(shù)列，A正確；
則，
即，
故，
由A選項(xiàng)知，故，，
所以，故為的最小值，B錯(cuò)誤；
，
因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，
所以存在正整數(shù)，使得，C正確；
，，
令，因?yàn)椋?br>解得：
存在正整數(shù)，使得，D正確.
故選：ACD
12. 已知橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸的上、下兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，的面積為1，離心率為，點(diǎn)P是C上除長軸和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，的平分線交C的長軸于點(diǎn)M，則（）
A. 橢圓的焦距等于短軸長B. 面積的最大值為
C. D. 的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件求出的值判斷A；列出面積的關(guān)系式，結(jié)合橢圓的范圍判斷B；利用角平分線的性質(zhì)得即可判斷C；結(jié)合橢圓的定義，得到，進(jìn)而求得的取值范圍可斷D.
【詳解】對于A，令橢圓半焦距為c，由的面積為1，離心率為，得，
又，解得，橢圓的方程為，A正確；
對于B，設(shè)點(diǎn)，，面積無最大值，B錯(cuò)誤；
對于C，由的平分線交長軸于點(diǎn)M，得，
于是，由，，得，C正確；
對于D，設(shè)，則，而且，
即且，亦即，且，
解得，且，因此，且，
所以，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，最大值為.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卷相應(yīng)位置.
13. 直線被圓截得的弦長為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得直線截圓所得弦長.
【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以，直線被圓截得的弦長為.
故答案為：.
14. 中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，則此人第三天走的路程為___________.
【答案】48
【解析】
【分析】設(shè)第一天走了x里，則由每天走的路程構(gòu)成以x為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列求解.
【詳解】解：設(shè)第一天走了x里，
由題意得，每天走路程構(gòu)成以x為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
因?yàn)榇巳?天共走了378里路，
所以，即，
解得，
所以此人第三天走的路程為，
故答案為：48
15. 已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，分析得的性質(zhì)，結(jié)合與的關(guān)系，將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，從而得解.
【詳解】令，則的定義域?yàn)椋?br>又，則是偶函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，顯然，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
綜上，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以由，得，即，
所以，即，解得.
故答案為：.
16. 已知點(diǎn)是拋物線：與橢圓：的公共焦點(diǎn)，是橢圓的另一焦點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為_______.
【答案】
【解析】
【詳解】分析：由題意可知與拋物線相切時(shí)，取得最小值，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出的值，即可求解其離心率．
詳解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
過向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，則，所以,
顯然當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最小，即取得最小值，
設(shè)直線的方程為，代入可得，
令，可得，
不妨設(shè)在第一象限，則，所以，即，
因?yàn)樵跈E圓上，且為橢圓的焦點(diǎn)，
所以，解得或（舍去），
所以，所以離心率為．
點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及橢圓的離心率的求解，其中根據(jù)拋物線的定義與幾何性質(zhì)，得到關(guān)于的方程組是解答的關(guān)鍵．求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．
四、解答題：木大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，利用基本量法即可求出，從而得出通項(xiàng)公式；
（2）利用第（1）小問求出，再由錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，
聯(lián)立，解得或（舍去），
所以.
【小問2詳解】
由（1）得，
所以，
所以，
兩式相減得，，
所以，
所以.
18. 如圖，直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，O為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)平面的法向量，再利用二面角的坐標(biāo)公式即可得解.
【小問1詳解】
是正三角形，為的中點(diǎn)，，
又是直三棱柱，平面，
又平面，，
又平面，平面.
【小問2詳解】
依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
是邊長為2的正三角形，則，
則，，，，．
，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，則，故，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，則，故，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
平面與平面夾角的余弦值為.
19. 已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，線段長度的最小值為.
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)作一條直線，交于，兩點(diǎn)，試問在準(zhǔn)線上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之和等于直線斜率的平方?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在符合題意的定點(diǎn)，的坐標(biāo)是或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得拋物線的方程.
（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)“直線與的斜率之和等于直線斜率的平方”列方程，求得，也即求得點(diǎn)的坐標(biāo).
小問1詳解】
依題意，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，線段長度的最小值為，
所以，所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.
設(shè)，由于直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線與軸不重合，
設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得：
，設(shè)，
則
，，
，
若“直線與的斜率之和等于直線斜率的平方”，
則，
，
，
，
，
，
，，解得或，
所以存在符合題意的定點(diǎn)，的坐標(biāo)是或.
20. 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若（為自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)代入，即可求出函數(shù)單調(diào)性可得，代入計(jì)算可求出；
（2）利用韋達(dá)定理可得，代入化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，求出其單調(diào)性即可求得其最大值.
【小問1詳解】
易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)可得，，
因此可知當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
可得和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，又，所以；
所以可得，
即當(dāng)時(shí)，；
【小問2詳解】
易知，
又，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由韋達(dá)定理可得，
所以
，
設(shè)，由可得，令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
可得，
故可知的最大值為.
21. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上．
（1）求的方程；
（2）過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)雙曲線，依題意可得，解得即可；
（2）設(shè)直線，，求得，聯(lián)立方程組，利用弦長公式，求得，，得到，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)雙曲線，則，解得，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，
設(shè)直線，，其中，
雙曲線的漸近線為，
因?yàn)椋c的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，所以，
將的方程與聯(lián)立，可得，
設(shè)，則，，
所以
，
用替換，可得，
所以．
令，所以，
則，
當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
故四邊形面積的最小值為．
【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
22. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求證：函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，并判斷其范圍，進(jìn)而化簡的表達(dá)式，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由函數(shù)的定義域?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，由（1）可知，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故；
故當(dāng)時(shí)，，
則，
令，則，
僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故在上單調(diào)遞增，
且，即存在唯一，使得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故函數(shù)存在極大值點(diǎn)，即為；
由，即，
故，
由于，故，且，
即.

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